登录
22.某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘。该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克。
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入；
(2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元/千克，平均每天可多售出60千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4 300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
(1)求该农户这一天销售西瓜的总收入；
(2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元/千克，平均每天可多售出60千克。已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4 300元，则在县城销售的单价应降价多少元？
答案
(1)根据题意得,$8×200+6×(600-200)=8×200+6×400=4000$(元)；
(2)设在县城销售的单价降价 $x$ 元/千克,则销售量为$(200+60x)$千克,根据题意得,$(8-x)(200+60x)+6×(600-200)=4300$,整理得,$3x^2-14x+15=0$,解得,$x_1=3$ 或 $x_2=\dfrac{5}{3}$。又因为要扩大销售,所以 $x=3$。
(2)设在县城销售的单价降价 $x$ 元/千克,则销售量为$(200+60x)$千克,根据题意得,$(8-x)(200+60x)+6×(600-200)=4300$,整理得,$3x^2-14x+15=0$,解得,$x_1=3$ 或 $x_2=\dfrac{5}{3}$。又因为要扩大销售,所以 $x=3$。
解析
【分析】
第(1)问：总收入由县城销售收入和农田采摘销售收入两部分组成，分别计算两部分收入后相加即可。第(2)问：设县城销售单价降价$x$元，先表示出降价后的县城单价与销售量，结合农田采摘的固定收入，根据总收入为4300元列一元二次方程，解方程后根据“扩大销售”的条件取舍解，得到最终结果。
【解析】
(1) 县城销售收入：$8×200 = 1600$（元），农田采摘销售量为$600 - 200 = 400$（千克），农田采摘销售收入：$6×400 = 2400$（元），总收入为$1600 + 2400 = 4000$（元）。
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元/千克，则降价后县城单价为$(8 - x)$元/千克，县城销售量为$(200 + 60x)$千克，农田采摘销售收入仍为$6×(600 - 200) = 2400$元。根据总收入为4300元，列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 2400 = 4300$
整理得：$3x^2 - 14x + 15 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{5}{3}$
因要扩大销售，降价越多越符合要求，故取$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；(2) 在县城销售的单价应降价3元/千克。
【知识点】
销售问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题为贴近生活的销售类应用问题，第(1)问是基础计算，难度低；第(2)问需结合单价、销售量的变化关系列一元二次方程，关键是准确表示变量关系，且需根据题目条件取舍解，考查学生的方程应用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：总收入由县城销售收入和农田采摘销售收入两部分组成，分别计算两部分收入后相加即可。第(2)问：设县城销售单价降价$x$元，先表示出降价后的县城单价与销售量，结合农田采摘的固定收入，根据总收入为4300元列一元二次方程，解方程后根据“扩大销售”的条件取舍解，得到最终结果。
【解析】
(1) 县城销售收入：$8×200 = 1600$（元），农田采摘销售量为$600 - 200 = 400$（千克），农田采摘销售收入：$6×400 = 2400$（元），总收入为$1600 + 2400 = 4000$（元）。
(2) 设在县城销售的单价降价$x$元/千克，则降价后县城单价为$(8 - x)$元/千克，县城销售量为$(200 + 60x)$千克，农田采摘销售收入仍为$6×(600 - 200) = 2400$元。根据总收入为4300元，列方程：
$(8 - x)(200 + 60x) + 2400 = 4300$
整理得：$3x^2 - 14x + 15 = 0$
解得：$x_1 = 3$，$x_2 = \frac{5}{3}$
因要扩大销售，降价越多越符合要求，故取$x = 3$。
【答案】
(1) 该农户这一天销售西瓜的总收入为4000元；(2) 在县城销售的单价应降价3元/千克。
【知识点】
销售问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题为贴近生活的销售类应用问题，第(1)问是基础计算，难度低；第(2)问需结合单价、销售量的变化关系列一元二次方程，关键是准确表示变量关系，且需根据题目条件取舍解，考查学生的方程应用能力。
【难度系数】
0.6
23.八年级乒乓球赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场),以下是小锦和小江对比赛总场数的统计:
(1)若参赛者有6人,按赛制共进行了几场比赛?
(2)小江的说法有道理吗?请通过计算说明;
(3)赛后经查询,小锦的统计正确。因为有一人身体不适,参与$n$场比赛后中途退赛,则$n$的值为________。
(1)若参赛者有6人,按赛制共进行了几场比赛?
(2)小江的说法有道理吗?请通过计算说明;
(3)赛后经查询,小锦的统计正确。因为有一人身体不适,参与$n$场比赛后中途退赛,则$n$的值为________。
答案
(1)由题意,得6个人需比赛的局数为 $\dfrac{6×(6-1)}{2}=15$(场)；
(2)小江说的有道理,设有 $x$ 人报名参赛,由题意得 $\dfrac{x(x-1)}{2}=40$,整理得 $x^2-x-80=0$,解得 $x=\dfrac{1\pm\sqrt{321}}{2}$,不为整数。所以方程的解不符合实际,小江说的有道理；
(3)设有一人比赛了 $n$ 场后退出比赛,由题意得, $\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+n=40$,整理得 $x^2-3x+2n-78=0$,解得 $x=\dfrac{3\pm\sqrt{321-8n}}{2}$,当 $n=4$ 时,$x=10$(符合题意)或 $x=-7$(不符合题意),所以共有10名参赛者报名本次比赛。故 $n$ 的值为4。
(2)小江说的有道理,设有 $x$ 人报名参赛,由题意得 $\dfrac{x(x-1)}{2}=40$,整理得 $x^2-x-80=0$,解得 $x=\dfrac{1\pm\sqrt{321}}{2}$,不为整数。所以方程的解不符合实际,小江说的有道理；
(3)设有一人比赛了 $n$ 场后退出比赛,由题意得, $\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+n=40$,整理得 $x^2-3x+2n-78=0$,解得 $x=\dfrac{3\pm\sqrt{321-8n}}{2}$,当 $n=4$ 时,$x=10$(符合题意)或 $x=-7$(不符合题意),所以共有10名参赛者报名本次比赛。故 $n$ 的值为4。
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的总场数计算公式：若有$x$名参赛者，总场数为从$x$个元素中选2个的组合数，即$\frac{x(x-1)}{2}$，因为每两人之间仅赛1场，避免重复计算。问题（1）直接代入人数计算；问题（2）假设总场数为40，代入公式列方程，判断解是否为正整数（人数需为整数），验证小江的说法；问题（3）中，有1人中途退赛，总场数等于剩余$(x-1)$人单循环的场数加上退赛者赛的$n$场，据此列方程，结合人数为正整数的条件求$n$的值。
【解析】
(1) 参赛者有6人，根据单循环赛制总场数公式：
总场数 = $\frac{6×(6-1)}{2} = \frac{6×5}{2} = 15$（场）。
(2) 小江的说法有道理，理由如下：
设报名参赛的人数为$x$，若总场数为40场，则列方程：
$\frac{x(x-1)}{2} = 40$
整理得：$x^2 - x - 80 = 0$
计算判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-80) = 321$，解得$x = \frac{1±\sqrt{321}}{2}$，$\sqrt{321}$不是整数，$x$的值不是正整数，不符合实际参赛人数要求，故小江的说法有道理。
(3) 设报名参赛的人数为$x$，中途退赛的人赛了$n$场，根据题意：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2} + n = 40$
整理得：$x^2 - 3x + 2n - 78 = 0$
该方程的解需为正整数，尝试代入$n$的可能值：当$n=4$时，方程变为$x^2 - 3x - 70 = 0$，解得$x=\frac{3±17}{2}$，取正根$x=10$，符合实际参赛人数要求，故$n=4$。
【答案】
(1) 15场；(2) 小江的说法有道理；(3) 4
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用、组合数计算
【点评】
本题结合实际比赛赛制考查一元二次方程的应用，核心是理解单循环赛制总场数的计算逻辑，以及实际问题中解需为正整数的隐含条件，需学生具备方程应用和实际分析能力。
【难度系数】
0.5
首先明确单循环赛制的总场数计算公式：若有$x$名参赛者，总场数为从$x$个元素中选2个的组合数，即$\frac{x(x-1)}{2}$，因为每两人之间仅赛1场，避免重复计算。问题（1）直接代入人数计算；问题（2）假设总场数为40，代入公式列方程，判断解是否为正整数（人数需为整数），验证小江的说法；问题（3）中，有1人中途退赛，总场数等于剩余$(x-1)$人单循环的场数加上退赛者赛的$n$场，据此列方程，结合人数为正整数的条件求$n$的值。
【解析】
(1) 参赛者有6人，根据单循环赛制总场数公式：
总场数 = $\frac{6×(6-1)}{2} = \frac{6×5}{2} = 15$（场）。
(2) 小江的说法有道理，理由如下：
设报名参赛的人数为$x$，若总场数为40场，则列方程：
$\frac{x(x-1)}{2} = 40$
整理得：$x^2 - x - 80 = 0$
计算判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-80) = 321$，解得$x = \frac{1±\sqrt{321}}{2}$，$\sqrt{321}$不是整数，$x$的值不是正整数，不符合实际参赛人数要求，故小江的说法有道理。
(3) 设报名参赛的人数为$x$，中途退赛的人赛了$n$场，根据题意：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2} + n = 40$
整理得：$x^2 - 3x + 2n - 78 = 0$
该方程的解需为正整数，尝试代入$n$的可能值：当$n=4$时，方程变为$x^2 - 3x - 70 = 0$，解得$x=\frac{3±17}{2}$，取正根$x=10$，符合实际参赛人数要求，故$n=4$。
【答案】
(1) 15场；(2) 小江的说法有道理；(3) 4
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用、组合数计算
【点评】
本题结合实际比赛赛制考查一元二次方程的应用，核心是理解单循环赛制总场数的计算逻辑，以及实际问题中解需为正整数的隐含条件，需学生具备方程应用和实际分析能力。
【难度系数】
0.5
