1. ★★★ 若一个三角形的三边长分别为 2,x,7,则化简$|x-5|-2|x-12|$的结果是 （）

A.$-x+19$
B.$3x-29$
C.$-x+7$
D.$-x-229$
＞＞＞ 对点专练 P3

1. B

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,过点$O$作$EF // BC$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$,过点$O$作$OD ⊥ AC$于点$D$.下列四个结论:①$∠ BOC=90°+\dfrac{1}{2}∠ A$;②$∠ EBO=\dfrac{1}{2}∠ AEF$;③$∠ DOC+∠ OCB=90°$;④设$OD=m$,$AE+AF=n$,则$S_{△ AEF}=\dfrac{mn}{2}$.其中正确的结论有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

$\gg$ 对点专练 P19

2. D

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=45°$,过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$,过点$B$作$BM ⊥ AC$于点$M$,连接$MD$,过点$D$作$DN ⊥ MD$,交$BM$于点$N$.$CD$与$BM$相交于点$E$,若点$E$是$CD$的中点,则下列结论:①$AC=BE$;②$DM=DN$;③$S_{△ DEN}=3S_{△ EMC}$.其中正确的有 ()

A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
＞＞ 对点专练P8

3. A

4. (2025·南京月考)在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$AB=6$。若对于$BC$的每一个值，对应的$△ ABC$的形状、大小都唯一确定，则$BC$长的取值范围是$\underline{\hspace{5em}}$。

4. $BC=3$或$BC≥6$

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$是线段$BC$上一点,连接$AD$,$AE$平分$∠ DAB$交$BD$于点$E$,$DF ⊥ AE$于点$F$.若$∠ EDF=∠ B$,$AD=8$,$\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{5}{3}$,则$DF=$______.

$\gg$ 对点专练 P20

5. $\dfrac{8}{3}$

6. 如图，$△ ABC$中，$AB=BC=8$，$∠ ABC=90°$，$D$是$BC$中点，$P$是$AC$上一动点，将$BP$绕点$P$顺时针旋转$90°$得到线段$PQ$。当$AQ+DQ$最小时，$CQ$的长为$\underline{\hspace{5em}}$。

6. $\dfrac{8}{3}$

7. 如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,BM平分∠ABC交AC于点M,过点M作$MN⊥AB$,垂足为N,点P为边AB上一个动点,以MP为边逆时针作$∠PMQ=135°$,交直线BC于点Q.
(1)如图①,当点P在线段AN上时:①线段MP,MQ的数量关系为;
②线段CQ,AP,CM之间的数量关系为.
(2)如图②,当点P在线段NB上时,线段CQ,AP,CM之间的数量关系为,并证明.

7. (1) ①$MP = MQ$ ②$CM = CQ + AP$
解析:①$\because BM$平分$∠ ABC,MN ⊥ AB, ∠ C=90°, \therefore MN = CM. \because ∠ C=90°, AC = BC, \therefore ∠ ABC=45°, \therefore ∠ NMC=135°. \because ∠ PMQ=135°, \therefore ∠ NMC=∠ PMQ, \therefore ∠ PMN = ∠ CMQ. \because ∠ PNM = ∠ C=90°, \therefore △ PNM ≌ △ QCM(ASA), \therefore MP = MQ.$
②$\because △ PNM ≌ △ QCM, \therefore PN = CQ, \therefore AN = AP + PN = AP + CQ. \because ∠ A = 45°, \therefore AN = MN = CM, \therefore CM=AP+CQ.$
(2)$AP-CQ = CM$
证明如下:$\because △ ABC$是等腰直角三角形,$\therefore ∠ CBA= ∠ A = 45°. \because BM$是$∠ CBA$的平分线,$MN ⊥ BA, \therefore CM=MN.$在四边形$BCMN$中,$∠ CMN = 360°-90°-90°-45°=135°. \because ∠ QMP=135°, \therefore ∠ CMQ = ∠ NMP, \therefore △ CMQ ≌ △ NMP(ASA), \therefore MP=MQ,CQ=NP. \because MN ⊥ BA, ∠ A=45°, \therefore ∠ AMN=∠ A=45°, \therefore NA=NM=CM. \because NA=AP-NP, \therefore AP-CQ=CM.$