9 新考向 新定义题 规定:如果两个函数的图象关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.若函数$y=\frac{k}{4}x^2+(k-1)x+k-3$的图象与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”的图象与x轴的交点坐标为.

9. $(3,0)或(4,0)$

10 在平面直角坐标系中，已知$A(-1,m)$和$B(5,m)$是抛物线$y=x^2+bx+1$上的两点，将抛物线$y=x^2+bx+1$向上平移$n$（$n$是正整数）个单位长度，使平移后的图象与$x$轴没有交点，则$n$的最小值为。

10. 4

11 [2026 贵州]一元二次方程$ax^2 + 2x + 1 = 0$的两根分别是$x_1,x_2$，一元二次方程$mx^2 + 2x + 1 = 0$的两根分别是$x_3,x_4$。若$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 ＜ 0$，则把$a,m,0,1$这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来为。

11. $0＜a＜m＜1$
【解析】设 $ y_1=ax^2+2x+1,y_2=mx^2+2x+1 $,则两个函数的图象都经过点 $(0,1)$,对称轴分别为直线 $ x=-\dfrac{2}{2a}=-\dfrac{1}{a} $ 和 $ x=-\dfrac{2}{2m}=-\dfrac{1}{m} $. $ \because x_1＜x_3＜x_4＜x_2＜0 $,$ \therefore $ 抛物线 $ y_1 $ 与抛物线 $ y_2 $ 的对称轴均在 $ y $ 轴的左侧.
$ \therefore -\dfrac{1}{a}＜0,-\dfrac{1}{m}＜0. \therefore a＞0,m＞0. \therefore $ 两条抛物线的开口向上.
$ \because x_1＜x_3＜x_4＜x_2＜0 $,$ \therefore $ 抛物线 $ y_1 $ 的开口大于抛物线 $ y_2 $ 的开口. $ \therefore a＜m $.
$ \because $ 两条抛物线与 $ x $ 轴都有两个交点,$ \therefore \Delta_1=2^2-4a＞0,\Delta_2=2^2-4m＞0. \therefore a＜1,m＜1 $.
综上所述,$ 0＜a＜m＜1 $.

12 新考向 代数推理题 [2026北京]在平面直角坐标系中，抛物线$C_1:y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$(0,\dfrac{1-a}{a})$，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{a}$。
（1）求$b$的值，并用含$a$的式子表示$c$。
（2）已知$M$是抛物线$C_1$上的点，点$M$的横坐标为$t$，抛物线$C_2$的顶点为$M$，且可以由抛物线$C_1$平移得到(特别地，当$M$是$C_1$的顶点时，$C_2$即为$C_1$)。若无论$t$为何值，抛物线$C_2$都不经过原点$O$，求$a$的取值范围。

12. (1) $ \because $ 抛物线 $ C_1:y=ax^2+bx+c(a≠0) $ 经过点 $ (0,\dfrac{1-a}{a}) $,$ \therefore c=\dfrac{1-a}{a} $. $ \because $ 抛物线 $ C_1 $ 的对称轴为直线 $ x=\dfrac{1}{a} $,$ \therefore -\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{a}. \therefore b=-2 $
(2) 设点 $ M(t,y_1) $,$ \because M $ 是抛物线 $ C_1 $ 上的点,$ \therefore y_1=at^2-2t+\dfrac{1-a}{a} $. 由题意,得抛物线 $ C_2:y=a(x-t)^2+at^2-2t+\dfrac{1-a}{a} $,设抛物线 $ C_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ N(0,y_2) $,则 $ y_2=2at^2-2t+\dfrac{1-a}{a} $,$ \because $ 无论 $ t $ 为何值,抛物线 $ C_2 $ 都不经过原点 $ O $,$ \therefore $ 无论 $ t $ 为何值,都有 $ y_2≠0 $. $ \therefore $ 关于 $ t $ 的方程 $ 2at^2-2t+\dfrac{1-a}{a}=0(a≠0) $ 没有实数根. $ \therefore \Delta＜0 $,即 $ 4-8a·\dfrac{1-a}{a}＜0 $,解得 $ a＜\dfrac{1}{2}. \therefore a＜\dfrac{1}{2} $ 且 $ a≠0 $

13 [2026 陕西]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值如下表：

（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象.
（2）给出下列关于该二次函数的说法：① $a＞0$；② $b^2-4ac＞0$；③ 当$x=1$时，$y$有最小值，为$-4$；④ 当$x＞0$时，$y$的值随$x$值的增大而增大. 其中，正确的是（填序号）.
（3）若将该二次函数的图象沿$y$轴向下平移6个单位长度，交$x$轴于$A$，$B$两点，求$AB$的长.

13. (1)
(2) ①②③
(3) 根据函数图象可得,顶点坐标为$(1,-4)$,故设函数表达式为$y=a(x-1)^2-4$. $ \because $ 图象过点$(0,-3)$,$ \therefore a-4=-3 $,解得$a=1$. $ \therefore $ 函数表达式为$y=(x-1)^2-4$. $ \therefore $ 将图象沿$y$轴向下平移6个单位长度后,得到的图象对应的函数表达式为$y=(x-1)^2-4-6$,即$y=(x-1)^2-10$. 令$y=0$,则$(x-1)^2-10=0$,解得$x_1=\sqrt{10}+1$,$x_2=-\sqrt{10}+1$. $ \therefore $ 抛物线$y=(x-1)^2-10$与$x$轴的交点为$(\sqrt{10}+1,0),(-\sqrt{10}+1,0)$. $ \therefore AB=\sqrt{10}+1-(-\sqrt{10}+1)=2\sqrt{10}$