7.(2024·兰州期中)如图,有一块三角形镜子,小明不小心将它打破成①,②两块,现需配成同样大小的一面镜子,为了方便起见,需带上第块.

7. ①

【分析】
要配出和原来同样大小的三角形镜子，本质是构造与原三角形全等的三角形，需要结合全等三角形的判定条件分析两块碎片保留的原三角形元素：首先看第①块，它保留了原三角形的两个完整内角以及这两个角的夹边，满足全等三角形的“角边角”判定条件，能唯一确定和原三角形全等的三角形；再看第②块，仅保留了原三角形的部分边和一个内角，缺少足够的全等判定元素，无法确定原三角形的形状和大小，因此选择带第①块。
【解析】
配同样大小的镜子即需要得到与△ABC全等的三角形，根据全等三角形的判定定理分析：
1. 第①块碎片保留了原三角形的完整边AB，以及完整的∠A、∠B，符合“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，可唯一确定与原三角形全等的三角形，能配出相同的镜子；
2. 第②块碎片仅保留了原三角形的部分边和一个内角，不满足全等三角形的判定条件，无法确定原三角形的形状和大小，不能配出相同的镜子。
因此需带上第①块。
【答案】
①
【知识点】
全等三角形的判定，ASA（角边角）定理
【点评】
本题是全等三角形判定的实际应用问题，解题关键是准确识别碎片保留的原三角形的边、角元素，结合全等判定条件分析判断，能帮助学生理解数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8

8.【教材P43习题T2变式】如图，已知$OA=OB$，$OC=OD$，$∠ O=50°$，$∠ D=35°$，则$∠ OBC=$（）

A.$95°$
B.$120°$
C.$50°$
D.$105°$

8. A

【分析】
解题时先观察已知条件：OA=OB，OC=OD，且∠O是△OAD和△OBC的公共角，首先可通过SAS判定定理证明两个三角形全等，得到∠C的度数，再利用三角形内角和为180°即可求出∠OBC的度数。
【解析】
在$△ OAD$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB(\mathrm{已知})\\∠ O=∠ O(\mathrm{公共角相等})\\OD=OC(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ OAD ≌ △ OBC(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ C=∠ D=35°$（全等三角形对应角相等）
在$△ OBC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ OBC=180°-∠ O-∠ C=180°-50°-35°=95°$
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是找到图形中的公共角，结合已知边的相等关系证明三角形全等，再利用内角和定理计算角度，这类题型是几何的高频基础考点。
【难度系数】
0.7

9.如图，已知$△ ABC$，D是AB延长线上一点，$BD=CB$，$DE// BC$，$DE=BA$，连接BE。求证：$BE=CA$。

02 综合练
关键能力提升

9. 证明:
∵DE//BC,
∴∠BDE=∠CBA. 在△EDB 和△ABC 中,$\begin{cases}BD=CB,\\∠BDE=∠CBA,\\DE=BA,\end{cases}$
∴△EDB≌△ABC(SAS).
∴BE=CA.

【分析】
要证明BE=CA，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形，BE属于△EDB，CA属于△ABC，接下来梳理全等所需条件：题目已知BD=CB、DE=BA，还缺少一组夹角相等；由DE//BC，根据平行线的同位角相等性质可得∠BDE=∠CBA，该角恰好是两组已知对应边的夹角，满足SAS的全等判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBA。
在△EDB和△ABC中：
$\begin{cases} BD=CB,\\ ∠BDE=∠CBA,\\ DE=BA, \end{cases}$
∴△EDB≌△ABC（SAS）。
∴BE=CA。
【答案】
BE=CA
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题，解题关键是准确找到待证线段所属的三角形，结合已知条件推导全等所需的判定条件，能帮助学生巩固平行线与全等三角形的综合应用思路。
【难度系数】
0.8

10.【教材 P34 练习 T2 变式】
茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知$∠ B=∠ E,AB=DE,BF=EC$，其中$△ ABC$的周长为 24 cm，$CF=3$ cm，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为。

10. 45 cm

【分析】
要计算整个金属框架的总长度，首先需要判断△ABC和△DEF的关系。已知BF=EC，给等式两边同时加上公共线段FC，可推出BC=EF；结合已知的∠B=∠E、AB=DE，可通过SAS判定两个三角形全等，得到△DEF的周长与△ABC相等。由于CF是两个三角形的公共边，在分别计算两个三角形周长时CF被重复计算了一次，因此总长度等于两个三角形周长之和减去重复的CF长度。
【解析】
1. 推导边相等：
∵ BF=EC
∴ BF + CF = EC + CF，即 $BC=EF$
2. 证明三角形全等：
在△ABC和△DEF中
$\{\begin{array}{l}AB=DE \\∠B=∠E \\BC=EF\end{array} $
∴ $△ ABC≌△ DEF$（SAS）
∴ △DEF的周长 = △ABC的周长 = 24 cm
3. 计算总材料长度：
整个框架的长度为两个三角形周长之和减去重复计算的CF长度（CF为公共边，仅需计算1次）
总长度 $=24+24-3=45$ cm
【答案】
45 cm
【知识点】
全等三角形的判定（SAS）；全等三角形的性质；周长计算
【点评】
本题解题核心是先通过边角边判定证明两个三角形全等，得到周长相等的结论，再注意减去重叠部分的长度，避免重复计算即可得出正确结果，属于基础的全等三角形应用类题目。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=20°$,过点A作$AE⊥ BC$,垂足为E,延长EA至点D,使$AD=AC$,在边AC上截取$AF=AB$,连接DF.求证:$DF=CB$.
03 素养练 学科素养培育

11. 证明:
∵在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°.
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°.
∴∠DAF=∠CAB. 在△DAF 和△CAB 中,$\begin{cases}AD=AC,\\∠DAF=∠CAB,\\AF=AB,\end{cases}$
∴△DAF≌△CAB(SAS).
∴DF=CB.

【分析】
要证明线段$DF=CB$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来实现。观察图形可知$DF$在$△ DAF$中，$CB$在$△ CAB$中，题目已给出$AD=AC$、$AF=AB$两组对应边相等，只需再证明两组对应边的夹角$∠ DAF=∠ CAB$即可。首先利用三角形内角和求出$△ ABC$中$∠ CAB$的度数，再结合$AE⊥ BC$的条件计算出$∠ DAF$的度数，验证两个角相等后，即可用SAS判定$△ DAF≌△ CAB$，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：
$\because$在$△ ABC$中，$∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ CAB=180°-∠ B-∠ C=180°-50°-20°=110°$，
$\because AE⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC=90°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ AEC+∠ C=90°+20°=110°$，
$\therefore ∠ DAF=∠ CAB$，
在$△ DAF$和$△ CAB$中：
$\begin{cases}AD=AC,\\∠ DAF=∠ CAB,\\AF=AB,\end{cases}$
$\therefore △ DAF≌△ CAB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF=CB$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DF=CB$
【知识点】
三角形内角和定理；SAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的利用全等三角形证明线段相等的基础题，解题的突破口是通过角度计算得到全等所需的夹角相等的条件，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和对应性质。
【难度系数】
0.7

12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=∠ B=60°$，$AB=AC$，点$D$，$E$分别是边$BC$，$AB$所在直线上的动点，且$BD=AE$，直线$AD$与$CE$交于点$F$.
（1）当点$D$，$E$在边$BC$，$AB$上运动时，$∠ DFC$的度数________发生变化（填“会”或“不会”）；
（2）当点$D$，$E$运动到$CB$，$BA$的延长线上时，（1）中的结论是否改变？请说明理由.

解:(1)不会
(2)如图,当 D,E 运动到 CB,BA 的延长线上时,(1)中的结论不会发生改变,理由如下:
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,∠EAC=180°-∠BAC=120°,
∴∠ABD=∠EAC.
∵在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}AB=CA,\\∠ABD=∠CAE,\\BD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(SAS),
∴∠D=∠AEC.
∵∠DFC=∠AEC+∠EAF,∠EAF=∠BAD,
∴∠DFC=∠D+∠DAB=∠CBA=60°.

【分析】
要解决这道题，首先先判断△ABC的形状：已知∠BAC=∠B=60°且AB=AC，可得出△ABC是等边三角形，三边相等，三个内角均为60°。
对于（1）问，判断∠DFC是否变化，核心思路是通过证明三角形全等得到角的等量关系，再利用三角形外角性质推导∠DFC是否为定值：先证△ABD和△CAE全等，得到对应角相等，再将∠DFC转化为△ABC的内角，判断是否为固定值。
对于（2）问，动点在延长线上时，思路和（1）一致：先计算两个三角形的钝角相等，结合已知的AB=AC、BD=AE，用SAS证全等，再通过角的等量代换结合外角性质推导∠DFC的度数，判断是否和（1）的结果一致。
【解析】
（1）先证明△ABC为等边三角形：
∵∠BAC=∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，即AB=AC，∠BAC=∠B=60°。
在△ABD和△CAE中：
$\begin{cases}AB=CA\\∠B=∠CAE=60°\\BD=AE\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），得∠BAD=∠ACE。
∵∠DFC是△AFC的外角，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°，
因此∠DFC为固定值，不会发生变化。
（2）当点D、E运动到CB、BA的延长线上时，（1）的结论不变，推导如下：
∠ABD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∠EAC=180°-∠BAC=180°-60°=120°，故∠ABD=∠EAC。
在△ABD和△CAE中：
$\begin{cases}AB=CA\\∠ABD=∠CAE\\BD=AE\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE（SAS），得∠D=∠AEC。
∵∠DFC=∠AEC+∠EAF，且∠EAF与∠BAD是对顶角，即∠EAF=∠BAD，
∴∠DFC=∠D+∠BAD。
又∠ABC是△ABD的外角，即∠ABC=∠D+∠BAD=60°，
因此∠DFC=60°，（1）的结论不会改变。
【答案】
(1)不会
(2)如图,当 D,E 运动到 CB,BA 的延长线上时,(1)中的结论不会发生改变,理由如下:
∵∠ABD=180°-∠ABC=120°,∠EAC=180°-∠BAC=120°,
∴∠ABD=∠EAC.
∵在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}AB=CA,\\∠ABD=∠CAE,\\BD=AE,\end{cases}$
∴△ABD≌△CAE(SAS),
∴∠D=∠AEC.
∵∠DFC=∠AEC+∠EAF,∠EAF=∠BAD,
∴∠DFC=∠D+∠DAB=∠CBA=60°.

【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是动点背景下的角度定值探究题，解题的核心是抓住不变的边和角的关系，通过全等三角形实现角的等量代换，结合三角形外角性质推导得到定值，无论动点在边上还是延长线上，全等关系不变是解题的关键，能有效考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7