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6 新情境 地域特色 东台鱼汤面是“中华名小吃”. 如图所示为一个面碗的截面图,碗身可近似看作抛物线,以碗底O为原点建立平面直角坐标系.已知碗口BC宽28 cm,碗深OA=9.8 cm,则当满碗面汤的竖直高度下降4.8 cm时,碗中面汤的水平宽度为
20
cm(碗的厚度不计).答案
6. 20
7 新情境 生活实际 如图，有一座抛物线形拱桥.在正常水位时，水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$；当水位上升$3\ \mathrm{m}$时，水面宽$CD=10\ \mathrm{m}$.
（1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式.
（2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为$8\ \mathrm{m}$？
（3）一题多解 在正常水位情况下，一艘宽$12\ \mathrm{m}$、高$2.6\ \mathrm{m}$的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由.
（1）请根据图中所示的平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式.
（2）当水位从正常水位上升多少米时，桥下水面宽度为$8\ \mathrm{m}$？
（3）一题多解 在正常水位情况下，一艘宽$12\ \mathrm{m}$、高$2.6\ \mathrm{m}$的船，能否安全通过此桥？请通过计算说明理由.
答案
7. （1）由题意,设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2(a＜0)$.
∵ 正常水位时,水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$,
∴ 可设$A(-10,y_1),B(10,y_1)$.
∴ $y_1=a · 10^2=100a$.
∵ 水位上升3 m后,水面宽$CD=10\ \mathrm{m}$,
∴ 可设$C(-5,y_2),D(5,y_2)$,$|y_1-y_2|=3$.
∴ $y_2=a · 5^2=25a$.
∴ $|100a-25a|=3$,解得$|a|=\frac{1}{25}$.
∵ $a＜0$,
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$
（2）当$x=10$时,$y=-\frac{1}{25} × 10^2=-4$,即正常水位在$y=-4$处;
当水面宽度为8 m,即$x=4$时,$y=-\frac{1}{25} × 4^2=-\frac{16}{25}$.
∴ 水位上升高度为$-\frac{16}{25}-(-4)=\frac{84}{25}(\mathrm{m})$
（3）不能 理由:解法一:
∵ 船宽12 m,
∴ 当$x=6$时,$y=-\frac{1}{25} × 6^2=-1.44$.
∵ $-4+2.6=-1.4$,$-1.4＞-1.44$,
∴ 船不能安全通过此桥.
解法二:当$y=-4+2.6=-1.4$时,令$-1.4=-\frac{1}{25}x^2$,解得$x^2=35$,即$x=\pm \sqrt{35}$.
∵ $2\sqrt{35}＜12$,
∴ 船不能安全通过此桥.
∵ 正常水位时,水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$,
∴ 可设$A(-10,y_1),B(10,y_1)$.
∴ $y_1=a · 10^2=100a$.
∵ 水位上升3 m后,水面宽$CD=10\ \mathrm{m}$,
∴ 可设$C(-5,y_2),D(5,y_2)$,$|y_1-y_2|=3$.
∴ $y_2=a · 5^2=25a$.
∴ $|100a-25a|=3$,解得$|a|=\frac{1}{25}$.
∵ $a＜0$,
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2$
（2）当$x=10$时,$y=-\frac{1}{25} × 10^2=-4$,即正常水位在$y=-4$处;
当水面宽度为8 m,即$x=4$时,$y=-\frac{1}{25} × 4^2=-\frac{16}{25}$.
∴ 水位上升高度为$-\frac{16}{25}-(-4)=\frac{84}{25}(\mathrm{m})$
（3）不能 理由:解法一:
∵ 船宽12 m,
∴ 当$x=6$时,$y=-\frac{1}{25} × 6^2=-1.44$.
∵ $-4+2.6=-1.4$,$-1.4＞-1.44$,
∴ 船不能安全通过此桥.
解法二:当$y=-4+2.6=-1.4$时,令$-1.4=-\frac{1}{25}x^2$,解得$x^2=35$,即$x=\pm \sqrt{35}$.
∵ $2\sqrt{35}＜12$,
∴ 船不能安全通过此桥.
8 新情境 生活实际 [2026 湖南]如图①，公路$ l_1 $与铁路$ l_2 $垂直交汇于河岸点O处，公路$ l_1 $与河岸的另一交点为A，其中河岸OCB段为抛物线的一部分，AB段为线段，OA=7 km，AB=5 km，点B到公路$ l_1 $的距离BD=3 km，抛物线的顶点C到公路$ l_1 $与铁路$ l_2 $的距离分别为4 km与2 km。当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路$ l_1 $围成的区域，用于生态放牧。为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图②，栅栏EF紧靠公路$ l_1 $（与公路$ l_1 $的距离忽略不计），栅栏EH⊥EF，点H在该段抛物线上；栅栏FG⊥EF，点G在线段AB上。以O为坐标原点，直线$ l_1 $与$ l_2 $分别为x轴与y轴，向右、向上为正方向，规定1个单位长度为1 km，建立平面直角坐标系。
（1）求点B的坐标。
（2）分别求直线AB与抛物线OCB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）。
（3）已知点E到铁路$ l_2 $的距离小于1.5 km，EH=2FG，建1 km长的栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏共花费17万元。求栅栏EH到铁路$ l_2 $的距离。
（1）求点B的坐标。
（2）分别求直线AB与抛物线OCB对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）。
（3）已知点E到铁路$ l_2 $的距离小于1.5 km，EH=2FG，建1 km长的栅栏的各项开支为2万元，建完栅栏共花费17万元。求栅栏EH到铁路$ l_2 $的距离。
答案
8. （1）
∵ O为原点,$l_1$为x轴,$l_2$为y轴,$OA=7\ \mathrm{km}$,
∴ $A(7,0)$.
∵ 点B到$l_1$的距离$BD=3\ \mathrm{km}$,$AB=5\ \mathrm{km}$,
∴ $DA=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{km})$.
∴ $OD=OA-DA=7-4=3(\mathrm{km})$.
∴ $B(3,3)$
（2）设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$.则$\begin{cases}7k+b=0,\\3k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=\dfrac{21}{4},\end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{21}{4}$.
∵ 顶点C到$l_1$的距离为4 km,到$l_2$的距离为2 km,
∴ $C(2,4)$.
∴ 设抛物线OCB对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+4$.
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,
∴ $0=4a+4$,解得$a=-1$.
∴ $y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$.
∴ 抛物线OCB对应的函数表达式为$y=-x^2+4x$
（3）
∵ 建1 km长的栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏共花费17万元,
∴ 棚栏总长为$\frac{17}{2}\ \mathrm{km}$.
∴ $HE+EF+FG=\frac{17}{2}\ \mathrm{km}$.
设点E的坐标为$(e,0)$,且$0＜e＜1.5$.
∵ 点H在抛物线$y=-x^2+4x$上,
∴ $H(e,-e^2+4e)$.
∴ $HE=(-e^2+4e)\mathrm{km}$.
设点F的坐标为$(f,0)$,且$f＞e$.
∵ 点G在直线AB:$y=-\frac{3}{4}x+\frac{21}{4}$上,
∴ $G(f,-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})$.
∴ $FG=(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})\mathrm{km}$.
∵ $EH=2FG$,
∴ $-e^2+4e=2(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})$,整理,得$f=\frac{2e^2-8e+21}{3}$.
又
∵ $EF=f-e$,
∴ $HE+EF+FG=(-e^2+4e)+(f-e)+(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})=(-\frac{5}{6}e^2+\frac{7}{3}e+7)\mathrm{km}$.
∴ $-\frac{5}{6}e^2+\frac{7}{3}e+7=\frac{17}{2}$,整理,得$5e^2-14e+9=0$,解得$e_1=1$,$e_2=\frac{9}{5}$(不合题意,舍去).
∴ $e=1$.
∴ 栅栏EH到铁路$l_2$的距离为1 km
∵ O为原点,$l_1$为x轴,$l_2$为y轴,$OA=7\ \mathrm{km}$,
∴ $A(7,0)$.
∵ 点B到$l_1$的距离$BD=3\ \mathrm{km}$,$AB=5\ \mathrm{km}$,
∴ $DA=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{km})$.
∴ $OD=OA-DA=7-4=3(\mathrm{km})$.
∴ $B(3,3)$
（2）设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$.则$\begin{cases}7k+b=0,\\3k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{3}{4},\\b=\dfrac{21}{4},\end{cases}$
∴ 直线AB对应的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{21}{4}$.
∵ 顶点C到$l_1$的距离为4 km,到$l_2$的距离为2 km,
∴ $C(2,4)$.
∴ 设抛物线OCB对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2+4$.
∵ 抛物线过点$O(0,0)$,
∴ $0=4a+4$,解得$a=-1$.
∴ $y=-(x-2)^2+4=-x^2+4x$.
∴ 抛物线OCB对应的函数表达式为$y=-x^2+4x$
（3）
∵ 建1 km长的栅栏的各项开支为2万元,建完栅栏共花费17万元,
∴ 棚栏总长为$\frac{17}{2}\ \mathrm{km}$.
∴ $HE+EF+FG=\frac{17}{2}\ \mathrm{km}$.
设点E的坐标为$(e,0)$,且$0＜e＜1.5$.
∵ 点H在抛物线$y=-x^2+4x$上,
∴ $H(e,-e^2+4e)$.
∴ $HE=(-e^2+4e)\mathrm{km}$.
设点F的坐标为$(f,0)$,且$f＞e$.
∵ 点G在直线AB:$y=-\frac{3}{4}x+\frac{21}{4}$上,
∴ $G(f,-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})$.
∴ $FG=(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})\mathrm{km}$.
∵ $EH=2FG$,
∴ $-e^2+4e=2(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})$,整理,得$f=\frac{2e^2-8e+21}{3}$.
又
∵ $EF=f-e$,
∴ $HE+EF+FG=(-e^2+4e)+(f-e)+(-\frac{3}{4}f+\frac{21}{4})=(-\frac{5}{6}e^2+\frac{7}{3}e+7)\mathrm{km}$.
∴ $-\frac{5}{6}e^2+\frac{7}{3}e+7=\frac{17}{2}$,整理,得$5e^2-14e+9=0$,解得$e_1=1$,$e_2=\frac{9}{5}$(不合题意,舍去).
∴ $e=1$.
∴ 栅栏EH到铁路$l_2$的距离为1 km
