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20.小明准备进行如下实验操作:把一根长为 32 cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于 $34 \mathrm{~cm}^2$, 则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于 $30 \mathrm{~cm}^2$ 。你认为他的说法正确吗?请说明理由。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于 $34 \mathrm{~cm}^2$, 则这两个正方形的边长各是多少?
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于 $30 \mathrm{~cm}^2$ 。你认为他的说法正确吗?请说明理由。
答案
(1)设其中一个正方形的边长为 $x$ cm,则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm,根据题意得 $x^2+(8-x)^2=34$,解得 $x_1=3$,$x_2=5$,因此这两个正方形的边长分别是3 cm,5 cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于 $30\ \mathrm{cm}^2$,理由如下:若两个正方形的面积和为 $30\ \mathrm{cm}^2$,则 $x^2+(8-x)^2=30$,所以 $x^2-8x+17=0$。因为 $b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于 $30\ \mathrm{cm}^2$。
(2)两个正方形的面积之和不可能等于 $30\ \mathrm{cm}^2$,理由如下:若两个正方形的面积和为 $30\ \mathrm{cm}^2$,则 $x^2+(8-x)^2=30$,所以 $x^2-8x+17=0$。因为 $b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于 $30\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确：铁丝总长32cm，剪成两段后分别做正方形，两个正方形的周长和为32cm，因此两个正方形的边长之和为$32÷4=8\mathrm{cm}$。设其中一个正方形边长为$x\mathrm{cm}$，则另一个为$(8-x)\mathrm{cm}$。第(1)问根据两个正方形面积和为$34\mathrm{cm}^2$列一元二次方程求解；第(2)问假设面积和为$30\mathrm{cm}^2$，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有解，进而说明是否可能。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为$x\mathrm{cm}$，则另一个正方形的边长为$(8-x)\mathrm{cm}$。
根据两个正方形面积之和为$34\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2 = 34$
展开并整理：
$x^2 + 64 -16x +x^2 =34 \\2x^2 -16x +30=0 \x^2 -8x +15=0$
因式分解得：
$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，因此两个正方形的边长分别为3cm和5cm。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积和为$30\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2=30$
整理得：
$x^2 -8x +17=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-8)^2 -4×1×17=64-68=-4＜0$
因为判别式小于0，该方程无实数根，不存在满足条件的边长，所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$，小明的说法正确。
【答案】
(1) 3 cm和5 cm；(2) 正确，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题结合正方形周长、面积考查一元二次方程的应用，核心是利用周长关系确定边长的数量关系，通过面积公式建立方程，再用根的判别式判断方程解的存在性，是一元二次方程应用的典型题型，需掌握方程求解和判别式的使用方法。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确：铁丝总长32cm，剪成两段后分别做正方形，两个正方形的周长和为32cm，因此两个正方形的边长之和为$32÷4=8\mathrm{cm}$。设其中一个正方形边长为$x\mathrm{cm}$，则另一个为$(8-x)\mathrm{cm}$。第(1)问根据两个正方形面积和为$34\mathrm{cm}^2$列一元二次方程求解；第(2)问假设面积和为$30\mathrm{cm}^2$，通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有解，进而说明是否可能。
【解析】
(1) 设其中一个正方形的边长为$x\mathrm{cm}$，则另一个正方形的边长为$(8-x)\mathrm{cm}$。
根据两个正方形面积之和为$34\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2 = 34$
展开并整理：
$x^2 + 64 -16x +x^2 =34 \\2x^2 -16x +30=0 \x^2 -8x +15=0$
因式分解得：
$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，因此两个正方形的边长分别为3cm和5cm。
(2) 小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积和为$30\mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2=30$
整理得：
$x^2 -8x +17=0$
计算根的判别式：
$\Delta=(-8)^2 -4×1×17=64-68=-4＜0$
因为判别式小于0，该方程无实数根，不存在满足条件的边长，所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\mathrm{cm}^2$，小明的说法正确。
【答案】
(1) 3 cm和5 cm；(2) 正确，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题结合正方形周长、面积考查一元二次方程的应用，核心是利用周长关系确定边长的数量关系，通过面积公式建立方程，再用根的判别式判断方程解的存在性，是一元二次方程应用的典型题型，需掌握方程求解和判别式的使用方法。
【难度系数】
0.6
21.把一个足球垂直地面向上踢，t秒后该足球的高度h(m)适用公式$h=-5t^{2}+at$，已知当足球踢出4秒后回到地面。
(1)求a的值；
(2)若该足球踢出t秒后和$(t+2)$秒后，足球的高度相同，求t的值；
(3)是否有可能该足球踢出$(t+1)$秒后的高度比踢出t秒后的高度高18 m？通过计算说明。
(1)求a的值；
(2)若该足球踢出t秒后和$(t+2)$秒后，足球的高度相同，求t的值；
(3)是否有可能该足球踢出$(t+1)$秒后的高度比踢出t秒后的高度高18 m？通过计算说明。
答案
(1)由题意,得当 $t=4$ 时,$h=0$,所以 $0=-5×4^2+4a$,解得 $a=20$；
(2)由(1)得 $h=-5t^2+20$,所以抛物线的对称轴为直线 $t=-\dfrac{b}{2a}=2$。因为 $t$ 秒后和$(t+2)$秒后,足球的高度相同,所以 $\dfrac{t+(t+2)}{2}=2$,解得 $t=1$；
(3)由题意,得 $-5(t+1)^2+20(t+1)-(-5t^2+20t)=18$。$-5(t^2+2t+1)+20t+20+5t^2-20t-18=0$,解得 $t=-\dfrac{3}{10}$(不合题意,舍去),所以没有可能该足球踢出$(t+1)$秒后的高度比踢出 $t$ 秒后的高度高18 m。
(2)由(1)得 $h=-5t^2+20$,所以抛物线的对称轴为直线 $t=-\dfrac{b}{2a}=2$。因为 $t$ 秒后和$(t+2)$秒后,足球的高度相同,所以 $\dfrac{t+(t+2)}{2}=2$,解得 $t=1$；
(3)由题意,得 $-5(t+1)^2+20(t+1)-(-5t^2+20t)=18$。$-5(t^2+2t+1)+20t+20+5t^2-20t-18=0$,解得 $t=-\dfrac{3}{10}$(不合题意,舍去),所以没有可能该足球踢出$(t+1)$秒后的高度比踢出 $t$ 秒后的高度高18 m。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：足球回到地面时高度h=0，已知t=4时h=0，代入给定的高度公式即可求出a的值；
2. 第(2)问：先由第(1)问得到具体的二次函数表达式，二次函数中函数值相等的两个点的横坐标的中点在对称轴上，先求出抛物线的对称轴，再根据t秒和(t+2)秒高度相同，它们的横坐标中点等于对称轴，据此列方程求解t；
3. 第(3)问：分别表示出(t+1)秒和t秒的足球高度，根据高度差为18m列出方程，解一元二次方程后，结合实际意义（时间t≥0）判断解是否合理，进而得出结论。
【解析】
(1) 已知当t=4时，足球回到地面，即h=0，将t=4，h=0代入h=-5t²+at，得：
0 = -5×4² + 4a
计算得：0 = -80 + 4a
移项解得：a = 20；
(2) 由(1)知h=-5t²+20t，对于二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴为直线t=-b/(2a)，这里a=-5，b=20，所以对称轴为：
t = -20/(2×(-5)) = 2
因为t秒后和(t+2)秒后足球高度相同，根据二次函数对称性，这两个时间的横坐标中点等于对称轴，即：
[t + (t+2)]/2 = 2
化简得：t + 1 = 2
解得：t = 1；
(3) 假设存在这样的t，使得(t+1)秒后的高度比t秒后的高度高18m，则：
h(t+1) - h(t) = 18
代入h=-5t²+20t，得：
[-5(t+1)² + 20(t+1)] - (-5t² + 20t) = 18
展开并化简左边：
[-5(t² + 2t + 1) + 20t + 20] +5t² -20t = -5t² -10t -5 +20t +20 +5t² -20t = -10t +15
所以方程变为：-10t +15 =18
移项得：-10t = 3 → t = -3/10
因为时间t不能为负数，所以该解不合题意，舍去，因此不存在这样的t，即没有可能该足球踢出(t+1)秒后的高度比踢出t秒后的高度高18m。
【答案】
(1) a=20；(2) t=1；(3) 没有可能。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的对称性，一元二次方程的解法。
【点评】
本题结合足球运动的实际场景，考查二次函数的性质及一元二次方程的应用，解题时需注意二次函数对称性的运用，以及实际问题中变量的取值范围（时间非负），整体难度适中，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：足球回到地面时高度h=0，已知t=4时h=0，代入给定的高度公式即可求出a的值；
2. 第(2)问：先由第(1)问得到具体的二次函数表达式，二次函数中函数值相等的两个点的横坐标的中点在对称轴上，先求出抛物线的对称轴，再根据t秒和(t+2)秒高度相同，它们的横坐标中点等于对称轴，据此列方程求解t；
3. 第(3)问：分别表示出(t+1)秒和t秒的足球高度，根据高度差为18m列出方程，解一元二次方程后，结合实际意义（时间t≥0）判断解是否合理，进而得出结论。
【解析】
(1) 已知当t=4时，足球回到地面，即h=0，将t=4，h=0代入h=-5t²+at，得：
0 = -5×4² + 4a
计算得：0 = -80 + 4a
移项解得：a = 20；
(2) 由(1)知h=-5t²+20t，对于二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴为直线t=-b/(2a)，这里a=-5，b=20，所以对称轴为：
t = -20/(2×(-5)) = 2
因为t秒后和(t+2)秒后足球高度相同，根据二次函数对称性，这两个时间的横坐标中点等于对称轴，即：
[t + (t+2)]/2 = 2
化简得：t + 1 = 2
解得：t = 1；
(3) 假设存在这样的t，使得(t+1)秒后的高度比t秒后的高度高18m，则：
h(t+1) - h(t) = 18
代入h=-5t²+20t，得：
[-5(t+1)² + 20(t+1)] - (-5t² + 20t) = 18
展开并化简左边：
[-5(t² + 2t + 1) + 20t + 20] +5t² -20t = -5t² -10t -5 +20t +20 +5t² -20t = -10t +15
所以方程变为：-10t +15 =18
移项得：-10t = 3 → t = -3/10
因为时间t不能为负数，所以该解不合题意，舍去，因此不存在这样的t，即没有可能该足球踢出(t+1)秒后的高度比踢出t秒后的高度高18m。
【答案】
(1) a=20；(2) t=1；(3) 没有可能。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的对称性，一元二次方程的解法。
【点评】
本题结合足球运动的实际场景，考查二次函数的性质及一元二次方程的应用，解题时需注意二次函数对称性的运用，以及实际问题中变量的取值范围（时间非负），整体难度适中，是二次函数应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
