3. 在 $△ ABC$ 中, 已知 $∠ C = 90°, AC = 4\sqrt{5}, \sin A = \dfrac{2}{3}$, 那么 $BC$ 边的长是()

A.$2\sqrt{5}$
B.$8$
C.$4\sqrt{5}$
D.$12$

3. B

【分析】
这是一道直角三角形结合锐角正弦定义的计算题，解题思路如下：首先，已知∠C=90°，△ABC为直角三角形，根据正弦的定义，锐角A的正弦值等于它的对边与斜边的比值，由此可得到BC与AB的比例关系，我们可以通过设参数的方式表示BC和AB的长度；再结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，代入已知的AC长度，列出方程求解参数，即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在$△ABC$中，$∠C=90°$
∴ $\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}$
设$BC=2x$，$AB=3x$（$x＞0$）
根据勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AC=4\sqrt{5}$，$BC=2x$，$AB=3x$得：
$(4\sqrt{5})^2 + (2x)^2 = (3x)^2$
计算得：$80 + 4x^2 = 9x^2$
移项合并同类项：$5x^2 = 80$
解得：$x^2=16$，$x=4$（边长为正，舍去负根）
∴ $BC=2x=2×4=8$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是利用锐角三角函数的定义建立边长的比例关系，结合勾股定理列方程求解，熟练掌握锐角三角函数的定义是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$\odot O$的半径为5，弦$AB = 8$，D是优弧$ADB$上一点，则$\sin D$等于()


A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{5}{8}$
C.$\dfrac{8}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$

4. D

【分析】
要计算圆周角∠D的正弦值，直接构造含∠D的直角三角形难度较大，可利用圆周角定理实现角的转化：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，我们可以先作出弦AB的弦心距，结合等腰三角形三线合一的性质，得到与∠D相等的角，再在直角三角形中利用正弦的定义计算即可。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
根据垂径定理，OC平分AB，因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
根据圆周角定理，$∠ D=\frac{1}{2}∠ AOB$。
又因为OA=OB，OC⊥AB，所以OC平分$∠ AOB$，即$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，因此$∠ D=∠ AOC$。
在$Rt△ AOC$中，OA=5，AC=4，根据正弦的定义：
$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}=\frac{4}{5}$，因此$\sin D=\frac{4}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题是圆与三角函数结合的典型基础题，解题核心是通过圆周角定理实现未知角到已知直角三角形内角的转化，再结合垂径定理求出相关线段长度，代入三角函数定义计算即可。
【难度系数】
0.7

5. 正比例函数 $y = 3x$ 的图象如图所示，则 $∠ α$ 的正弦值为()

A.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
B.$\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$3$

5. B

【分析】
要求∠α的正弦值，需结合锐角正弦的定义求解：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值。我们可以在正比例函数y=3x的图象上选取一个除原点外的任意点，过该点向x轴作垂线，即可得到包含∠α的直角三角形，结合函数解析式算出三角形各边长度，代入正弦定义计算即可。
【解析】
在正比例函数y=3x的图象上取横坐标为1的点，将x=1代入函数解析式，得y=3×1=3，即该点坐标为(1,3)。
过点(1,3)向x轴作垂线，此时原点、垂足、点(1,3)三点构成直角三角形：
∠α的对边长度为该点的纵坐标3，邻边长度为该点的横坐标1；
根据勾股定理，直角三角形的斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
根据正弦的定义，$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
B
【知识点】
正弦的定义,正比例函数的图象,勾股定理
【点评】
本题结合正比例函数图象考查锐角三角函数的基础概念，解题的核心是掌握正弦的定义，通过取点构造直角三角形的方法即可快速求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何变化,∠A的对边与斜边的比都是.
在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,我们把锐角A的对边与斜边的比叫作$∠ A$的,记作.

固定值，正弦，sin A

【分析】
解题时先推导第一空：当锐角A的度数确定时，所有包含该锐角的直角三角形都互为相似三角形，根据相似三角形对应边成比例的性质，对应边的比值不会随三角形的大小改变，因此∠A的对边与斜边的比是固定值。后两空直接结合锐角正弦的基础定义作答即可，明确直角三角形中锐角对边与斜边的比的专属名称和记法。
【解析】
1. 第一空推导：若锐角A的度数固定，不同大小的含∠A的直角三角形均相似，由相似三角形对应边成比例的性质可得，∠A的对边与斜边的比值始终不变，为固定值。
2. 后两空根据正弦的定义填写：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$时，锐角A的对边与斜边的比被定义为$∠ A$的正弦，记作$\sin A$。
【答案】
固定值，正弦，$\sin A$
【知识点】
相似三角形的性质，正弦的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对锐角正弦定义的掌握，以及相似三角形性质的简单应用，是锐角三角函数模块的入门基础题，需要准确牢记相关基础概念。
【难度系数】
0.9

1. 如图，BD ⊥ AC 于点D，CE ⊥ AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列线段的比不能表示sin A 的为()

A.$\frac{BD}{AB}$
B.$\frac{CD}{OC}$

C.$\frac{AE}{AD}$
D.$\frac{BE}{OB}$

1. C

【分析】
要判断哪个式子不能表示sinA，首先明确锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先结合已知的垂直条件，可知图中△ABD、△ACE、△OCD、△OBE均为直角三角形，再利用“同角的余角相等”找到和∠A相等的角，最后逐个验证每个选项的比值是否符合∠A（或与∠A相等的角）的正弦定义即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，根据正弦定义，$\sin A=\frac{∠ A的对边}{斜边}=\frac{BD}{AB}$，可以表示$\sin A$，不符合题意；
2. 选项B：$\because BD⊥ AC,CE⊥ AB$，$\therefore ∠ A+∠ ACE=90°,∠ COD+∠ ACE=90°$，根据同角的余角相等得$∠ A=∠ COD$。在Rt△OCD中，$∠ ODC=90°$，$\sin∠ COD=\frac{CD}{OC}$，即$\sin A=\frac{CD}{OC}$，可以表示$\sin A$，不符合题意；
3. 选项C：由$∠ A=∠ A,∠ AEC=∠ ADB=90°$，可得△AEC∽△ADB，故$\frac{AE}{AD}=\frac{AC}{AB}$，该比值不是$∠ A$的对边与斜边的比，不能表示$\sin A$，符合题意；
4. 选项D：$\because ∠ A+∠ ABD=90°,∠ BOE+∠ ABD=90°$，根据同角的余角相等得$∠ A=∠ BOE$。在Rt△BOE中，$∠ BEO=90°$，$\sin∠ BOE=\frac{BE}{OB}$，即$\sin A=\frac{BE}{OB}$，可以表示$\sin A$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是锐角三角函数和直角三角形性质结合的基础题，解题关键是找准和∠A相等的角，再结合正弦的定义逐一验证选项，需要注意不要混淆直角三角形中的对边和邻边。
【难度系数】
0.7

2. 已知锐角A满足方程$2\sin^2 A -7\sin A +3=0$，则$\sin A$的值为()

A.$\frac{1}{2}$
B.3
C.$\frac{1}{2}$或3
D.4

2. A

【分析】
首先观察到给定方程是关于$\sin A$的一元二次方程，解题思路分为两步：第一步先将$\sin A$看作未知数，求解一元二次方程得到两个根；第二步结合锐角正弦值的取值范围（锐角的正弦值大于0且小于1），对得到的根进行筛选，排除不符合范围的解，最终得到正确的$\sin A$的值。
【解析】
解：设$x=\sin A$，则原方程可转化为一元二次方程：
$2x^2 -7x +3=0$
对左边因式分解得：
$(2x-1)(x-3)=0$
令每个因式等于0，解得：
$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$
∵A是锐角，
∴锐角的正弦值满足$0＜\sin A＜1$
$x=3$不符合取值范围，舍去
∴$\sin A=\frac{1}{2}$，对应选项A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解法；锐角正弦的取值范围
【点评】
本题属于基础综合题，将方程求解和三角函数性质结合考查，易错点是忽略锐角三角函数的取值范围，直接选两个解的选项，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对所求结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.7

3.如图,一辆货车,为了方便装运货物,使用了三角形钢架,已知 ∠BCA = 90°,∠BAC = α,BC = h.则AB 的长为 .

3. $\frac{h}{\sin α}$

【分析】
首先观察图形可知△ABC是直角三角形，∠C=90°，已知锐角∠BAC=α及其对边BC的长度为h，要求斜边AB的长度，可根据锐角三角函数中正弦的定义列式，通过变形即可求出AB的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，
根据正弦函数的定义：锐角的正弦值等于对边与斜边的比值，可得
$\sin∠ BAC=\frac{BC}{AB}$，
已知$∠ BAC=α$，$BC=h$，代入得：
$\sinα=\frac{h}{AB}$，
等式变形得：$AB=\frac{h}{\sinα}$。
【答案】
$\frac{h}{\sinα}$
【知识点】
1. 正弦函数定义
2. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题型，解题的关键是结合已知条件选择对应的三角函数关系式，掌握锐角三角函数的定义是解决此类问题的前提。
【难度系数】
0.8

4. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是弦，且$CD ⊥ AB$.若$BC = 4$，$AC = 2$，则$\sin∠ ABD$的值为()

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

4. C

【分析】
解题时先结合圆的性质推导角的等量关系，再利用三角函数定义计算：第一步，根据直径所对圆周角为直角，确定△ACB是直角三角形，先计算斜边AB的长度；第二步，由CD垂直直径AB，根据垂径定理可得弧AC与弧AD相等，再根据等弧所对圆周角相等，推出∠ABD=∠ABC，将求sin∠ABD转化为求Rt△ACB中∠ABC的正弦值；第三步，根据正弦的定义代入边长计算即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在$Rt△ ACB$中，$AC=2$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∵$CD⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
∴$∠ ABD=∠ ABC$（等弧所对的圆周角相等），
∴$\sin∠ ABD=\sin∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题将圆的基本性质和三角函数结合考查，解题的核心是通过等弧的圆周角相等实现所求角的转化，降低计算难度。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则∠AOB的正弦值是.

5. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

【分析】
要计算∠AOB的正弦值，我们可以按照以下思路推导：首先利用网格的特点和勾股定理，先求出△AOB三边的长度；再通过两种方式计算△AOB的面积，求出点B到OA的垂线段长度；最后在直角三角形中根据正弦的定义，即可求出∠AOB的正弦值。也可以先通过余弦定理求出∠AOB的余弦值，再利用同角三角函数的平方关系计算正弦值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算△AOB各边长度：
由网格可得AB的长度为2；
根据勾股定理：$OA=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 计算△AOB的面积：
以AB为底，点O到AB所在直线的垂直距离为2，因此面积$S=\frac{1}{2}× AB×2=\frac{1}{2}×2×2=2$。
3. 求点B到OA的垂线段长度：
过点B作$BD⊥ OA$于D，△AOB的面积也可表示为$S=\frac{1}{2}× OA× BD$，代入数值：
$2=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}× BD$，解得$BD=\frac{2}{\sqrt{5}}$。
4. 计算∠AOB的正弦值：
在$Rt△ ODB$中，根据正弦的定义，$\sin∠ AOB=\frac{BD}{OB}$，代入数值：
$\sin∠ AOB=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数定义，三角形面积计算
【点评】
本题是网格背景下的三角函数求解问题，解题的核心是利用勾股定理得到线段长度，结合面积法构造出含待求角的直角三角形，计算时注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B$为锐角,$AB = 4\sqrt{2},AC = 5,\sin C = \dfrac{4}{5}$,则$BC$的长为________.

6. 7

【分析】
要求BC的长，已知△ABC是斜三角形，可通过作高转化为直角三角形求解：首先过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ADC两个直角三角形；先在Rt△ADC中，利用正弦的定义求出高AD的长度，再用勾股定理算出CD的长；接着在Rt△ABD中，用勾股定理算出BD的长；最后BC的长度等于BD与CD的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ADC中，AC=5，$\sin C=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{4}{5}$，
∴$AD=AC×\dfrac{4}{5}=5×\dfrac{4}{5}=4$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$。
在Rt△ABD中，$AB=4\sqrt{2}$，AD=4，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2-4^2}=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4$。
∴$BC=BD+CD=4+3=7$。
【答案】
7
【知识点】
锐角三角函数定义、勾股定理、解直角三角形
【点评】
本题主要考查斜三角形的求解，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数和勾股定理计算边长，体现了转化的数学思想，是解三角形类题目的常见考法。
【难度系数】
0.7

7.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E为边AC的中点,BC = 14,AD = 12,
sin B = $\frac{4}{5}$,求:
(1)线段DC的长;
(2)sin∠EDC的值.

(1) 5；(2) $\frac{12}{13}$

【分析】
(1) 要求DC的长，已知BC=14，只需先求出BD的长即可。BD在Rt△ABD中，已知AD=12，sinB=4/5，先根据正弦的定义求出AB的长度，再利用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD得到DC的长。
(2) 要求sin∠EDC的值，观察E是Rt△ADC斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE=EC，因此∠EDC=∠C，只需在Rt△ADC中求出sin∠C的值，即可得到sin∠EDC的值。
【解析】
(1)
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，AD=12，
∴$AB=\frac{AD}{\frac{4}{5}}=12×\frac{5}{4}=15$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$，
∵BC=14，
∴$DC=BC-BD=14-9=5$。
(2)
∵E是AC的中点，∠ADC=90°，
∴DE是Rt△ADC斜边AC的中线，
∴$DE=EC=\frac{1}{2}AC$，
∴∠EDC=∠C。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$，
∴$\sin∠ C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$，
∴$\sin∠ EDC=\sin∠ C=\frac{12}{13}$。
【答案】
(1) 5；(2) $\frac{12}{13}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线定理，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角函数与直角三角形性质结合的典型题型，解题的关键是合理利用直角三角形斜边中线的性质将所求角进行转化，降低计算难度，既考察了三角函数的基本应用，也考察了对直角三角形相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7