9. (郑州期中)如图，直线$AB // CD$，$BC$平分$∠ ABD$，$∠ 1 = 65°$，求$∠ 2$的度数.
补全下列推理过程：
解：$\because AB // CD$，
$\therefore ∠$ $= ∠ 1 = 65°($$)$，
$∠$ $+ ∠ ABD = 180°($$)$.
$\because BC$平分$∠ ABD$(已知)，
$\therefore ∠$ $= 2∠ ABC = 130°($$)$.
$\therefore ∠$ $= 180° - ∠ ABD = 50°$.
$\therefore ∠ 2 = ∠$ $= 50°($$)$.

9. ABC 两直线平行,同位角相等 BDC 两直线平行,同旁内角互补 ABD 角平分线的定义 BDC BDC 对顶角相等

【分析】
解题时先从已知的平行线条件入手，首先AB平行CD，BC为截线时，根据平行线同位角相等的性质可得到与∠1相等的角；接着BD为截线时，根据平行线同旁内角互补的性质可得到和∠ABD互补的角；再结合BC平分∠ABD的条件，利用角平分线定义求出∠ABD的度数，进而求出和∠ABD互补的角的度数；最后结合对顶角相等的性质，即可得到∠2的度数，对应填入推理空缺处即可。
【解析】
补全推理过程如下：
$\because AB // CD$，
$\therefore ∠\boldsymbol{ABC} = ∠ 1 = 65°($ 两直线平行,同位角相等 $)$，
$∠\boldsymbol{BDC} + ∠ ABD = 180°($ 两直线平行,同旁内角互补 $)$。
$\because BC$平分$∠ ABD$(已知)，
$\therefore ∠\boldsymbol{ABD} = 2∠ ABC = 130°($ 角平分线的定义 $)$。
$\therefore ∠\boldsymbol{BDC} = 180° - ∠ ABD = 50°$。
$\therefore ∠ 2 = ∠\boldsymbol{BDC} = 50°($ 对顶角相等 $)$。
【答案】
ABC 两直线平行,同位角相等 BDC 两直线平行,同旁内角互补 ABD 角平分线的定义 BDC BDC 对顶角相等
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是基础的几何推理类题目，重点考查对平行线性质、角平分线定义、对顶角性质的理解与应用，解题的关键是准确识别截线与平行线形成的各类角，熟练对应几何定理完成推导，要注意规范推理过程的书写逻辑。
【难度系数】
0.75

10.（苏州期末）如图，$∠ 2 = ∠ B$，$BE$与$DF$相交于点$P$.
（1）若$∠ 1 = 46°$，求$∠ C$的度数；
（2）若$∠ 2 + ∠ D = 90°$，$AB // CD$，试说明：$BE ⊥ DF$.

(1) 46° (2) 略

【分析】
（1）首先由已知∠2=∠B，根据内错角相等可判定AB//CD；再利用平行线的性质，得到∠1与∠B相等、∠C与∠2相等，结合∠2=∠B进行等量代换，即可得出∠C和∠1相等，代入∠1的度数就能求出结果。
（2）要证明BE⊥DF，只需证明两条直线的夹角为90°。先由AB//CD得出∠B和∠BED相等，结合∠2=∠B可推得∠2=∠BED；再代入∠2+∠D=90°，可得∠BED与∠D的和为90°，根据三角形内角和即可算出两直线的夹角为90°，从而得到垂直结论。
【解析】
（1）解：
∵$∠ 2 = ∠ B$（已知），
∴$AB // CD$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ C = ∠ 2$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ 2 = ∠ B$（已知），
∴$∠ C = ∠ 1 = 46°$。
（2）证明：
∵$∠ 2 = ∠ B$（已知），
∴$AB // CD$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠ B = ∠ BED$（两直线平行，内错角相等），
∵$∠ 2 = ∠ B$（已知），
∴$∠ 2 = ∠ BED$（等量代换），
又
∵$∠ 2 + ∠ D = 90°$（已知），
∴$∠ BED + ∠ D = 90°$（等量代换），
在$△ EPD$中，$∠ DPE = 180° - (∠ BED + ∠ D) = 180° - 90° = 90°$，
∴$BE ⊥ DF$（垂直的定义）。
【答案】
(1) $\boxed{46°}$
(2) 证明见解析
【知识点】
平行线的判定与性质；三角形内角和；垂直的定义
【点评】
本题是平行线章节的典型基础题，核心考查平行线判定和性质的综合应用，解题关键是准确识别角的位置关系，结合已知条件完成等量代换，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.75

11. (绥化中考)如图，AD是∠EAC的平分线，AD // BC，∠B = 38°，则∠C的度数是
【 】


A.16°
B.30°
C.38°
D.76°

C

【分析】
解题时先结合已知的AD//BC，利用平行线的性质分别得到同位角∠EAD=∠B、内错角∠DAC=∠C；再根据AD是∠EAC的平分线，可推出∠EAD=∠DAC；最后通过等量代换得到∠C与∠B的等量关系，代入∠B的度数即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠DAC=∠C（两直线平行，内错角相等），
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠EAD=∠DAC（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（等量代换），
又
∵∠B=38°，
∴∠C=38°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平行线的性质与角平分线定义的综合运用，解题的核心是通过平行线的性质搭建已知角和未知角之间的等量关系。
【难度系数】
0.85

12.（深圳中考）如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若$CB // OA$，$∠ CBO = 122°$，$∠ BON = 90°$，则入射角$∠ AON$的度数为 【 】

A.$22°$
B.$32°$
C.$35°$
D.$122°$

B

【分析】
解题时首先观察已知条件有$CB// OA$，可优先使用平行线的性质求相关角度：先利用两直线平行同旁内角互补求出$∠ AOB$的度数，再结合已知$∠ BON=90°$，根据图形中角的和差关系，就能计算得出$∠ AON$的度数。
【解析】
1. 因为$CB// OA$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ CBO + ∠ AOB = 180°$
已知$∠ CBO=122°$，代入得$∠ AOB=180° - 122°=58°$。
2. 由已知$∠ BON=90°$，结合图形可知$∠ BON=∠ AOB + ∠ AON$，因此：
$∠ AON=∠ BON - ∠ AOB=90° - 58°=32°$。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质、角度的和差计算
【点评】
本题结合生活中的试鞋镜光路场景出题，核心考查平行线性质的应用，解题关键是准确识别平行线形成的同旁内角，结合已知角度通过和差关系推导所求角度，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7

24
13.（福建中考）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，$∠ BAC = ∠ EDF = 90°$，$∠ B = 45°$，$∠ DEF = 60°$。当$AD // BC$时，$∠ ADE$的大小为 【 】

A.$5°$
B.$15°$
C.$25°$
D.$35°$

13. B

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先明确三角板自带的固定角度特征，第一步先根据△ABC的已知内角度数算出∠ACB的大小；再利用AD平行BC的平行线性质，得到内错角∠DAC与∠ACB相等；接着根据点A、E、C、F共线，求出△ADE中∠AED的度数；最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠ADE的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-90°-45°=45°，
∵AD//BC，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∵点A、E、C、F在同一条直线上，∠DEF=60°，
∴∠AED=180°-∠DEF=180°-60°=120°，
在△ADE中，三角形内角和为180°，
∴∠ADE=180°-∠DAC-∠AED=180°-45°-120°=15°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的固定角度考查基础几何性质的应用，解题核心是准确找到平行线对应的内错角，再结合三角形内角和计算未知角，是几何部分的常见基础题型，侧重对基础知识点的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7