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1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$BC=10\ \mathrm{m}$,求$AB$的长度. 
答案
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AB=2BC=2×10=20 m。
解析
【分析】
本题已知直角三角形的一个30°锐角和该角所对的直角边长度，要求斜边长度。解题时首先回忆含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此可推导出斜边长度是30°角所对直角边的2倍，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，BC是$∠ A$所对的直角边，AB为斜边。
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2BC$。
将$BC=10\ \mathrm{m}$代入计算，得$AB=2×10=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20\ \mathrm{m}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查对含30°角的直角三角形性质的掌握，只需熟记性质即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
本题已知直角三角形的一个30°锐角和该角所对的直角边长度，要求斜边长度。解题时首先回忆含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此可推导出斜边长度是30°角所对直角边的2倍，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，BC是$∠ A$所对的直角边，AB为斜边。
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$AB=2BC$。
将$BC=10\ \mathrm{m}$代入计算，得$AB=2×10=20\ \mathrm{m}$。
【答案】
$20\ \mathrm{m}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查对含30°角的直角三角形性质的掌握，只需熟记性质即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ A = 30°$,$AB = 20\ \mathrm{m}$,求$BC$的长度. 
答案
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×20=10 m。
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：三角形是直角三角形，直角为∠C，∠A=30°，斜边AB长20m，所求BC是∠A的对边，也就是30°角对应的直角边。我们学过直角三角形的特殊性质：30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半，刚好匹配本题的已知和所求，因此直接运用该性质代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
将$AB=20\ \mathrm{m}$代入计算：
$BC=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{m}$
【答案】
$10\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对直角三角形特殊角性质的掌握，只要牢记相关性质就能快速准确求解，是对基础概念应用的常规考查。
【难度系数】
0.9
拿到题目先梳理已知条件：三角形是直角三角形，直角为∠C，∠A=30°，斜边AB长20m，所求BC是∠A的对边，也就是30°角对应的直角边。我们学过直角三角形的特殊性质：30°锐角所对的直角边长度等于斜边的一半，刚好匹配本题的已知和所求，因此直接运用该性质代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$
将$AB=20\ \mathrm{m}$代入计算：
$BC=\frac{1}{2}×20=10\ \mathrm{m}$
【答案】
$10\ \mathrm{m}$
【知识点】
直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对直角三角形特殊角性质的掌握，只要牢记相关性质就能快速准确求解，是对基础概念应用的常规考查。
【难度系数】
0.9
3. 正弦的概念.
(1) 如图,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,我们把锐角A的
(2) $\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} =$
(3) 在一个 Rt△ABC中,∠C = 90°,如何求 sin B 的值?
(1) 如图,在 Rt△ABC中,∠C = 90°,我们把锐角A的
对边
与 斜边
的比叫作∠A的正弦,记作 sin A
.(2) $\sin A = \frac{∠A的对边}{斜边} =$
$\frac{a}{c}$（或$\frac{BC}{AB}$）
.(3) 在一个 Rt△ABC中,∠C = 90°,如何求 sin B 的值?
答案
3. (1) 对边，斜边，sin A
(2) $\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）
(3) sin B 是∠B的对边与斜边的比，即$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$
(2) $\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）
(3) sin B 是∠B的对边与斜边的比，即$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$
解析
【分析】
本题考察锐角正弦的基础概念，解题时紧扣正弦的定义思考即可：①首先明确直角三角形中锐角正弦的定义是该锐角的对边与斜边的比值，有固定的记法；②结合图形识别对应角的对边和斜边，代入即可写出正弦的表达式；③求∠B的正弦值时，类比∠A的正弦定义，先确定∠B的对边和斜边，再写比值即可。
【解析】
(1) 根据锐角正弦的定义，在Rt△ABC中∠C=90°时，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
(2) 结合图形，∠A的对边为BC，长度为a，斜边为AB，长度为c，因此$\sin A=\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）。
(3) 按照正弦的定义，求sinB需先找∠B的对边和斜边：∠B的对边是AC，长度为b，斜边始终为AB，长度为c，因此$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$。
【答案】
(1) 对边，斜边，sin A
(2) $\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）
(3) sin B 是∠B的对边与斜边的比，即$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角对应
【点评】
本题是三角函数的基础概念题，重点考查对正弦定义的识记和理解，准确掌握“锐角的正弦为该角对边与斜边的比值”这一核心概念，即可快速解题，是后续学习三角函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考察锐角正弦的基础概念，解题时紧扣正弦的定义思考即可：①首先明确直角三角形中锐角正弦的定义是该锐角的对边与斜边的比值，有固定的记法；②结合图形识别对应角的对边和斜边，代入即可写出正弦的表达式；③求∠B的正弦值时，类比∠A的正弦定义，先确定∠B的对边和斜边，再写比值即可。
【解析】
(1) 根据锐角正弦的定义，在Rt△ABC中∠C=90°时，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。
(2) 结合图形，∠A的对边为BC，长度为a，斜边为AB，长度为c，因此$\sin A=\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）。
(3) 按照正弦的定义，求sinB需先找∠B的对边和斜边：∠B的对边是AC，长度为b，斜边始终为AB，长度为c，因此$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$。
【答案】
(1) 对边，斜边，sin A
(2) $\frac{a}{c}$（即$\frac{BC}{AB}$）
(3) sin B 是∠B的对边与斜边的比，即$\sin B = \frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}=\frac{AC}{AB}$
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角对应
【点评】
本题是三角函数的基础概念题，重点考查对正弦定义的识记和理解，准确掌握“锐角的正弦为该角对边与斜边的比值”这一核心概念，即可快速解题，是后续学习三角函数相关内容的基础。
【难度系数】
0.9
例 对教材中本章引言提到的问题，如果距离AB和仰角α已经测出，问题就转化为:已知Rt△ABC的一个锐角α的度数和斜边AB的长,求角α的对边BC的长.
思考1:如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?
出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?
结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值是
思考2:如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗?如果是,是多少?
结论:在直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是
猜想:在Rt△ABC中,∠C = 90°,当∠A = 30°或45°时,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.这就引导我们思考这样一个问题:当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
探究:任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C = ∠C' = 90°,∠A = ∠A' = α,那么$\frac{BC}{AB}$与$\frac{B'C'}{A'B'}$有什么关系?你能解释一下吗?
【归纳总结】在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比
正弦函数概念.
规定:在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c.
我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦,记作sin A,即$\sin A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的斜边} = \frac{a}{c}$.
由定义可知:当∠A为锐角时,sin A的取值范围是
思考1:如果使出水口的高度为50 m,那么需要准备多长的水管?
100 m
. 如果使出水口的高度为a m,那么需要准备多长的水管?
2a m
.结论:直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值是
$\frac{1}{2}$
.思考2:如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 45°,∠A对边与斜边的比值是一个定值吗?如果是,是多少?
结论:在直角三角形中,45°角的对边与斜边的比值是
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.猜想:在Rt△ABC中,∠C = 90°,当∠A = 30°或45°时,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值.这就引导我们思考这样一个问题:当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值?
探究:任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C = ∠C' = 90°,∠A = ∠A' = α,那么$\frac{BC}{AB}$与$\frac{B'C'}{A'B'}$有什么关系?你能解释一下吗?
【归纳总结】在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比
是固定值
.正弦函数概念.
规定:在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A的对边记作a,∠B的对边记作b,∠C的对边记作c.
我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦,记作sin A,即$\sin A = \frac{∠ A的对边}{∠ A的斜边} = \frac{a}{c}$.
由定义可知:当∠A为锐角时,sin A的取值范围是
$0＜\sin A＜1$
. 答案
思考1: 100 m，2a m，$\frac{1}{2}$
思考2: 是定值，值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
探究: $\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，所以$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结: 是固定值
sinA取值范围: $0＜\sin A＜1$
思考2: 是定值，值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
探究: $\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，所以$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结: 是固定值
sinA取值范围: $0＜\sin A＜1$
解析
【分析】
解题时按照从特殊到一般的思路逐步推导即可：1. 思考1利用30°直角三角形的特有性质：30°角所对直角边是斜边的一半，直接计算斜边长度，再推导对边与斜边的比值；2. 思考2针对45°的等腰直角三角形，设直角边长度，用勾股定理算出斜边，即可得到对边与斜边的比值，判断是否为定值；3. 探究部分结合相似三角形的判定定理，先证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例推导两个比值的关系；4. 归纳总结时结合前面的特殊角和任意锐角的探究结果，得出固定锐角的对边与斜边比值的特点；5. 最后根据锐角的对边、斜边的长度关系，推导正弦的取值范围。
【解析】
思考1解答
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，本题中出水口高度是30°角的对边，水管长度为斜边：
当对边（出水口高度）为50m时，斜边（水管长度）$=2×50=100\mathrm{m}$；
当对边为$a\mathrm{m}$时，斜边$=2× a=2a\mathrm{m}$；
因此30°角的对边与斜边的比值为$\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$。
思考2解答
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$，则$△ ABC$为等腰直角三角形，即$∠ A$的对边$BC=$邻边$AC$。
设$BC=a$，则$AC=a$，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，因此$\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，是固定值。
探究解答
$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，理由如下：
已知$∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=∠ A'=α$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$，由相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，交叉变形后可得$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结
结合30°、45°及任意锐角$α$的探究结果可知：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是固定值。
正弦取值范围推导
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$为锐角，因此$∠ A$的对边$a$、斜边$c$均为正数，且直角三角形中斜边最长，即$a＜c$，因此$0＜\frac{a}{c}＜1$，即$0＜\sin A＜1$。
【答案】
思考1: 100 m，2a m，$\frac{1}{2}$
思考2: 是定值，值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
探究: $\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，所以$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结: 是固定值
sinA取值范围: $0＜\sin A＜1$
【知识点】
直角三角形性质、相似三角形判定与性质、正弦的定义
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过30°、45°特殊直角三角形的计算得到对应角的对边斜边比值，再通过相似三角形证明任意锐角的该比值为定值，自然引出正弦的概念，既巩固了旧知，也帮助学生轻松理解新的三角函数概念，是典型的概念探究类基础题。
【难度系数】
0.8
解题时按照从特殊到一般的思路逐步推导即可：1. 思考1利用30°直角三角形的特有性质：30°角所对直角边是斜边的一半，直接计算斜边长度，再推导对边与斜边的比值；2. 思考2针对45°的等腰直角三角形，设直角边长度，用勾股定理算出斜边，即可得到对边与斜边的比值，判断是否为定值；3. 探究部分结合相似三角形的判定定理，先证明两个直角三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例推导两个比值的关系；4. 归纳总结时结合前面的特殊角和任意锐角的探究结果，得出固定锐角的对边与斜边比值的特点；5. 最后根据锐角的对边、斜边的长度关系，推导正弦的取值范围。
【解析】
思考1解答
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，本题中出水口高度是30°角的对边，水管长度为斜边：
当对边（出水口高度）为50m时，斜边（水管长度）$=2×50=100\mathrm{m}$；
当对边为$a\mathrm{m}$时，斜边$=2× a=2a\mathrm{m}$；
因此30°角的对边与斜边的比值为$\frac{对边}{斜边}=\frac{1}{2}$。
思考2解答
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=45°$，则$△ ABC$为等腰直角三角形，即$∠ A$的对边$BC=$邻边$AC$。
设$BC=a$，则$AC=a$，由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，因此$\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，是固定值。
探究解答
$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，理由如下：
已知$∠ C=∠ C'=90°$，$∠ A=∠ A'=α$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\mathrm{Rt}△ ABC ∽ \mathrm{Rt}△ A'B'C'$，由相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，交叉变形后可得$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结
结合30°、45°及任意锐角$α$的探究结果可知：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是固定值。
正弦取值范围推导
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$为锐角，因此$∠ A$的对边$a$、斜边$c$均为正数，且直角三角形中斜边最长，即$a＜c$，因此$0＜\frac{a}{c}＜1$，即$0＜\sin A＜1$。
【答案】
思考1: 100 m，2a m，$\frac{1}{2}$
思考2: 是定值，值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
探究: $\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$，因为∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，所以$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{B'C'}{A'B'}$。
归纳总结: 是固定值
sinA取值范围: $0＜\sin A＜1$
【知识点】
直角三角形性质、相似三角形判定与性质、正弦的定义
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究思路，先通过30°、45°特殊直角三角形的计算得到对应角的对边斜边比值，再通过相似三角形证明任意锐角的该比值为定值，自然引出正弦的概念，既巩固了旧知，也帮助学生轻松理解新的三角函数概念，是典型的概念探究类基础题。
【难度系数】
0.8
