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三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)
(1)计算:$\sqrt{12} - 3\tan 30° - (\dfrac{1}{2})^{-2}$;
(2)解方程:$x^2 - 4x - 1 = 0$.
13. (12分)
(1)计算:$\sqrt{12} - 3\tan 30° - (\dfrac{1}{2})^{-2}$;
(2)解方程:$x^2 - 4x - 1 = 0$.
答案
13. (1)原式$=2\sqrt{3}-3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}-4=\sqrt{3}-4$.
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$.
(2)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
(1) 属于实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果：①将二次根式$\sqrt{12}$化为最简二次根式；②记住特殊角$30°$的正切值，计算$3\tan30°$；③根据负整数指数幂的运算法则计算$(\frac{1}{2})^{-2}$，最后将各项结果合并即可得到答案。
(2) 是解一元二次方程，观察方程形式，可选用配方法或者公式法求解：如果用配方法，先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解即可；如果用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$的值，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 先逐项化简：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$3\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，
代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-4$。
(2) 选用配方法求解：
移项得：$x^2-4x=1$，
配方，两边同时加4得：$x^2-4x+4=1+4$，
即$(x-2)^2=5$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}-4$；
(2) $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
实数的混合运算；特殊角的三角函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础解答题，侧重对基础运算能力的考察，第一问需要熟练掌握二次根式化简、特殊角三角函数值、负整数指数幂的计算规则，第二问只要熟悉一元二次方程的配方法或公式法就能顺利求解，计算时注意细节即可避免失误。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问，解题思路分别如下：
(1) 属于实数混合运算题，解题时先分别计算出每一项的结果：①将二次根式$\sqrt{12}$化为最简二次根式；②记住特殊角$30°$的正切值，计算$3\tan30°$；③根据负整数指数幂的运算法则计算$(\frac{1}{2})^{-2}$，最后将各项结果合并即可得到答案。
(2) 是解一元二次方程，观察方程形式，可选用配方法或者公式法求解：如果用配方法，先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解即可；如果用公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式$\Delta$的值，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 先逐项化简：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故$3\tan30°=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$，
根据负整数指数幂规则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，
代入原式计算：
原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}-4=\sqrt{3}-4$。
(2) 选用配方法求解：
移项得：$x^2-4x=1$，
配方，两边同时加4得：$x^2-4x+4=1+4$，
即$(x-2)^2=5$，
开平方得：$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}-4$；
(2) $x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$
【知识点】
实数的混合运算；特殊角的三角函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础解答题，侧重对基础运算能力的考察，第一问需要熟练掌握二次根式化简、特殊角三角函数值、负整数指数幂的计算规则，第二问只要熟悉一元二次方程的配方法或公式法就能顺利求解，计算时注意细节即可避免失误。
【难度系数】
0.8
14. (12 分)求抛物线$y=x^2-2x-1$的顶点坐标及它与$x$轴的交点坐标.
答案
14. 将$y=x^2-2x-1$配方,得$y=(x-1)^2-2$,
所以顶点坐标为$(1,-2)$.
令$y=0$,得$0=x^2-2x-1$,
解得$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$,
所以它与$x$轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0),(1+\sqrt{2},0)$.
所以顶点坐标为$(1,-2)$.
令$y=0$,得$0=x^2-2x-1$,
解得$x_1=1+\sqrt{2},x_2=1-\sqrt{2}$,
所以它与$x$轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0),(1+\sqrt{2},0)$.
解析
【分析】
本题有两个求解目标，解题思路清晰明确：①求抛物线顶点坐标时，可通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接对应得到顶点坐标，也可代入顶点坐标公式计算；②求抛物线与x轴的交点坐标时，利用x轴上点的纵坐标为0的性质，令函数式中y=0，求解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0。
【解析】
1. 求顶点坐标：
对二次函数$y=x^2-2x-1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=x^2-2x+1-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该抛物线顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，得到一元二次方程：$x^2-2x-1=0$
代入求根公式解得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，因此与x轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0)$、$(1+\sqrt{2},0)$。
【答案】
顶点坐标为$(1,-2)$；与x轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0)$、$(1+\sqrt{2},0)$
【知识点】
二次函数顶点求解，抛物线与x轴交点求解，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查二次函数的基本性质以及二次函数与一元二次方程的关联，解题关键是熟练掌握配方法和一元二次方程的求解方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题有两个求解目标，解题思路清晰明确：①求抛物线顶点坐标时，可通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，直接对应得到顶点坐标，也可代入顶点坐标公式计算；②求抛物线与x轴的交点坐标时，利用x轴上点的纵坐标为0的性质，令函数式中y=0，求解对应的一元二次方程，所得的根就是交点的横坐标，纵坐标固定为0。
【解析】
1. 求顶点坐标：
对二次函数$y=x^2-2x-1$进行配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-2x-1\\&=x^2-2x+1-1-1\\&=(x-1)^2-2\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得该抛物线顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 求与x轴的交点坐标：
令$y=0$，得到一元二次方程：$x^2-2x-1=0$
代入求根公式解得：
$x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4×1×(-1)}}{2×1}=1\pm\sqrt{2}$
即$x_1=1+\sqrt{2}$，$x_2=1-\sqrt{2}$，因此与x轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0)$、$(1+\sqrt{2},0)$。
【答案】
顶点坐标为$(1,-2)$；与x轴的交点坐标为$(1-\sqrt{2},0)$、$(1+\sqrt{2},0)$
【知识点】
二次函数顶点求解，抛物线与x轴交点求解，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，核心考查二次函数的基本性质以及二次函数与一元二次方程的关联，解题关键是熟练掌握配方法和一元二次方程的求解方法，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
15. (14分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$为$BC$上一点,且$AD=DC$,过$A,B,D$三点作$\odot O$,$AE$是$\odot O$的直径,连接$DE$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2)若$\sin C=\dfrac{4}{5}$,$AC=6$,求$\odot O$的直径.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2)若$\sin C=\dfrac{4}{5}$,$AC=6$,求$\odot O$的直径.
答案
15. (1)$\because AB=AC,AD=DC$,
$\therefore ∠ C=∠ B,∠ DAC=∠ C$,
$\therefore ∠ DAC=∠ B$.
又$∠ E=∠ B,\therefore ∠ DAC=∠ E$.
$\because AE$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADE=90°$,
$\therefore ∠ E+∠ EAD=90°$,
$\therefore ∠ DAC+∠ EAD=90°$,
即$∠ EAC=90°$,
$\therefore AE⊥ AC$.
又$OA$是$\odot O$的半径,
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2)过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$.
$\because DA=DC,\therefore CF=\dfrac{1}{2}AC=3$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\because \sin C=\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{4}{5}$,
设$DF=4x,DC=5x$,
$\therefore CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=3x$,
$\therefore 3x=3$,解得$x=1$,
$\therefore DC=5,AD=5$.
$\because ∠ ADE=∠ DFC=90°,∠ E=∠ C$,
$\therefore △ ADE∽△ DFC$,
$\therefore \dfrac{AE}{DC}=\dfrac{AD}{DF}$,即$\dfrac{AE}{5}=\dfrac{5}{4}$,解得$AE=\dfrac{25}{4}$.
即$\odot O$的直径为$\dfrac{25}{4}$.
$\therefore ∠ C=∠ B,∠ DAC=∠ C$,
$\therefore ∠ DAC=∠ B$.
又$∠ E=∠ B,\therefore ∠ DAC=∠ E$.
$\because AE$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADE=90°$,
$\therefore ∠ E+∠ EAD=90°$,
$\therefore ∠ DAC+∠ EAD=90°$,
即$∠ EAC=90°$,
$\therefore AE⊥ AC$.
又$OA$是$\odot O$的半径,
$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2)过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$.
$\because DA=DC,\therefore CF=\dfrac{1}{2}AC=3$.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$\because \sin C=\dfrac{DF}{DC}=\dfrac{4}{5}$,
设$DF=4x,DC=5x$,
$\therefore CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=3x$,
$\therefore 3x=3$,解得$x=1$,
$\therefore DC=5,AD=5$.
$\because ∠ ADE=∠ DFC=90°,∠ E=∠ C$,
$\therefore △ ADE∽△ DFC$,
$\therefore \dfrac{AE}{DC}=\dfrac{AD}{DF}$,即$\dfrac{AE}{5}=\dfrac{5}{4}$,解得$AE=\dfrac{25}{4}$.
即$\odot O$的直径为$\dfrac{25}{4}$.
解析
【分析】
(1)要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OA⊥ AC$，即证$∠ EAC=90°$。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，推导得到$∠ DAC=∠ B$；再结合同弧所对圆周角相等，得$∠ E=∠ B$，从而推出$∠ DAC=∠ E$；最后利用直径所对圆周角是直角的性质，通过角的等量代换即可证得$∠ EAC=90°$，完成切线证明。
(2)要求$\odot O$的直径$AE$，可先构造直角三角形结合三角函数求出相关线段长度。已知$AD=DC$，过$D$作$DF⊥ AC$，由等腰三角形三线合一得$CF=3$，结合$\sin C=\frac{4}{5}$设参数求出$DC$、$DF$、$AD$的长度；再证明$△ ADE∽△ DFC$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$AE$的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AB=AC,AD=DC$，
$\therefore ∠ C=∠ B,∠ DAC=∠ C$，
$\therefore ∠ DAC=∠ B$。
又$\because$同弧所对的圆周角相等，$∠ E$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ E=∠ B$，
$\therefore ∠ DAC=∠ E$。
$\because AE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ E+∠ EAD=90°$，
$\therefore ∠ DAC+∠ EAD=90°$，即$∠ EAC=90°$，
$\therefore AE⊥ AC$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$。
$\because DA=DC,DF⊥ AC$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\sin C=\frac{DF}{DC}=\frac{4}{5}$，
设$DF=4x,DC=5x$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$，
$\therefore 3x=3$，解得$x=1$，
$\therefore DC=5,AD=DC=5,DF=4$。
$\because ∠ ADE=∠ DFC=90°,∠ E=∠ C$，
$\therefore △ ADE∽△ DFC$，
$\therefore \frac{AE}{DC}=\frac{AD}{DF}$，即$\frac{AE}{5}=\frac{5}{4}$，
解得$AE=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的直径为$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆的综合类考题，融合了等腰三角形性质、三角函数、圆的基本性质、切线判定、相似三角形等多个考点，第一问的核心是通过角的等量代换证明垂直，第二问的关键是构造辅助线得到直角三角形，再结合相似关系求解，是圆章节的典型高频题型，侧重考察逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OA⊥ AC$，即证$∠ EAC=90°$。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，推导得到$∠ DAC=∠ B$；再结合同弧所对圆周角相等，得$∠ E=∠ B$，从而推出$∠ DAC=∠ E$；最后利用直径所对圆周角是直角的性质，通过角的等量代换即可证得$∠ EAC=90°$，完成切线证明。
(2)要求$\odot O$的直径$AE$，可先构造直角三角形结合三角函数求出相关线段长度。已知$AD=DC$，过$D$作$DF⊥ AC$，由等腰三角形三线合一得$CF=3$，结合$\sin C=\frac{4}{5}$设参数求出$DC$、$DF$、$AD$的长度；再证明$△ ADE∽△ DFC$，利用相似三角形对应边成比例即可求出$AE$的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AB=AC,AD=DC$，
$\therefore ∠ C=∠ B,∠ DAC=∠ C$，
$\therefore ∠ DAC=∠ B$。
又$\because$同弧所对的圆周角相等，$∠ E$和$∠ B$都是弧$AD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ E=∠ B$，
$\therefore ∠ DAC=∠ E$。
$\because AE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADE=90°$，
$\therefore ∠ E+∠ EAD=90°$，
$\therefore ∠ DAC+∠ EAD=90°$，即$∠ EAC=90°$，
$\therefore AE⊥ AC$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2)解：过点$D$作$DF⊥ AC$于点$F$。
$\because DA=DC,DF⊥ AC$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\sin C=\frac{DF}{DC}=\frac{4}{5}$，
设$DF=4x,DC=5x$，
由勾股定理得：$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{(5x)^2-(4x)^2}=3x$，
$\therefore 3x=3$，解得$x=1$，
$\therefore DC=5,AD=DC=5,DF=4$。
$\because ∠ ADE=∠ DFC=90°,∠ E=∠ C$，
$\therefore △ ADE∽△ DFC$，
$\therefore \frac{AE}{DC}=\frac{AD}{DF}$，即$\frac{AE}{5}=\frac{5}{4}$，
解得$AE=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\odot O$的直径为$\dfrac{25}{4}$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题为圆的综合类考题，融合了等腰三角形性质、三角函数、圆的基本性质、切线判定、相似三角形等多个考点，第一问的核心是通过角的等量代换证明垂直，第二问的关键是构造辅助线得到直角三角形，再结合相似关系求解，是圆章节的典型高频题型，侧重考察逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
16.（14分）新情境 销售旅游食品（无锡中考）某景区旅游商店以20元/千克的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克.经市场调查发现每天的销售量$y$（千克）与销售价格$x$（元/千克）之间的函数关系如图所示.
(1)求$y$关于$x$的函数表达式.
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？（销售利润$=$(销售价格$-$采购价格)$×$销售量）
(1)求$y$关于$x$的函数表达式.
(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？（销售利润$=$(销售价格$-$采购价格)$×$销售量）
答案
16. (1)当$22≤ x≤ 30$时,
设函数表达式为$y=kx+b$.
将$(22,48),(30,40)$代入表达式,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-x+70$.
当$30≤ x≤ 45$时,
设函数表达式为$y=mx+n$.
将$(30,40),(45,10)$代入表达式,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-2x+100$.
综上,$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30),\\-2x+100(30≤ x≤ 45).\end{cases}$
(2)设利润为$w$元. 当$22≤ x≤ 30$时,$w=(x-20)·(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$,
$\because$在$22≤ x≤ 30$范围内,$w$随着$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=30$时,$w$取得最大值为$400$;
当$30＜x≤ 45$时,
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$,
当$x=35$时,$w$取得最大值为$450$.
$\because 450＞400$,
$\therefore$当销售价格为$35$元/千克时,利润最大为$450$元.
设函数表达式为$y=kx+b$.
将$(22,48),(30,40)$代入表达式,得
$\begin{cases}22k+b=48,\\30k+b=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=70,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-x+70$.
当$30≤ x≤ 45$时,
设函数表达式为$y=mx+n$.
将$(30,40),(45,10)$代入表达式,得
$\begin{cases}30m+n=40,\\45m+n=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-2,\\n=100,\end{cases}$
$\therefore$函数表达式为$y=-2x+100$.
综上,$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30),\\-2x+100(30≤ x≤ 45).\end{cases}$
(2)设利润为$w$元. 当$22≤ x≤ 30$时,$w=(x-20)·(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$,
$\because$在$22≤ x≤ 30$范围内,$w$随着$x$的增大而增大,
$\therefore$当$x=30$时,$w$取得最大值为$400$;
当$30＜x≤ 45$时,
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$,
当$x=35$时,$w$取得最大值为$450$.
$\because 450＞400$,
$\therefore$当销售价格为$35$元/千克时,利润最大为$450$元.
解析
【分析】
（1）由图象可知销售量y与销售价格x的函数为分段一次函数，共分为22≤x≤30、30≤x≤45两段。求解时先对每段分别设一次函数的一般式，再将对应段上的两个已知点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的系数，最终整合得到分段的函数表达式。
（2）根据“销售利润=（销售价格-采购价格）×销售量”的公式，分两个区间分别列出利润w关于x的函数关系式：两个区间的利润函数均为二次函数，先结合二次函数的开口方向、对称轴判断对应区间内函数的增减性，分别求出两个区间内的最大利润，再比较两个最大值，较大的即为每日最大销售利润，对应的x值就是最优销售价格。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$22≤ x≤ 30$时，设函数表达式为$y=kx+b$。
将$(22,48),(30,40)$代入表达式，得
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$
$\therefore$此区间函数表达式为$y=-x+70$。
② 当$30≤ x≤ 45$时，设函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$代入表达式，得
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$
$\therefore$此区间函数表达式为$y=-2x+100$。
综上，$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30)\\-2x+100(30≤ x≤ 45)\end{cases}$
(2) 设每天获得的销售利润为$w$元，分两种情况计算：
① 当$22≤ x≤ 30$时，
$w=(x-20)·(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$
$\because$二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤ 30$范围内，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为$400$元。
② 当$30＜x≤ 45$时，
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$
$\because$二次函数开口向下，对称轴为$x=35$，在$30＜x≤45$范围内，
$\therefore$当$x=35$时，$w$取得最大值，最大值为$450$元。
$\because 450＞400$，
$\therefore$当销售价格定为35元/千克时，每天获得的销售利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30)\\-2x+100(30≤ x≤ 45)\end{cases}$
(2) 当销售价格定为35元/千克时，每天销售利润最大，最大销售利润为450元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数最值应用；分段函数应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，考查了分段函数解析式求解、二次函数最值的实际应用，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，结合函数增减性求最值，是函数实际应用类的典型题型，能较好地考查学生分类讨论的思想和分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）由图象可知销售量y与销售价格x的函数为分段一次函数，共分为22≤x≤30、30≤x≤45两段。求解时先对每段分别设一次函数的一般式，再将对应段上的两个已知点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的系数，最终整合得到分段的函数表达式。
（2）根据“销售利润=（销售价格-采购价格）×销售量”的公式，分两个区间分别列出利润w关于x的函数关系式：两个区间的利润函数均为二次函数，先结合二次函数的开口方向、对称轴判断对应区间内函数的增减性，分别求出两个区间内的最大利润，再比较两个最大值，较大的即为每日最大销售利润，对应的x值就是最优销售价格。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$22≤ x≤ 30$时，设函数表达式为$y=kx+b$。
将$(22,48),(30,40)$代入表达式，得
$\begin{cases}22k+b=48\\30k+b=40\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=70\end{cases}$
$\therefore$此区间函数表达式为$y=-x+70$。
② 当$30≤ x≤ 45$时，设函数表达式为$y=mx+n$。
将$(30,40),(45,10)$代入表达式，得
$\begin{cases}30m+n=40\\45m+n=10\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-2\\n=100\end{cases}$
$\therefore$此区间函数表达式为$y=-2x+100$。
综上，$y$关于$x$的函数表达式为
$y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30)\\-2x+100(30≤ x≤ 45)\end{cases}$
(2) 设每天获得的销售利润为$w$元，分两种情况计算：
① 当$22≤ x≤ 30$时，
$w=(x-20)·(-x+70)=-x^2+90x-1400=-(x-45)^2+625$
$\because$二次函数开口向下，对称轴为$x=45$，在$22≤ x≤ 30$范围内，$w$随$x$的增大而增大，
$\therefore$当$x=30$时，$w$取得最大值，最大值为$400$元。
② 当$30＜x≤ 45$时，
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000=-2(x-35)^2+450$
$\because$二次函数开口向下，对称轴为$x=35$，在$30＜x≤45$范围内，
$\therefore$当$x=35$时，$w$取得最大值，最大值为$450$元。
$\because 450＞400$，
$\therefore$当销售价格定为35元/千克时，每天获得的销售利润最大。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}-x+70(22≤ x≤ 30)\\-2x+100(30≤ x≤ 45)\end{cases}$
(2) 当销售价格定为35元/千克时，每天销售利润最大，最大销售利润为450元。
【知识点】
待定系数法求一次函数；二次函数最值应用；分段函数应用
【点评】
本题以实际销售场景为载体，考查了分段函数解析式求解、二次函数最值的实际应用，解题时需注意分段讨论自变量的取值范围，结合函数增减性求最值，是函数实际应用类的典型题型，能较好地考查学生分类讨论的思想和分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
