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知识点1 分式的约分、最简分式
1.
| 类别 | 举例 | 概念 | 结果 |
| --- | --- | --- | --- |
| 分数约分 | $\frac{4 × 3}{5 × 3} =$
| 最简分数:分子、分母无公因数(1除外) |
| 分式约分 | $\frac{4y}{xy} =$
1.
| 类别 | 举例 | 概念 | 结果 |
| --- | --- | --- | --- |
| 分数约分 | $\frac{4 × 3}{5 × 3} =$
$\frac{4}{5}$
| 分子、分母约去最大公约数 | 最简分数:分子、分母无公因数(1除外) || 分式约分 | $\frac{4y}{xy} =$
$\frac{4}{x}$
| 分子、分母约去所有公因式 | 最简分式:分子、分母无公因式 |答案
1. $\frac{4}{5}$ $\frac{4}{x}$
解析
【分析】
解题时可类比分数约分的方法推导分式约分的思路：
1. 分数约分的依据是分数的基本性质，只需找到分子、分母的最大公约数，约去该公约数即可得到最简分数；
2. 分式约分的依据是分式的基本性质，首先找到分子、分母的所有公因式，在公因式不为0的前提下约去公因式，即可得到最简分式，注意分式有意义时分母不为0，因此公因式一定不为0，可以直接约去。
【解析】
1. 分数约分计算：
$\frac{4×3}{5×3}$中分子和分母的最大公约数是3，根据分数的基本性质，将分子、分母同时除以3，可得：
$\frac{4×3÷3}{5×3÷3}=\frac{4}{5}$
2. 分式约分计算：
$\frac{4y}{xy}$中分子和分母的公因式是$y$，分式有意义时$y≠0$，根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以$y$，可得：
$\frac{4y÷y}{xy÷y}=\frac{4}{x}$
【答案】
$\frac{4}{5}$；$\frac{4}{x}$
【知识点】
分数的基本性质；分式的基本性质；约分
【点评】
本题通过分数和分式约分的类比，考查约分的基础规则，解题核心是准确识别分子分母的公约数或公因式，掌握约分的基本方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
解题时可类比分数约分的方法推导分式约分的思路：
1. 分数约分的依据是分数的基本性质，只需找到分子、分母的最大公约数，约去该公约数即可得到最简分数；
2. 分式约分的依据是分式的基本性质，首先找到分子、分母的所有公因式，在公因式不为0的前提下约去公因式，即可得到最简分式，注意分式有意义时分母不为0，因此公因式一定不为0，可以直接约去。
【解析】
1. 分数约分计算：
$\frac{4×3}{5×3}$中分子和分母的最大公约数是3，根据分数的基本性质，将分子、分母同时除以3，可得：
$\frac{4×3÷3}{5×3÷3}=\frac{4}{5}$
2. 分式约分计算：
$\frac{4y}{xy}$中分子和分母的公因式是$y$，分式有意义时$y≠0$，根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以$y$，可得：
$\frac{4y÷y}{xy÷y}=\frac{4}{x}$
【答案】
$\frac{4}{5}$；$\frac{4}{x}$
【知识点】
分数的基本性质；分式的基本性质；约分
【点评】
本题通过分数和分式约分的类比，考查约分的基础规则，解题核心是准确识别分子分母的公约数或公因式，掌握约分的基本方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
2.【例1】下列各式是最简分式的是（
A.$\frac{4}{8a}$
B.$\frac{a^2b}{b}$
C.$\frac{x}{x+y}$
D.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
C
）A.$\frac{4}{8a}$
B.$\frac{a^2b}{b}$
C.$\frac{x}{x+y}$
D.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时逐一分析每个选项，先对分子、分母中可因式分解的部分因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则可约分，就不是最简分式，反之则是最简分式。
【解析】
我们根据最简分式的定义逐一判断选项：
A选项：$\frac{4}{8a}$的分子和分母有公因式4，约分可得$\frac{1}{2a}$，不是最简分式；
B选项：$\frac{a^2b}{b}$的分子和分母有公因式$b$，约分可得$a^2$，不是最简分式；
C选项：$\frac{x}{x+y}$的分子为$x$，分母为$x+y$，二者没有公因式，无法约分，是最简分式；
D选项：先将分母$a^2-b^2$用平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$，此时分子和分母有公因式$a+b$，约分可得$\frac{1}{a-b}$，不是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记最简分式的判定规则，注意在判断公因式时，要先把分子、分母中能够因式分解的多项式先分解，再判断是否有公因式，避免遗漏。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时逐一分析每个选项，先对分子、分母中可因式分解的部分因式分解，再判断是否存在公因式，若存在公因式则可约分，就不是最简分式，反之则是最简分式。
【解析】
我们根据最简分式的定义逐一判断选项：
A选项：$\frac{4}{8a}$的分子和分母有公因式4，约分可得$\frac{1}{2a}$，不是最简分式；
B选项：$\frac{a^2b}{b}$的分子和分母有公因式$b$，约分可得$a^2$，不是最简分式；
C选项：$\frac{x}{x+y}$的分子为$x$，分母为$x+y$，二者没有公因式，无法约分，是最简分式；
D选项：先将分母$a^2-b^2$用平方差公式因式分解为$(a+b)(a-b)$，此时分子和分母有公因式$a+b$，约分可得$\frac{1}{a-b}$，不是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的判定，分式约分，因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记最简分式的判定规则，注意在判断公因式时，要先把分子、分母中能够因式分解的多项式先分解，再判断是否有公因式，避免遗漏。
【难度系数】
0.8
4.【例2】约分：
(1)(2025湖南)$\frac{x^3 y}{xy} =$
(2)$\frac{a^2 b^2}{a^2 b + ab^2} =$
(3)$\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9} =$
(1)(2025湖南)$\frac{x^3 y}{xy} =$
$x^2$
；(2)$\frac{a^2 b^2}{a^2 b + ab^2} =$
$\frac{ab}{a + b}$
；(3)$\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9} =$
$\frac{x + 3}{x - 3}$
。答案
4. (1) $x^2$ (2) $\frac{ab}{a + b}$ (3) $\frac{x + 3}{x - 3}$
解析
【分析】
约分的依据是分式的基本性质，解题时遵循以下思路：首先判断分子、分母的形式，若为单项式直接找公因式；若为多项式先因式分解再找公因式，最后约去公因式即可，注意约分的前提是原分式有意义，公因式不为0。
(1) 分子分母均为单项式，先找公因式：系数最大公约数是1，相同字母的最低次幂是xy，公因式为xy；
(2) 分母是多项式，先提取公因式ab将分母因式分解，再找分子分母的公因式ab；
(3) 分子是完全平方式，分母是平方差式，先分别对分子分母因式分解，再找公因式$(x+3)$。
【解析】
(1) 原分式有意义时$xy≠0$，分子分母同除以公因式$xy$：
$\frac{x^3 y}{xy}=\frac{x^3 y÷ xy}{xy÷ xy}=x^2$
(2) 先对分母因式分解：$a^2 b + ab^2 = ab(a + b)$，原分式有意义时$ab(a+b)≠0$，分子分母同除以公因式$ab$：
$\frac{a^2 b^2}{a^2 b + ab^2}=\frac{a^2 b^2}{ab(a + b)}=\frac{ab}{a + b}$
(3) 分别因式分解分子、分母：$x^2 +6x +9=(x+3)^2$，$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，原分式有意义时$(x+3)(x-3)≠0$，分子分母同除以公因式$(x+3)$：
$\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
(1) $x^2$；(2) $\frac{ab}{a + b}$；(3) $\frac{x + 3}{x - 3}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，核心是掌握约分的步骤：单项式直接找公因式，多项式先因式分解再找公因式，约分要保证结果为最简分式，解题时注意公因式不能为0，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
约分的依据是分式的基本性质，解题时遵循以下思路：首先判断分子、分母的形式，若为单项式直接找公因式；若为多项式先因式分解再找公因式，最后约去公因式即可，注意约分的前提是原分式有意义，公因式不为0。
(1) 分子分母均为单项式，先找公因式：系数最大公约数是1，相同字母的最低次幂是xy，公因式为xy；
(2) 分母是多项式，先提取公因式ab将分母因式分解，再找分子分母的公因式ab；
(3) 分子是完全平方式，分母是平方差式，先分别对分子分母因式分解，再找公因式$(x+3)$。
【解析】
(1) 原分式有意义时$xy≠0$，分子分母同除以公因式$xy$：
$\frac{x^3 y}{xy}=\frac{x^3 y÷ xy}{xy÷ xy}=x^2$
(2) 先对分母因式分解：$a^2 b + ab^2 = ab(a + b)$，原分式有意义时$ab(a+b)≠0$，分子分母同除以公因式$ab$：
$\frac{a^2 b^2}{a^2 b + ab^2}=\frac{a^2 b^2}{ab(a + b)}=\frac{ab}{a + b}$
(3) 分别因式分解分子、分母：$x^2 +6x +9=(x+3)^2$，$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，原分式有意义时$(x+3)(x-3)≠0$，分子分母同除以公因式$(x+3)$：
$\frac{x^2 +6x +9}{x^2 -9}=\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{x-3}$
【答案】
(1) $x^2$；(2) $\frac{ab}{a + b}$；(3) $\frac{x + 3}{x - 3}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，核心是掌握约分的步骤：单项式直接找公因式，多项式先因式分解再找公因式，约分要保证结果为最简分式，解题时注意公因式不能为0，熟练掌握常见的因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
3. 若分式$\frac{x^2 - y^2}{△}$是最简分式，则△表示的可能是（
A.$2x + 2y$
B.$(x - y)^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2$
D.$x^2 + y^2$
D
）A.$2x + 2y$
B.$(x - y)^2$
C.$x^2 + 2xy + y^2$
D.$x^2 + y^2$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断△对应的选项使分式为最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。解题思路如下：第一步先对分子$x^2-y^2$因式分解，第二步逐一将各选项的代数式因式分解，第三步判断各选项因式分解后的结果与分子的因式是否存在公因式，无公因式的即为正确答案。
【解析】
首先对分子因式分解：由平方差公式得 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。
逐一分析选项：
A选项：$2x+2y=2(x+y)$，与分子有公因式$(x+y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
B选项：$(x-y)^2$，与分子有公因式$(x-y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
C选项：由完全平方公式得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，与分子有公因式$(x+y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
D选项：$x^2+y^2$在整式范围内不能分解因式，与分子$(x+y)(x-y)$没有公因式，分式为最简分式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 最简分式判定
2. 因式分解
3. 乘法公式应用
【点评】
本题重点考查最简分式的判断，解题关键是熟练掌握平方差、完全平方公式的因式分解方法，准确判断分子和分母是否存在公因式，避免混淆$x^2+y^2$与$x^2-y^2$的分解规律。
【难度系数】
0.7
要判断△对应的选项使分式为最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式。解题思路如下：第一步先对分子$x^2-y^2$因式分解，第二步逐一将各选项的代数式因式分解，第三步判断各选项因式分解后的结果与分子的因式是否存在公因式，无公因式的即为正确答案。
【解析】
首先对分子因式分解：由平方差公式得 $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。
逐一分析选项：
A选项：$2x+2y=2(x+y)$，与分子有公因式$(x+y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
B选项：$(x-y)^2$，与分子有公因式$(x-y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
C选项：由完全平方公式得$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$，与分子有公因式$(x+y)$，分式可约分，不是最简分式，排除；
D选项：$x^2+y^2$在整式范围内不能分解因式，与分子$(x+y)(x-y)$没有公因式，分式为最简分式，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 最简分式判定
2. 因式分解
3. 乘法公式应用
【点评】
本题重点考查最简分式的判断，解题关键是熟练掌握平方差、完全平方公式的因式分解方法，准确判断分子和分母是否存在公因式，避免混淆$x^2+y^2$与$x^2-y^2$的分解规律。
【难度系数】
0.7
5. 约分：
(1) $\frac{x - 3}{3 - x} =$
(2) $\frac{1 - x}{x^2 - x} =$
(3') $\frac{16 - x^2}{x^2 - 8x + 16} =$
(1) $\frac{x - 3}{3 - x} =$
$-1$
；(2) $\frac{1 - x}{x^2 - x} =$
$-\frac{1}{x}$
；(3') $\frac{16 - x^2}{x^2 - 8x + 16} =$
$-\frac{x + 4}{x - 4}$
。答案
5. (1) $-1$ (2) $-\frac{1}{x}$ (3) $-\frac{x + 4}{x - 4}$
解析
【分析】
约分的核心思路是先将分子、分母分别因式分解，找到公因式后约去，最终得到最简分式或整式；若分子和分母存在互为相反数的因式，可先提取负号将其转化为相同因式再约分。各小问思考方向：(1) 观察到分子$x-3$和分母$3-x$互为相反数，直接提负号变形后约分；(2) 先对分母提取公因式因式分解，再将分子变形为与分母因式互为相反数的形式，再约分；(3) 分子用平方差公式、分母用完全平方公式分别因式分解，统一符号后约去公因式即可。
【解析】
(1) 将分母变形为$3-x=-(x-3)$，则：
$\frac{x-3}{3-x}=\frac{x-3}{-(x-3)}=-1$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，再将分子变形为$1-x=-(x-1)$，则：
$\frac{1-x}{x^2-x}=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}=-\frac{1}{x}$
(3) 分子用平方差公式分解：$16-x^2=4^2-x^2=(4-x)(4+x)=-(x-4)(x+4)$，分母用完全平方公式分解：$x^2-8x+16=(x-4)^2$，则：
$\frac{16-x^2}{x^2-8x+16}=\frac{-(x-4)(x+4)}{(x-4)^2}=-\frac{x+4}{x-4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{x}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{x+4}{x-4}}$
【知识点】
分式约分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，注意互为相反数的因式约分后会产生负号，约分结果需化为最简分式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
约分的核心思路是先将分子、分母分别因式分解，找到公因式后约去，最终得到最简分式或整式；若分子和分母存在互为相反数的因式，可先提取负号将其转化为相同因式再约分。各小问思考方向：(1) 观察到分子$x-3$和分母$3-x$互为相反数，直接提负号变形后约分；(2) 先对分母提取公因式因式分解，再将分子变形为与分母因式互为相反数的形式，再约分；(3) 分子用平方差公式、分母用完全平方公式分别因式分解，统一符号后约去公因式即可。
【解析】
(1) 将分母变形为$3-x=-(x-3)$，则：
$\frac{x-3}{3-x}=\frac{x-3}{-(x-3)}=-1$
(2) 先对分母因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，再将分子变形为$1-x=-(x-1)$，则：
$\frac{1-x}{x^2-x}=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}=-\frac{1}{x}$
(3) 分子用平方差公式分解：$16-x^2=4^2-x^2=(4-x)(4+x)=-(x-4)(x+4)$，分母用完全平方公式分解：$x^2-8x+16=(x-4)^2$，则：
$\frac{16-x^2}{x^2-8x+16}=\frac{-(x-4)(x+4)}{(x-4)^2}=-\frac{x+4}{x-4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{x}}$；(3) $\boldsymbol{-\dfrac{x+4}{x-4}}$
【知识点】
分式约分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题的关键是熟练掌握常见的因式分解方法，注意互为相反数的因式约分后会产生负号，约分结果需化为最简分式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6.
类别 举例 概念 结果
分数通分 $\frac{4}{5}=$
分数 一般取各分母的最小公倍数作公分母
分式通分 $\frac{1}{x}=$
类别 举例 概念 结果
分数通分 $\frac{4}{5}=$
$\frac{28}{35}$
与$\frac{6}{7}=$$\frac{30}{35}$
把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数 一般取各分母的最小公倍数作公分母分式通分 $\frac{1}{x}=$
$\frac{y}{xy}$
与$\frac{1}{y}=$$\frac{x}{xy}$
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母（最简公分母）答案
6. $\frac{28}{35}$ $\frac{30}{35}$ $\frac{y}{xy}$ $\frac{x}{xy}$
解析
【分析】
解题分为分数通分和分式通分两部分：
1. 分数通分：首先找两个分母5和7的最小公倍数，5和7互质，最小公倍数为二者乘积35；再根据分数的基本性质，分子分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变，分别对两个分数变形即可。
2. 分式通分：首先找两个分母x、y的最简公分母，两个分母均为一次单项式，所有因式最高次幂的乘积为xy；再根据分式的基本性质，分子分母同时乘同一个不为0的整式，分式值不变，分别对两个分式变形即可。
【解析】
1. 分数通分：
分母5和7的最小公倍数是$5×7=35$
根据分数的基本性质：
$\frac{4}{5}=\frac{4×7}{5×7}=\frac{28}{35}$
$\frac{6}{7}=\frac{6×5}{7×5}=\frac{30}{35}$
2. 分式通分：
分母x和y的最简公分母是$x· y=xy$（x、y均不为0）
根据分式的基本性质：
$\frac{1}{x}=\frac{1× y}{x× y}=\frac{y}{xy}$
$\frac{1}{y}=\frac{1× x}{y× x}=\frac{x}{xy}$
【答案】
$\frac{28}{35}$；$\frac{30}{35}$；$\frac{y}{xy}$；$\frac{x}{xy}$
【知识点】
分数通分；分式通分；分式的基本性质
【点评】
本题是通分的基础应用题，核心是掌握通分的步骤：先确定公分母，再利用分数/分式的基本性质做等值变形，是后续分数、分式加减运算的重要基础，熟练掌握方法后解题难度很低。
【难度系数】
0.9
解题分为分数通分和分式通分两部分：
1. 分数通分：首先找两个分母5和7的最小公倍数，5和7互质，最小公倍数为二者乘积35；再根据分数的基本性质，分子分母同时乘同一个不为0的数，分数大小不变，分别对两个分数变形即可。
2. 分式通分：首先找两个分母x、y的最简公分母，两个分母均为一次单项式，所有因式最高次幂的乘积为xy；再根据分式的基本性质，分子分母同时乘同一个不为0的整式，分式值不变，分别对两个分式变形即可。
【解析】
1. 分数通分：
分母5和7的最小公倍数是$5×7=35$
根据分数的基本性质：
$\frac{4}{5}=\frac{4×7}{5×7}=\frac{28}{35}$
$\frac{6}{7}=\frac{6×5}{7×5}=\frac{30}{35}$
2. 分式通分：
分母x和y的最简公分母是$x· y=xy$（x、y均不为0）
根据分式的基本性质：
$\frac{1}{x}=\frac{1× y}{x× y}=\frac{y}{xy}$
$\frac{1}{y}=\frac{1× x}{y× x}=\frac{x}{xy}$
【答案】
$\frac{28}{35}$；$\frac{30}{35}$；$\frac{y}{xy}$；$\frac{x}{xy}$
【知识点】
分数通分；分式通分；分式的基本性质
【点评】
本题是通分的基础应用题，核心是掌握通分的步骤：先确定公分母，再利用分数/分式的基本性质做等值变形，是后续分数、分式加减运算的重要基础，熟练掌握方法后解题难度很低。
【难度系数】
0.9
7.【例3】(1)$\frac{1}{2x}$与$\frac{1}{6y}$的最简公分母是________，通分为________与________；
(2)$\frac{x}{ac}$与$\frac{y}{bc}$的最简公分母是________，通分为________与________。
(2)$\frac{x}{ac}$与$\frac{y}{bc}$的最简公分母是________，通分为________与________。
答案
(1) $6xy$ $\frac{3y}{6xy}$ $\frac{x}{6xy}$ (2) $abc$ $\frac{bx}{abc}$ $\frac{ay}{abc}$
解析
【分析】
要解决分式通分类问题，需按两步思考：第一步先确定最简公分母，确定规则为：①取各分母系数的最小公倍数；②所有单独出现的字母连同它的指数都作为公分母的因式；③同底数幂取次数最高的，将这些因式相乘就是最简公分母。第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的非零整式，把分母统一化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 处理$\frac{1}{2x}$与$\frac{1}{6y}$：
① 分母系数2和6的最小公倍数是6，分母包含的字母为x、y，均为1次，因此最简公分母为$6xy$；
② 对$\frac{1}{2x}$通分：分母要变成$6xy$，需乘$3y$，根据分式基本性质，分子也乘$3y$，得$\frac{1×3y}{2x×3y}=\frac{3y}{6xy}$；
③ 对$\frac{1}{6y}$通分：分母要变成$6xy$，需乘$x$，分子也乘$x$，得$\frac{1× x}{6y× x}=\frac{x}{6xy}$。
(2) 处理$\frac{x}{ac}$与$\frac{y}{bc}$：
① 分母系数都是1，最小公倍数是1，分母包含的字母为a、b、c，均为1次，因此最简公分母为$abc$；
② 对$\frac{x}{ac}$通分：分母要变成$abc$，需乘$b$，分子也乘$b$，得$\frac{x× b}{ac× b}=\frac{bx}{abc}$；
③ 对$\frac{y}{bc}$通分：分母要变成$abc$，需乘$a$，分子也乘$a$，得$\frac{y× a}{bc× a}=\frac{ay}{abc}$。
【答案】
(1) $6xy$；$\frac{3y}{6xy}$；$\frac{x}{6xy}$
(2) $abc$；$\frac{bx}{abc}$；$\frac{ay}{abc}$
【知识点】
最简公分母的确定；分式的通分；分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心考查最简公分母的找法和分式基本性质的应用，掌握确定最简公分母的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决分式通分类问题，需按两步思考：第一步先确定最简公分母，确定规则为：①取各分母系数的最小公倍数；②所有单独出现的字母连同它的指数都作为公分母的因式；③同底数幂取次数最高的，将这些因式相乘就是最简公分母。第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的非零整式，把分母统一化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 处理$\frac{1}{2x}$与$\frac{1}{6y}$：
① 分母系数2和6的最小公倍数是6，分母包含的字母为x、y，均为1次，因此最简公分母为$6xy$；
② 对$\frac{1}{2x}$通分：分母要变成$6xy$，需乘$3y$，根据分式基本性质，分子也乘$3y$，得$\frac{1×3y}{2x×3y}=\frac{3y}{6xy}$；
③ 对$\frac{1}{6y}$通分：分母要变成$6xy$，需乘$x$，分子也乘$x$，得$\frac{1× x}{6y× x}=\frac{x}{6xy}$。
(2) 处理$\frac{x}{ac}$与$\frac{y}{bc}$：
① 分母系数都是1，最小公倍数是1，分母包含的字母为a、b、c，均为1次，因此最简公分母为$abc$；
② 对$\frac{x}{ac}$通分：分母要变成$abc$，需乘$b$，分子也乘$b$，得$\frac{x× b}{ac× b}=\frac{bx}{abc}$；
③ 对$\frac{y}{bc}$通分：分母要变成$abc$，需乘$a$，分子也乘$a$，得$\frac{y× a}{bc× a}=\frac{ay}{abc}$。
【答案】
(1) $6xy$；$\frac{3y}{6xy}$；$\frac{x}{6xy}$
(2) $abc$；$\frac{bx}{abc}$；$\frac{ay}{abc}$
【知识点】
最简公分母的确定；分式的通分；分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，核心考查最简公分母的找法和分式基本性质的应用，掌握确定最简公分母的规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. (1) $\frac{b^2}{4a^2}$与$\frac{c}{ax}$的最简公分母是
(2) $\frac{4a}{5b^2c}$与$\frac{a-4}{10a^2b}$的最简公分母是
$4a^2x$
，通分为$\frac{b^2x}{4a^2x}$
与$\frac{4ac}{4a^2x}$
；(2) $\frac{4a}{5b^2c}$与$\frac{a-4}{10a^2b}$的最简公分母是
$10a^2b^2c$
，通分为$\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$
与$\frac{abc - 4bc}{10a^2b^2c}$
。答案
8. (1) $4a^2x$ $\frac{b^2x}{4a^2x}$ $\frac{4ac}{4a^2x}$ (2) $10a^2b^2c$ $\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$ $\frac{abc - 4bc}{10a^2b^2c}$
解析
【分析】
解决分式通分问题的核心是先确定最简公分母，确定方法为：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，三者乘积就是最简公分母。确定最简公分母后，根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母除以原分母所得的整式，即可完成通分。
(1)中两个分式的分母为$4a^2$、$ax$，按上述方法先求公分母再通分；(2)中两个分式的分母为$5b^2c$、$10a^2b$，同理先求公分母再通分。
【解析】
(1) 求最简公分母：
系数部分：4和1的最小公倍数是4；字母部分：$a$的最高次幂为$a^2$，单独出现的字母为$x$，因此最简公分母为$4a^2x$。
通分：
$\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2 · x}{4a^2 · x}=\frac{b^2x}{4a^2x}$；
$\frac{c}{ax}=\frac{c · 4a}{ax · 4a}=\frac{4ac}{4a^2x}$。
(2) 求最简公分母：
系数部分：5和10的最小公倍数是10；字母部分：$a$的最高次幂为$a^2$，$b$的最高次幂为$b^2$，单独出现的字母为$c$，因此最简公分母为$10a^2b^2c$。
通分：
$\frac{4a}{5b^2c}=\frac{4a · 2a^2}{5b^2c · 2a^2}=\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$；
$\frac{a-4}{10a^2b}=\frac{(a-4)· bc}{10a^2b · bc}=\frac{abc-4bc}{10a^2b^2c}$。
【答案】
(1) $4a^2x$；$\frac{b^2x}{4a^2x}$；$\frac{4ac}{4a^2x}$
(2) $10a^2b^2c$；$\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$；$\frac{abc - 4bc}{10a^2b^2c}$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 分式的基本性质
3. 分式的通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法和通分的规则，解题时需注意通分过程中分子不要漏乘对应的整式，避免出现只改变分母不改变分子的错误，掌握好本题的方法是后续学习分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
解决分式通分问题的核心是先确定最简公分母，确定方法为：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，三者乘积就是最简公分母。确定最简公分母后，根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母除以原分母所得的整式，即可完成通分。
(1)中两个分式的分母为$4a^2$、$ax$，按上述方法先求公分母再通分；(2)中两个分式的分母为$5b^2c$、$10a^2b$，同理先求公分母再通分。
【解析】
(1) 求最简公分母：
系数部分：4和1的最小公倍数是4；字母部分：$a$的最高次幂为$a^2$，单独出现的字母为$x$，因此最简公分母为$4a^2x$。
通分：
$\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2 · x}{4a^2 · x}=\frac{b^2x}{4a^2x}$；
$\frac{c}{ax}=\frac{c · 4a}{ax · 4a}=\frac{4ac}{4a^2x}$。
(2) 求最简公分母：
系数部分：5和10的最小公倍数是10；字母部分：$a$的最高次幂为$a^2$，$b$的最高次幂为$b^2$，单独出现的字母为$c$，因此最简公分母为$10a^2b^2c$。
通分：
$\frac{4a}{5b^2c}=\frac{4a · 2a^2}{5b^2c · 2a^2}=\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$；
$\frac{a-4}{10a^2b}=\frac{(a-4)· bc}{10a^2b · bc}=\frac{abc-4bc}{10a^2b^2c}$。
【答案】
(1) $4a^2x$；$\frac{b^2x}{4a^2x}$；$\frac{4ac}{4a^2x}$
(2) $10a^2b^2c$；$\frac{8a^3}{10a^2b^2c}$；$\frac{abc - 4bc}{10a^2b^2c}$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 分式的基本性质
3. 分式的通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法和通分的规则，解题时需注意通分过程中分子不要漏乘对应的整式，避免出现只改变分母不改变分子的错误，掌握好本题的方法是后续学习分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.8
