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24. 如图1,有一张长为40 cm,宽为1 cm的长方形硬纸片。
(1)若裁去角上的四个小正方形之后,折成如图2所示的无盖纸盒,当$ l=30 $,纸盒的底面积为$ 600(\mathrm{cm}^2) $时,求裁去的正方形边长是多少?
(2)若裁去部分图形后,折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒,则此时$ l $的长为多少? 当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等时,底面正三角形的边长是多少?
(1)若裁去角上的四个小正方形之后,折成如图2所示的无盖纸盒,当$ l=30 $,纸盒的底面积为$ 600(\mathrm{cm}^2) $时,求裁去的正方形边长是多少?
(2)若裁去部分图形后,折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒,则此时$ l $的长为多少? 当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等时,底面正三角形的边长是多少?
答案
(1)设裁去的正方形的边长为 $x$ cm,由题意得,$(40-2x)(30-2x)=600$,$1200-80x-60x+4x^2=600$,$4x^2-140x+600=0$,$x^2-35x+150=0$,$(x-30)(x-5)=0$,$x-30=0$ 或 $x-5=0$,所以 $x=5$ 或30(不合题意舍去)；
(2)如图所示,延长 $EF$ 交 $CD$ 于点 $P$,因为 $△ NEF$ 是等边三角形,所以 $NF=EF$,$∠ NFE=60°$。由矩形可得,$EF=HK=NF=MQ$,$FK=FQ$,$∠ NFQ=90°$,设 $EF=NF=MQ=HK=2a$。由题意得,四边形 $CKFP$ 是矩形,所以 $FK=PC$,$FP=KC=BH$。设 $FK=FQ=PC=x$,则 $FP=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x$,$PQ=\dfrac{1}{2}x$,因为 $BH+HK+KC=BC$,所以 $\sqrt{3}x+2a=40$。又 $DQ=\sqrt{3}a$,所以 $l=CD=PC+PQ+DQ=x+\dfrac{1}{2}x+\sqrt{3}a=\dfrac{3}{2}x+\sqrt{3}a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}x+2a)=20\sqrt{3}$。因为 $S_{\mathrm{底}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}×(2a)^2=\sqrt{3}a^2$,$S_{\mathrm{侧}}=3× x×2a=6ax$,由题意得,$S_{\mathrm{底}}=S_{\mathrm{侧}}$,所以 $\sqrt{3}a^2=6ax$,所以 $a(\sqrt{3}a-6x)=0$,所以 $\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{6}a+2a=40$,所以 $a=16$,所以底面正三角形的边长 $2a=2×16=32$。
解析
【分析】
(1) 第一问是折叠无盖纸盒问题，裁去四个相同小正方形后，底面为长方形，其长和宽分别是原长方形的长、宽减去2倍正方形边长，根据底面积公式列一元二次方程求解，需舍去不符合实际的解。
(2) 第二问折成底面为正三角形的无盖纸盒，需利用正三角形的性质（三边相等、内角60°）和矩形的边长关系，建立方程求$ l $；再根据底面积与侧面积相等的条件，结合边长关系求出正三角形的边长。
【解析】
(1) 设裁去的正方形边长为$ x \, \mathrm{cm} $，折成无盖纸盒后，底面长方形的长为$ (40 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (30 - 2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 600 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$
展开整理得：
$x^2 - 35x + 150 = 0$
因式分解解得：
$(x - 5)(x - 30) = 0 \implies x = 5 \mathrm{ 或 } x = 30$
当$ x = 30 $时，$ 30 - 2x = -30 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
故裁去的正方形边长为$ 5 \, \mathrm{cm} $。
(2) 设底面正三角形的边长为$ 2a \, \mathrm{cm} $，结合正三角形性质和图形边长关系，推导得：
$ l = 20\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $；
底面积$ S_{\mathrm{底}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a)^2 = \sqrt{3}a^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = 3 × x × 2a = 6ax $。
由$ S_{\mathrm{底}} = S_{\mathrm{侧}} $，得$ \sqrt{3}a^2 = 6ax $，结合$ \sqrt{3}x + 2a = 40 $，解得$ a = 16 $，故底面正三角形的边长为$ 2a = 32 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
(1) 裁去的正方形边长为$\boldsymbol{5 \, \mathrm{cm}}$；
(2) $ l $的长为$\boldsymbol{20\sqrt{3} \, \mathrm{cm}}$，底面正三角形的边长为$\boldsymbol{32 \, \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程的应用、正三角形的性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合折叠图形考查方程应用，第一问为基础的一元二次方程求解，第二问需结合正三角形性质和几何边长关系推导，解题关键是理清图形折叠前后的边长变化，舍去不符合实际的解，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
(1) 第一问是折叠无盖纸盒问题，裁去四个相同小正方形后，底面为长方形，其长和宽分别是原长方形的长、宽减去2倍正方形边长，根据底面积公式列一元二次方程求解，需舍去不符合实际的解。
(2) 第二问折成底面为正三角形的无盖纸盒，需利用正三角形的性质（三边相等、内角60°）和矩形的边长关系，建立方程求$ l $；再根据底面积与侧面积相等的条件，结合边长关系求出正三角形的边长。
【解析】
(1) 设裁去的正方形边长为$ x \, \mathrm{cm} $，折成无盖纸盒后，底面长方形的长为$ (40 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (30 - 2x) \, \mathrm{cm} $。
根据底面积为$ 600 \, \mathrm{cm}^2 $，列方程：
$(40 - 2x)(30 - 2x) = 600$
展开整理得：
$x^2 - 35x + 150 = 0$
因式分解解得：
$(x - 5)(x - 30) = 0 \implies x = 5 \mathrm{ 或 } x = 30$
当$ x = 30 $时，$ 30 - 2x = -30 ＜ 0 $，不符合实际，舍去。
故裁去的正方形边长为$ 5 \, \mathrm{cm} $。
(2) 设底面正三角形的边长为$ 2a \, \mathrm{cm} $，结合正三角形性质和图形边长关系，推导得：
$ l = 20\sqrt{3} \, \mathrm{cm} $；
底面积$ S_{\mathrm{底}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(2a)^2 = \sqrt{3}a^2 $，侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = 3 × x × 2a = 6ax $。
由$ S_{\mathrm{底}} = S_{\mathrm{侧}} $，得$ \sqrt{3}a^2 = 6ax $，结合$ \sqrt{3}x + 2a = 40 $，解得$ a = 16 $，故底面正三角形的边长为$ 2a = 32 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
(1) 裁去的正方形边长为$\boldsymbol{5 \, \mathrm{cm}}$；
(2) $ l $的长为$\boldsymbol{20\sqrt{3} \, \mathrm{cm}}$，底面正三角形的边长为$\boldsymbol{32 \, \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一元二次方程的应用、正三角形的性质、矩形面积计算
【点评】
本题结合折叠图形考查方程应用，第一问为基础的一元二次方程求解，第二问需结合正三角形性质和几何边长关系推导，解题关键是理清图形折叠前后的边长变化，舍去不符合实际的解，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
