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1 若二次函数$y=(x+m)^2 + m$（$m$为常数）的图象与$x$轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. D
2 [2025陕西]在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3(a≠0)$的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 (
A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当$x=2$时,$y＜0$
y↑
D
)A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时,y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当$x=2$时,$y＜0$
y↑
答案
2. D
3 如图所示为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象.若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=m$总有一正一负两个实数根,则$m$的取值范围是
$m＞3$
. 答案
3. $m＞3$
4（易错题）已知函数$y=mx^2 + 3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数$m$的值为
$1或-\dfrac{4}{5}$
.答案
4. 1或$-\dfrac{4}{5}$
显然$m≠0$,本题需要分两种情况讨论:① 当函数图象经过坐标原点时满足题意;② 当该函数图象与$x$轴只有一个交点,且交点非坐标原点时也满足题意.解答本题容易忽视情况①.
显然$m≠0$,本题需要分两种情况讨论:① 当函数图象经过坐标原点时满足题意;② 当该函数图象与$x$轴只有一个交点,且交点非坐标原点时也满足题意.解答本题容易忽视情况①.
5 教材变式题 下列各函数的图象与x轴是否有公共点？如果有，请求出公共点的坐标.
(1) $y=x^2-4x+4$;
(2) $y=5x^2+4x+2$;
(3) $y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$.
(1) $y=x^2-4x+4$;
(2) $y=5x^2+4x+2$;
(3) $y=-\dfrac{3}{16}x^2+\dfrac{9}{8}x+3$.
答案
5. (1) 与$x$轴有且只有一个公共点,其坐标为$(2,0)$ (2) 与$x$轴没有公共点 (3) 与$x$轴有两个公共点,其坐标分别为$(-2,0),(8,0)$
6 已知二次函数 $ y = x^2 - 6x - k^2 $（$ k $ 为常数）.
（1）求证：无论 $ k $ 取何值，该函数的图象与 $ x $ 轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标为－1，求 $ k $ 的值及另一个交点的坐标.
（1）求证：无论 $ k $ 取何值，该函数的图象与 $ x $ 轴总有两个公共点；
（2）若该函数的图象与 $ x $ 轴的一个交点的横坐标为－1，求 $ k $ 的值及另一个交点的坐标.
答案
6. (1) 令 $ y = 0 $,则 $ x^2 - 6x - k^2 = 0 $, $ \Delta=(-6)^2 - 4×1×(-k^2)=4k^2+36 $. $ \because k^2≥0 $, $ \therefore 4k^2+36＞0 $,即 $ \Delta＞0 $. $ \therefore $ 无论 $ k $ 取何值,该函数的图象与 $ x $ 轴总有两个公共点 (2) 由题意,知该函数的图象过点 $ (-1,0) $, $ \therefore 1+6-k^2=0 $,解得 $ k=\pm\sqrt{7} $. 当 $ k=\pm\sqrt{7} $ 时, $ y=x^2-6x-7 $,令 $ y=0 $,则 $ x^2-6x-7=0 $,解得 $ x_1=7,x_2=-1 $, $ \therefore $ 该函数的图象与 $ x $ 轴的另一个交点的坐标为 $ (7,0) $
7 若函数$y=x^2 -2x +b$的图象与坐标轴有三个公共点，则$b$的取值范围是 （
A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
A
）A.$b＜1$且$b≠0$
B.$b＞1$
C.$0＜b＜1$
D.$b＜1$
答案
7. A
8 已知二次函数$y=-x^2+m^2x$和$y=x^2 - m^2$（$m$是常数）的图象与$x$轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象的对称轴之间的距离为 （
A.2
B.$m^2$
C.4
D.$2m^2$
A
）A.2
B.$m^2$
C.4
D.$2m^2$
答案
8. A
