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1. 如图,某建筑物有一道抛物线形的大门,小明想知道这道门的高度(OE的长),他先测出门的宽度$AB=8\ \mathrm{m}$,然后用一根长$2.4\ \mathrm{m}$的竹竿$CD$竖直地同时接触地面和门的内壁,并测得$AC=2\ \mathrm{m}$,则门高$OE$为 (
A.$3.2\ \mathrm{m}$
B.$3.3\ \mathrm{m}$
C.$3.5\ \mathrm{m}$
D.$4\ \mathrm{m}$
A
)A.$3.2\ \mathrm{m}$
B.$3.3\ \mathrm{m}$
C.$3.5\ \mathrm{m}$
D.$4\ \mathrm{m}$
答案
1.A
解析
【分析】
这是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：①首先结合坐标系和已知线段长度，确定抛物线上点的坐标：已知AB=8m，抛物线以y轴为对称轴，可得A(-4,0)、B(4,0)；再由AC=2m、CD=2.4m，可推出D点坐标为(-2,2.4)。②因为已知抛物线与x轴的两个交点，选用交点式设抛物线解析式更简便，代入D点坐标即可求出解析式。③门高OE就是抛物线在x=0处的函数值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，AB=8m，因此A点坐标为(-4,0)，B点坐标为(4,0)。
∵AC=2m，
∴C点的横坐标为-4+2=-2，又CD=2.4m且CD垂直于x轴，
∴D点坐标为(-2,2.4)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)(x+4)$，将D(-2,2.4)代入解析式：
$2.4=a×(-2-4)×(-2+4)$
$2.4=-12a$
解得$a=-0.2$。
因此抛物线解析式为$y=-0.2(x-4)(x+4)=-0.2x^2+3.2$。
当x=0时，$y=3.2$，即OE的长度为3.2m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是生活中抛物线类问题的典型题型，解题核心是结合坐标系确定已知点坐标，选择合适的解析式形式求解，再计算所需的函数值，难度不大，掌握基本方法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：①首先结合坐标系和已知线段长度，确定抛物线上点的坐标：已知AB=8m，抛物线以y轴为对称轴，可得A(-4,0)、B(4,0)；再由AC=2m、CD=2.4m，可推出D点坐标为(-2,2.4)。②因为已知抛物线与x轴的两个交点，选用交点式设抛物线解析式更简便，代入D点坐标即可求出解析式。③门高OE就是抛物线在x=0处的函数值，代入解析式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，AB=8m，因此A点坐标为(-4,0)，B点坐标为(4,0)。
∵AC=2m，
∴C点的横坐标为-4+2=-2，又CD=2.4m且CD垂直于x轴，
∴D点坐标为(-2,2.4)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-4)(x+4)$，将D(-2,2.4)代入解析式：
$2.4=a×(-2-4)×(-2+4)$
$2.4=-12a$
解得$a=-0.2$。
因此抛物线解析式为$y=-0.2(x-4)(x+4)=-0.2x^2+3.2$。
当x=0时，$y=3.2$，即OE的长度为3.2m。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是生活中抛物线类问题的典型题型，解题核心是结合坐标系确定已知点坐标，选择合适的解析式形式求解，再计算所需的函数值，难度不大，掌握基本方法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
2.某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度$h$(单位:m)与飞行时间$t$(单位:s)之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是
0.8
s.答案
2. 0.8
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确足球飞行高度h和时间t满足二次函数关系，其图像为开口向下的抛物线，最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是到达最高点所需的时间，也就是抛物线的对称轴对应的t值。观察图像可知，当t=0.5s和t=1.1s时，足球的飞行高度均为2.75m，说明这两个点是抛物线上纵坐标相等的两点，根据抛物线的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴对应的t值就是这两个时间的平均数，计算即可得到结果。
【解析】
∵ 足球的飞行高度h是飞行时间t的二次函数，
∴ h与t的函数图像为抛物线，抛物线上纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称。
由图可知，当t=0.5s和t=1.1s时，h=2.75m，
∴ 抛物线的对称轴为$ t=\frac{0.5+1.1}{2}=0.8 $，
∵ 抛物线开口向下，最高点（顶点）在对称轴上，
∴ 足球到达最高点所需的时间是0.8s。
【答案】
0.8
【知识点】
二次函数的性质，抛物线的对称性，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关性质，解题的关键是利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质快速求解对称轴，避免了繁琐的解析式求解过程，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确足球飞行高度h和时间t满足二次函数关系，其图像为开口向下的抛物线，最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是到达最高点所需的时间，也就是抛物线的对称轴对应的t值。观察图像可知，当t=0.5s和t=1.1s时，足球的飞行高度均为2.75m，说明这两个点是抛物线上纵坐标相等的两点，根据抛物线的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴对应的t值就是这两个时间的平均数，计算即可得到结果。
【解析】
∵ 足球的飞行高度h是飞行时间t的二次函数，
∴ h与t的函数图像为抛物线，抛物线上纵坐标相同的两个点关于抛物线的对称轴对称。
由图可知，当t=0.5s和t=1.1s时，h=2.75m，
∴ 抛物线的对称轴为$ t=\frac{0.5+1.1}{2}=0.8 $，
∵ 抛物线开口向下，最高点（顶点）在对称轴上，
∴ 足球到达最高点所需的时间是0.8s。
【答案】
0.8
【知识点】
二次函数的性质，抛物线的对称性，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关性质，解题的关键是利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质快速求解对称轴，避免了繁琐的解析式求解过程，降低了计算量。
【难度系数】
0.7
3.某音乐喷泉的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的函数关系如图所示，点A为出水口，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为D，OA=2 m.若BD=6 m，OD=2 m，则OC的长为
$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$
.答案
3.$(\sqrt{6}+2)\mathrm{m}$
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用，解题思路如下：第一步先根据题意确定抛物线上已知点的坐标：出水口A在y轴上，OA=2，故A(0,2)；最高点B是抛物线顶点，由OD=2、BD=6可得顶点B坐标为(2,6)。第二步因为已知抛物线顶点，所以设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出解析式的未知系数。第三步落地点C的纵坐标为0，令函数值y=0，解出对应的正的自变量x的值，即为OC的长度。
【解析】
由题意可知：
点A坐标为$(0, 2)$，抛物线顶点B的坐标为$(2, 6)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$ y=a(x-2)^2+6 $（$a≠0$）
将$A(0,2)$代入解析式得：
$ 2=a(0-2)^2+6 $
$ 2=4a+6 $
解得 $ a=-1 $
所以抛物线解析式为 $ y=-(x-2)^2+6 $
落地点C在x轴上，即$y=0$，令$y=0$：
$ 0=-(x-2)^2+6 $
移项得 $ (x-2)^2=6 $
开方得 $ x-2=\pm\sqrt{6} $
解得 $ x_1=2+\sqrt{6} $，$x_2=2-\sqrt{6}$（不符合实际，舍去）
所以点C的横坐标为$ 2+\sqrt{6} $，即OC的长为$ (2+\sqrt{6})\mathrm{m} $。
【答案】
$ (\sqrt{6}+2)\mathrm{m} $
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于生活中的抛物线类基础应用题，解题核心是结合坐标系确定已知点坐标，合理选择二次函数解析式形式求解，再结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数在实际生活中的应用，解题思路如下：第一步先根据题意确定抛物线上已知点的坐标：出水口A在y轴上，OA=2，故A(0,2)；最高点B是抛物线顶点，由OD=2、BD=6可得顶点B坐标为(2,6)。第二步因为已知抛物线顶点，所以设二次函数的顶点式，代入A点坐标求出解析式的未知系数。第三步落地点C的纵坐标为0，令函数值y=0，解出对应的正的自变量x的值，即为OC的长度。
【解析】
由题意可知：
点A坐标为$(0, 2)$，抛物线顶点B的坐标为$(2, 6)$。
设抛物线的解析式为顶点式：$ y=a(x-2)^2+6 $（$a≠0$）
将$A(0,2)$代入解析式得：
$ 2=a(0-2)^2+6 $
$ 2=4a+6 $
解得 $ a=-1 $
所以抛物线解析式为 $ y=-(x-2)^2+6 $
落地点C在x轴上，即$y=0$，令$y=0$：
$ 0=-(x-2)^2+6 $
移项得 $ (x-2)^2=6 $
开方得 $ x-2=\pm\sqrt{6} $
解得 $ x_1=2+\sqrt{6} $，$x_2=2-\sqrt{6}$（不符合实际，舍去）
所以点C的横坐标为$ 2+\sqrt{6} $，即OC的长为$ (2+\sqrt{6})\mathrm{m} $。
【答案】
$ (\sqrt{6}+2)\mathrm{m} $
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数实际应用，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于生活中的抛物线类基础应用题，解题核心是结合坐标系确定已知点坐标，合理选择二次函数解析式形式求解，再结合实际意义舍去不符合要求的解即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,正常水位时,抛物线形拱桥(拱桥顶记作点O)下的水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$,水面上升$3\ \mathrm{m}$达到警戒水位时,桥下水面宽度$CD=10\ \mathrm{m}$.
(1)请你建立恰当的平面直角坐标系,求出这个拱桥所在的抛物线对应的函数解析式.
(2)如果水位以$0.2\ \mathrm{m/h}$的速度持续上涨,那么达到警戒水位后,再过多长时间此桥将被淹没?
(1)请你建立恰当的平面直角坐标系,求出这个拱桥所在的抛物线对应的函数解析式.
(2)如果水位以$0.2\ \mathrm{m/h}$的速度持续上涨,那么达到警戒水位后,再过多长时间此桥将被淹没?
答案
4.【解】(1)建立的平面直角坐标系如图所示.
设拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$.
根据题意,得$A(-10,0),C(-5,3)$.
∴$\begin{cases}100a+c=0,\\25a+c=3.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{25},\\c=4.\end{cases}$
∴拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$.
(2)把$x=0$代入$y=-\frac{1}{25}x^2+4$,得$y=4$.
∴$O(0,4)$.
∵$(4-3)÷0.2=5(\mathrm{h})$,
∴达到警戒水位后,再过5 h此桥将被淹没.
(建立的平面直角坐标系和拱桥所在的抛物线对应的函数解析式不唯一,第(2)问答案唯一)
解析
【分析】
(1) 由于抛物线形拱桥是轴对称图形，我们可以利用对称性建立平面直角坐标系简化计算：以拱桥的对称轴为y轴、正常水位AB所在直线为x轴建系，此时抛物线关于y轴对称，可设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。再根据已知的AB、CD长度和水位上升高度，得到点A、C的坐标，代入解析式得到二元一次方程组，求解即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 桥被淹没即水位上涨至拱桥顶点O处，先求出顶点O的纵坐标，得到警戒水位到顶点的高度差，再除以水位上涨速度，即可计算出所需时间。
【解析】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示.
设拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
根据题意，正常水位时水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，可得$A(-10,0)$；水位上升$3\ \mathrm{m}$到警戒水位时水面宽度$CD=10\ \mathrm{m}$，可得$C(-5,3)$。
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}100a+c=0\\25a+c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{25}\\c=4\end{cases}$
因此拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$。
(2) 把$x=0$代入$y=-\frac{1}{25}x^2+4$，得$y=4$，即拱桥顶点$O(0,4)$，说明顶点距离正常水位高度为4m。
警戒水位比正常水位高3m，因此警戒水位到拱桥顶点的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示.，拱桥所在抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$（坐标系建立方式不同时解析式不唯一）；
(2) 达到警戒水位后，再过$\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$此桥将被淹没。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是结合图形对称性合理建立坐标系简化计算，通过已知条件求出函数解析式后，再利用解析式解决实际问题，重点考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由于抛物线形拱桥是轴对称图形，我们可以利用对称性建立平面直角坐标系简化计算：以拱桥的对称轴为y轴、正常水位AB所在直线为x轴建系，此时抛物线关于y轴对称，可设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。再根据已知的AB、CD长度和水位上升高度，得到点A、C的坐标，代入解析式得到二元一次方程组，求解即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 桥被淹没即水位上涨至拱桥顶点O处，先求出顶点O的纵坐标，得到警戒水位到顶点的高度差，再除以水位上涨速度，即可计算出所需时间。
【解析】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示.
设拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
根据题意，正常水位时水面宽度$AB=20\ \mathrm{m}$，可得$A(-10,0)$；水位上升$3\ \mathrm{m}$到警戒水位时水面宽度$CD=10\ \mathrm{m}$，可得$C(-5,3)$。
将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}100a+c=0\\25a+c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{25}\\c=4\end{cases}$
因此拱桥所在的抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2+4$。
(2) 把$x=0$代入$y=-\frac{1}{25}x^2+4$，得$y=4$，即拱桥顶点$O(0,4)$，说明顶点距离正常水位高度为4m。
警戒水位比正常水位高3m，因此警戒水位到拱桥顶点的高度差为$4-3=1\ \mathrm{m}$。
已知水位上涨速度为$0.2\ \mathrm{m/h}$，则所需时间为$1÷0.2=5(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 建立的平面直角坐标系如图所示.
，拱桥所在抛物线对应的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{25}x^2+4}$（坐标系建立方式不同时解析式不唯一）；(2) 达到警戒水位后，再过$\boldsymbol{5\ \mathrm{h}}$此桥将被淹没。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题关键是结合图形对称性合理建立坐标系简化计算，通过已知条件求出函数解析式后，再利用解析式解决实际问题，重点考察学生的数学建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
5.如图,水池中心点O处竖直安装了一个水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面内.安装师傅调试发现:当喷头高2.5 m时,水柱落点与点O相距2.5 m;当喷头高4 m时,水柱落点与点O相距3 m,那么当喷头高
8
m时,水柱落点与点O相距4 m.答案
5. 8
解析
【分析】
首先建立平面直角坐标系：以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。由于喷头上下移动时抛物线形水柱仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数a和一次项系数b固定不变，仅常数项（即喷头高度h）变化。我们可以先设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+h$，将两组已知的喷头高度、落点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再将落点距O点4m的坐标代入解析式，即可求出对应喷头高度。
【解析】
解：以O为原点，水平面为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
设抛物线形水柱的解析式为$ y = ax^2 + bx + h $（h为喷头高度，a、b为固定值）。
1. 当$h=2.5\ \mathrm{m}$时，水柱落点为$(2.5, 0)$，代入解析式得：
$0 = a×(2.5)^2 + b×2.5 + 2.5$
整理化简得：$5a + 2b = -2$ ①
2. 当$h=4\ \mathrm{m}$时，水柱落点为$(3, 0)$，代入解析式得：
$0 = a×3^2 + b×3 + 4$
整理得：$9a + 3b = -4$ ②
联立①②解方程组：
①×3得：$15a + 6b = -6$
②×2得：$18a + 6b = -8$
两式相减得$3a=-2$，解得$a=-\frac{2}{3}$，代入①得$b=\frac{2}{3}$。
3. 当水柱落点距O点4m时，落点坐标为$(4, 0)$，代入解析式：
$0 = -\frac{2}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 + h$
计算得$h=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用，二元一次方程组求解，二次函数平移
【点评】
本题是典型的生活中抛物线类应用题，解题核心是抓住喷头上下移动时抛物线仅竖直平移、形状不变的特点，建立方程求解即可，要求熟练掌握二次函数解析式的求法。
【难度系数】
0.6
首先建立平面直角坐标系：以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向。由于喷头上下移动时抛物线形水柱仅竖直平移，因此抛物线的二次项系数a和一次项系数b固定不变，仅常数项（即喷头高度h）变化。我们可以先设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+h$，将两组已知的喷头高度、落点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再将落点距O点4m的坐标代入解析式，即可求出对应喷头高度。
【解析】
解：以O为原点，水平面为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
设抛物线形水柱的解析式为$ y = ax^2 + bx + h $（h为喷头高度，a、b为固定值）。
1. 当$h=2.5\ \mathrm{m}$时，水柱落点为$(2.5, 0)$，代入解析式得：
$0 = a×(2.5)^2 + b×2.5 + 2.5$
整理化简得：$5a + 2b = -2$ ①
2. 当$h=4\ \mathrm{m}$时，水柱落点为$(3, 0)$，代入解析式得：
$0 = a×3^2 + b×3 + 4$
整理得：$9a + 3b = -4$ ②
联立①②解方程组：
①×3得：$15a + 6b = -6$
②×2得：$18a + 6b = -8$
两式相减得$3a=-2$，解得$a=-\frac{2}{3}$，代入①得$b=\frac{2}{3}$。
3. 当水柱落点距O点4m时，落点坐标为$(4, 0)$，代入解析式：
$0 = -\frac{2}{3}×4^2 + \frac{2}{3}×4 + h$
计算得$h=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用，二元一次方程组求解，二次函数平移
【点评】
本题是典型的生活中抛物线类应用题，解题核心是抓住喷头上下移动时抛物线仅竖直平移、形状不变的特点，建立方程求解即可，要求熟练掌握二次函数解析式的求法。
【难度系数】
0.6
