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8. |尺规作图（2025·南京校级期中）如图，在$△ ABC$中，已知$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，仅用无刻度的直尺按要求画图.
（1）如图①，点$M$为$AB$上任意一点，在$AC$上找出一点$N$，使$AM=AN$；
（2）如图②，点$P$为$BD$上任意一点，在$CD$上找出一点$Q$，使$BP=CQ$.
（1）如图①，点$M$为$AB$上任意一点，在$AC$上找出一点$N$，使$AM=AN$；
（2）如图②，点$P$为$BD$上任意一点，在$CD$上找出一点$Q$，使$BP=CQ$.
答案
8. (1)如图①,连接$CM$交$AD$于点$O$,连接$BO$并延长,交$AC$于点$N$,则点$N$即为所求.
(2)如图②,在$AB$上任取一点$E$,连接$CE$交$AD$于点$O$,连接$BO$并延长,交$AC$于点$F$,再连接$PF$交$AD$于点$G$,最后连接$EG$并延长,交$BC$于点$Q$,则点$Q$即为所求.
9. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的“内好线”,称这个三角形为“内好三角形”.
(1)如图①,$△ ABC$是等腰锐角三角形,$AB=AC(AB＞BC)$,若$∠ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$,且$BD$是$△ ABC$的一条“内好线”,则$∠BDC=$
(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠B=2∠C$,线段$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.求证:$AE$是$△ ABC$的一条“内好线”;
(3)如图③,已知$△ ABC$是“内好三角形”,且$∠A=24°,∠B$为钝角,则所有可能的$∠B$的度数为
＞＞ 对点专练 P25,P65
＞＞ 根据诊断结果 请完成对应的练习
(1)如图①,$△ ABC$是等腰锐角三角形,$AB=AC(AB＞BC)$,若$∠ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$,且$BD$是$△ ABC$的一条“内好线”,则$∠BDC=$
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度;(2)如图②,在$△ ABC$中,$∠B=2∠C$,线段$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$.求证:$AE$是$△ ABC$的一条“内好线”;
(3)如图③,已知$△ ABC$是“内好三角形”,且$∠A=24°,∠B$为钝角,则所有可能的$∠B$的度数为
$108°$或$117°$或$144°$或$148°$
(直接写答案).＞＞ 对点专练 P25,P65
＞＞ 根据诊断结果 请完成对应的练习
答案
9. (1)72
解析:$\because AB=AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB. \because BD$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \dfrac{1}{2}∠ ABC. \because BD$是$△ ABC$的一条“内好线”,$\therefore △ ABD$和$△ BDC$是等腰三角形,$\therefore BD=BC=AD, \therefore ∠ A = ∠ ABD, ∠ BDC = ∠ C. \because ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 2∠ A, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 2∠ A. \because ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°, \therefore ∠ A=36°, \therefore ∠ BDC=2∠ A=72°.$
(2)$\because DE$是线段$AC$的垂直平分线,$\therefore EA=EC$,即$△ EAC$是等腰三角形,$\therefore ∠ EAC = ∠ C, \therefore ∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C = 2∠ C, \because ∠ B=2∠ C, \therefore ∠ AEB = ∠ B$,即$△ EAB$是等腰三角形,$\therefore AE$是$ABC$的一条“内好线”.
(3)$108°$或$117°$或$144°$或$148°$
解析:$\because AB=AC, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB. \because BD$平分$∠ ABC, \therefore ∠ ABD = ∠ CBD = \dfrac{1}{2}∠ ABC. \because BD$是$△ ABC$的一条“内好线”,$\therefore △ ABD$和$△ BDC$是等腰三角形,$\therefore BD=BC=AD, \therefore ∠ A = ∠ ABD, ∠ BDC = ∠ C. \because ∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 2∠ A, \therefore ∠ ABC = ∠ ACB = 2∠ A. \because ∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°, \therefore ∠ A=36°, \therefore ∠ BDC=2∠ A=72°.$
(2)$\because DE$是线段$AC$的垂直平分线,$\therefore EA=EC$,即$△ EAC$是等腰三角形,$\therefore ∠ EAC = ∠ C, \therefore ∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C = 2∠ C, \because ∠ B=2∠ C, \therefore ∠ AEB = ∠ B$,即$△ EAB$是等腰三角形,$\therefore AE$是$ABC$的一条“内好线”.
(3)$108°$或$117°$或$144°$或$148°$
