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19. (9分)一根弹簧长12 cm,在弹性限度(总长不超过20 cm)内,每挂质量为1 kg的物体,弹簧伸长0.5 cm.
(1)代数式$0.5x+12$表示的实际意义是;
(2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体?
(1)代数式$0.5x+12$表示的实际意义是;
(2)这根弹簧最多可挂质量为多少的物体?
答案
解：
(1) 挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度
(2) 设这根弹簧最多可挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体，
根据题意，弹簧总长最大为20 cm，列方程得：
$0.5x + 12 = 20$
移项，得：
$0.5x = 20 - 12$
计算得：
$0.5x = 8$
系数化为1，得：
$x = 16$
答：这根弹簧最多可挂质量为16 kg的物体。
(1) 挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度
(2) 设这根弹簧最多可挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体，
根据题意，弹簧总长最大为20 cm，列方程得：
$0.5x + 12 = 20$
移项，得：
$0.5x = 20 - 12$
计算得：
$0.5x = 8$
系数化为1，得：
$x = 16$
答：这根弹簧最多可挂质量为16 kg的物体。
解析
【分析】
对于第(1)问，先拆解代数式各部分的含义：12cm是弹簧的原长，0.5cm是每挂1kg物体弹簧的伸长量，x是所挂物体的质量，0.5x就是挂x kg物体时弹簧的总伸长量，二者相加就是挂物体后弹簧的总长度。对于第(2)问，首先明确弹性限度要求弹簧总长不超过20cm，要挂最多质量的物体，此时弹簧总长刚好达到最大值20cm，根据“弹簧总长度=原长+挂物体后的伸长量”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到最多可挂物体的质量。
【解析】
(1) 代数式中12为弹簧原长，0.5为每挂1kg物体的伸长量，x为所挂物体的质量，因此$0.5x+12$表示挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度。
(2) 设这根弹簧最多可挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体，
根据题意，弹簧总长最大为20 cm，列方程得：
$0.5x + 12 = 20$
移项，得：
$0.5x = 20 - 12$
计算得：
$0.5x = 8$
系数化为1，得：
$x = 16$
答：这根弹簧最多可挂质量为16 kg的物体。
【答案】
(1) 挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度；(2) 16 kg
【知识点】
代数式的实际意义；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合弹簧拉伸的生活实际场景，既考查了对代数式实际含义的理解能力，也考查了利用一元一次方程求解实际最值问题的能力，解题的核心是找准弹簧长度的等量关系，注意弹性限度的限制条件。
【难度系数】
0.85
对于第(1)问，先拆解代数式各部分的含义：12cm是弹簧的原长，0.5cm是每挂1kg物体弹簧的伸长量，x是所挂物体的质量，0.5x就是挂x kg物体时弹簧的总伸长量，二者相加就是挂物体后弹簧的总长度。对于第(2)问，首先明确弹性限度要求弹簧总长不超过20cm，要挂最多质量的物体，此时弹簧总长刚好达到最大值20cm，根据“弹簧总长度=原长+挂物体后的伸长量”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到最多可挂物体的质量。
【解析】
(1) 代数式中12为弹簧原长，0.5为每挂1kg物体的伸长量，x为所挂物体的质量，因此$0.5x+12$表示挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度。
(2) 设这根弹簧最多可挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体，
根据题意，弹簧总长最大为20 cm，列方程得：
$0.5x + 12 = 20$
移项，得：
$0.5x = 20 - 12$
计算得：
$0.5x = 8$
系数化为1，得：
$x = 16$
答：这根弹簧最多可挂质量为16 kg的物体。
【答案】
(1) 挂质量为$x\ \mathrm{kg}$的物体时弹簧的总长度；(2) 16 kg
【知识点】
代数式的实际意义；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合弹簧拉伸的生活实际场景，既考查了对代数式实际含义的理解能力，也考查了利用一元一次方程求解实际最值问题的能力，解题的核心是找准弹簧长度的等量关系，注意弹性限度的限制条件。
【难度系数】
0.85
20. (9分)如图4是某居民小区的一块长为a m,宽为2b m的长方形空地,为了美化环境,准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为b m的扇形花台,然后在花台内种花,其余种草(草地用阴影表示).建造花台及种花的费用为每平方米100元,种草的费用为每平方米50元.
(1)草地(阴影部分)的面积为平方米;(用含有a,b,π的代数式表示)
(2)当a=7,b=2,π取3时,美化这块空地共需多少元?
(1)草地(阴影部分)的面积为平方米;(用含有a,b,π的代数式表示)
(2)当a=7,b=2,π取3时,美化这块空地共需多少元?
答案
解：
(1) $2ab - π b^2$
(2) 美化空地的总费用为种花总费用加种草总费用，列式得：
$100 × π b^2 + 50 × (2ab - π b^2)$
将$a=7$，$b=2$，$π=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=100× 3× 2^2 + 50× (2× 7× 2 - 3× 2^2)\\&=100× 3× 4 + 50× (28 - 12)\\&=1200 + 50× 16\\&=1200 + 800\\&=2000\end{aligned}$
答：美化这块空地共需2000元。
(1) $2ab - π b^2$
(2) 美化空地的总费用为种花总费用加种草总费用，列式得：
$100 × π b^2 + 50 × (2ab - π b^2)$
将$a=7$，$b=2$，$π=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=100× 3× 2^2 + 50× (2× 7× 2 - 3× 2^2)\\&=100× 3× 4 + 50× (28 - 12)\\&=1200 + 50× 16\\&=1200 + 800\\&=2000\end{aligned}$
答：美化这块空地共需2000元。
解析
【分析】
(1) 求阴影部分草地面积可采用“整体减空白”的思路：先算长方形空地的总面积，再算四个扇形花台的总面积，两者相减即可得到草地面积。观察四个扇形，每个圆心角都是90°，四个扇形刚好可以拼成一个半径为b的整圆，因此空白花台的总面积就是半径为b的圆的面积。
(2) 总费用为种花总费用加种草总费用，先根据两类区域的面积和对应单价列出总费用的代数式，再将a=7、b=2、π=3代入代数式，按运算顺序计算就能得到最终总费用。
【解析】
(1) 长方形空地的面积为：$a × 2b = 2ab$（平方米）
四个扇形的圆心角均为90°，拼接后是1个半径为b的完整的圆，面积为：$π b^2$（平方米）
因此草地的面积为：$2ab - π b^2$（平方米）
(2) 美化空地的总费用=种花费用+种草费用，列式得：
$100 × π b^2 + 50 × (2ab - π b^2)$
将$a=7$，$b=2$，$π=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=100× 3× 2^2 + 50× (2× 7× 2 - 3× 2^2)\\&=100× 3× 4 + 50× (28 - 12)\\&=1200 + 50× 16\\&=1200 + 800\\&=2000\end{aligned}$
【答案】
(1) $2ab - π b^2$；(2) 2000元
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数与几何的综合应用，解题核心是判断出四个扇形可拼接为一个整圆，理清面积、费用的计算逻辑，计算时遵循运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影部分草地面积可采用“整体减空白”的思路：先算长方形空地的总面积，再算四个扇形花台的总面积，两者相减即可得到草地面积。观察四个扇形，每个圆心角都是90°，四个扇形刚好可以拼成一个半径为b的整圆，因此空白花台的总面积就是半径为b的圆的面积。
(2) 总费用为种花总费用加种草总费用，先根据两类区域的面积和对应单价列出总费用的代数式，再将a=7、b=2、π=3代入代数式，按运算顺序计算就能得到最终总费用。
【解析】
(1) 长方形空地的面积为：$a × 2b = 2ab$（平方米）
四个扇形的圆心角均为90°，拼接后是1个半径为b的完整的圆，面积为：$π b^2$（平方米）
因此草地的面积为：$2ab - π b^2$（平方米）
(2) 美化空地的总费用=种花费用+种草费用，列式得：
$100 × π b^2 + 50 × (2ab - π b^2)$
将$a=7$，$b=2$，$π=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=100× 3× 2^2 + 50× (2× 7× 2 - 3× 2^2)\\&=100× 3× 4 + 50× (28 - 12)\\&=1200 + 50× 16\\&=1200 + 800\\&=2000\end{aligned}$
【答案】
(1) $2ab - π b^2$；(2) 2000元
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查代数与几何的综合应用，解题核心是判断出四个扇形可拼接为一个整圆，理清面积、费用的计算逻辑，计算时遵循运算顺序即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
