登录
如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,求$\sin A$和$\sin B$的值.
答案
解：由勾股定理得斜边AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}$，若直角边BC=3，AC=4，则AB=5，因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$。
解析
【分析】
要求Rt△ABC中sinA和sinB的值，首先明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。解题分两步走：第一步根据已知的两条直角边长度，用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步分别确定∠A、∠B的对边，再根据正弦定义代入计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=4，BC=3。
1. 求斜边AB的长度：
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
2. 计算正弦值：
根据正弦定义，锐角的正弦为对边比斜边：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$
$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理、锐角正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题核心是牢记正弦的定义，结合勾股定理求出斜边即可完成求解，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
要求Rt△ABC中sinA和sinB的值，首先明确锐角正弦的定义：直角三角形中一个锐角的正弦等于它的对边长度与斜边长度的比值。解题分两步走：第一步根据已知的两条直角边长度，用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步分别确定∠A、∠B的对边，再根据正弦定义代入计算即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=4，BC=3。
1. 求斜边AB的长度：
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
2. 计算正弦值：
根据正弦定义，锐角的正弦为对边比斜边：
$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$
$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}$
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$
【知识点】
勾股定理、锐角正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，解题核心是牢记正弦的定义，结合勾股定理求出斜边即可完成求解，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，若$△ ABC$的三边都缩小为原来的$\frac{1}{5}$，则$\sin A$的值（
A.放大为原来的5倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{5}$
C.不变
D.无法确定
C
）A.放大为原来的5倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{5}$
C.不变
D.无法确定
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确锐角正弦的定义：锐角的正弦值是该角的对边与斜边的比值，本质是两条边的比例关系，仅和角的大小有关，和边的绝对长度无关。当三角形三边按相同比例缩放时，得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，其对边和斜边的比值也不会改变，我们可以通过计算缩放前后sinA的具体值验证结论。
【解析】
设原$Rt△ABC$中，∠A的对边为$a$，斜边为$c$，根据正弦的定义可得：
原$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$
当三边都缩小为原来的$\frac{1}{5}$后，∠A的对边变为$\frac{1}{5}a$，斜边变为$\frac{1}{5}c$，此时：
新$\sin A = \frac{\frac{1}{5}a}{\frac{1}{5}c} = \frac{a}{c}$
可见缩放前后$\sin A$的数值没有发生变化。
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 相似三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于理解锐角三角函数值的本质是边的比值，仅随对应角的大小变化，与三角形边长的缩放无关，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确锐角正弦的定义：锐角的正弦值是该角的对边与斜边的比值，本质是两条边的比例关系，仅和角的大小有关，和边的绝对长度无关。当三角形三边按相同比例缩放时，得到的新三角形与原三角形相似，∠A的大小不变，其对边和斜边的比值也不会改变，我们可以通过计算缩放前后sinA的具体值验证结论。
【解析】
设原$Rt△ABC$中，∠A的对边为$a$，斜边为$c$，根据正弦的定义可得：
原$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{a}{c}$
当三边都缩小为原来的$\frac{1}{5}$后，∠A的对边变为$\frac{1}{5}a$，斜边变为$\frac{1}{5}c$，此时：
新$\sin A = \frac{\frac{1}{5}a}{\frac{1}{5}c} = \frac{a}{c}$
可见缩放前后$\sin A$的数值没有发生变化。
【答案】
C
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 相似三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于理解锐角三角函数值的本质是边的比值，仅随对应角的大小变化，与三角形边长的缩放无关，掌握核心定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$. 若 $AC = 100, \sin A = \dfrac{3}{5}$, 则 $AB$ 的长是(
A.$\dfrac{500}{3}$
B.$\dfrac{503}{5}$
C.$60$
D.$80$
D
)A.$\dfrac{500}{3}$
B.$\dfrac{503}{5}$
C.$60$
D.$80$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道直角三角形结合锐角正弦的计算题，解题思路如下：首先根据题目给出的∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形，AC为斜边；其次回忆锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，结合已知的sinA和AC的长度，先求出∠A的对边BC的长度；最后利用勾股定理，已知斜边和一条直角边，即可求出另一条直角边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠ABC=90°$，
∴ $△ABC$是直角三角形，斜边为$AC=100$。
根据正弦的定义：$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AC}$，
将$\sin A=\frac{3}{5}$，$AC=100$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{BC}{100}$，解得$BC=100×\frac{3}{5}=60$。
再根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
∴ $AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{100^2 - 60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对锐角正弦定义的理解和勾股定理的应用，解题时注意区分锐角的对边和邻边，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
这是一道直角三角形结合锐角正弦的计算题，解题思路如下：首先根据题目给出的∠ABC=90°，确定△ABC是直角三角形，AC为斜边；其次回忆锐角正弦的定义：锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，结合已知的sinA和AC的长度，先求出∠A的对边BC的长度；最后利用勾股定理，已知斜边和一条直角边，即可求出另一条直角边AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠ABC=90°$，
∴ $△ABC$是直角三角形，斜边为$AC=100$。
根据正弦的定义：$\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AC}$，
将$\sin A=\frac{3}{5}$，$AC=100$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{BC}{100}$，解得$BC=100×\frac{3}{5}=60$。
再根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
∴ $AB=\sqrt{AC^2 - BC^2}=\sqrt{100^2 - 60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对锐角正弦定义的理解和勾股定理的应用，解题时注意区分锐角的对边和邻边，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
