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9. 光在真空中的传播速度为$3×10^{5}\ \mathrm{km/s}$，太阳光射到地球上需要的时间约为$5×10^{2}\ \mathrm{s}$，则地球与太阳间的距离是
$1.5×10^8$
km.答案
9. $1.5×10^8$
解析
【分析】
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间，本题已知光的传播速度和传播时间，直接代入公式计算即可。计算两个用科学记数法表示的数的乘积时，可利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别相乘，再根据同底数幂的乘法法则计算幂的部分，最后将结果整理为标准的科学记数法形式（满足1≤a＜10的要求）即可。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得地球与太阳间的距离为：
$\begin{aligned}&3×10^5 × 5×10^2 \\=&(3×5)×(10^5×10^2) \\=&15×10^{5+2} \\=&15×10^7 \\=&1.5×10^8\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$1.5×10^8$
【知识点】
同底数幂的乘法、科学记数法、行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查幂的运算规则在实际场景中的应用，解题核心是熟练运用同底数幂的乘法法则，同时要注意最终结果需符合科学记数法的规范书写要求，避免出现非标准形式的答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆行程问题的基本数量关系：路程=速度×时间，本题已知光的传播速度和传播时间，直接代入公式计算即可。计算两个用科学记数法表示的数的乘积时，可利用乘法交换律和结合律，将系数与同底数幂分别相乘，再根据同底数幂的乘法法则计算幂的部分，最后将结果整理为标准的科学记数法形式（满足1≤a＜10的要求）即可。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得地球与太阳间的距离为：
$\begin{aligned}&3×10^5 × 5×10^2 \\=&(3×5)×(10^5×10^2) \\=&15×10^{5+2} \\=&15×10^7 \\=&1.5×10^8\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
$1.5×10^8$
【知识点】
同底数幂的乘法、科学记数法、行程问题基本公式
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查幂的运算规则在实际场景中的应用，解题核心是熟练运用同底数幂的乘法法则，同时要注意最终结果需符合科学记数法的规范书写要求，避免出现非标准形式的答案。
【难度系数】
0.8
10. 已知$3^m=243$，$3^n=9$，求$m+n$的值.
答案
10. 7
解析
【分析】
解题有两种清晰思路：思路一：先根据乘方的意义，分别求出m、n的具体数值，再相加得到m+n的结果；思路二：利用同底数幂的乘法法则，即同底数幂相乘、底数不变指数相加，可得$3^m × 3^n=3^{m+n}$，先计算$3^m$与$3^n$的乘积，再将乘积转化为以3为底的幂，根据同底数幂相等则指数相等的规律，直接求出$m+n$的值。
【解析】
解：
$\because 3^5=243$，且已知$3^m=243$，
$\therefore m=5$，
$\because 3^2=9$，且已知$3^n=9$，
$\therefore n=2$，
$\therefore m+n=5+2=7$。
（也可通过同底数幂乘法求解：由同底数幂乘法法则得$3^{m+n}=3^m · 3^n=243 × 9=2187$，又$\because 3^7=2187$，$\therefore m+n=7$）
【答案】
7
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题方法灵活，既可以通过乘方的意义单独求解指数再计算，也可以利用幂的运算性质整体推导，核心考查对乘方定义和幂运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.9
解题有两种清晰思路：思路一：先根据乘方的意义，分别求出m、n的具体数值，再相加得到m+n的结果；思路二：利用同底数幂的乘法法则，即同底数幂相乘、底数不变指数相加，可得$3^m × 3^n=3^{m+n}$，先计算$3^m$与$3^n$的乘积，再将乘积转化为以3为底的幂，根据同底数幂相等则指数相等的规律，直接求出$m+n$的值。
【解析】
解：
$\because 3^5=243$，且已知$3^m=243$，
$\therefore m=5$，
$\because 3^2=9$，且已知$3^n=9$，
$\therefore n=2$，
$\therefore m+n=5+2=7$。
（也可通过同底数幂乘法求解：由同底数幂乘法法则得$3^{m+n}=3^m · 3^n=243 × 9=2187$，又$\because 3^7=2187$，$\therefore m+n=7$）
【答案】
7
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础题型，解题方法灵活，既可以通过乘方的意义单独求解指数再计算，也可以利用幂的运算性质整体推导，核心考查对乘方定义和幂运算规则的掌握程度。
【难度系数】
0.9
11. 阅读材料，回答问题.
材料一：因为 $2^3 = 2×2×2$，$2^2 = 2×2$，所以 $2^3×2^2 = (2×2×2)×(2×2) = 2^5$.
材料二：求 $3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6$ 的值.
解：设 $S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6$，①
则 $3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7$. ②
用②－①，得 $3S - S = (3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) - (3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6) = 3^7 - 3$，
所以 $2S = 3^7 - 3$，即 $S = \frac{3^7 - 3}{2}$，所以 $3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 = \frac{3^7 - 3}{2}$.
这种方法我们称为“错位相减法”.
（1）填空：$5×5^8 = \_\_\_\_\_\_$，$a^2·a^5 = \_\_\_\_\_\_$.
（2）“棋盘摆米”是这样一个数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏. 阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒……按这个
个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了.
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 ______ 粒米.（用幂表示）
②设国王输给阿基米德的总米粒数为 $S$，求 $S$.
材料一：因为 $2^3 = 2×2×2$，$2^2 = 2×2$，所以 $2^3×2^2 = (2×2×2)×(2×2) = 2^5$.
材料二：求 $3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6$ 的值.
解：设 $S = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6$，①
则 $3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7$. ②
用②－①，得 $3S - S = (3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) - (3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6) = 3^7 - 3$，
所以 $2S = 3^7 - 3$，即 $S = \frac{3^7 - 3}{2}$，所以 $3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 = \frac{3^7 - 3}{2}$.
这种方法我们称为“错位相减法”.
（1）填空：$5×5^8 = \_\_\_\_\_\_$，$a^2·a^5 = \_\_\_\_\_\_$.
（2）“棋盘摆米”是这样一个数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏. 阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第1格放1粒米，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒……按这个
个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了.
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放 ______ 粒米.（用幂表示）
②设国王输给阿基米德的总米粒数为 $S$，求 $S$.
答案
（1）$5^9$ $a^7$ （2）①$2^{63}$. 由题意得，第一格放的米粒数为$1=2^0$，第二格放的米粒数为$2=2^1$，第三格放的米粒数为$4=2^2$，第四格放的米粒数为$8=2^3$，…
∴第$n$格放的米粒数为$2^{n-1}$，
∴在第64格中应放$2^{63}$粒米 ②由题意得，$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$，$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$，
∴$2S-S=2^{64}-1$，即$S=2^{64}-1$
∴第$n$格放的米粒数为$2^{n-1}$，
∴在第64格中应放$2^{63}$粒米 ②由题意得，$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$，$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$，
∴$2S-S=2^{64}-1$，即$S=2^{64}-1$
解析
【分析】
（1）两小问均考查同底数幂的乘法法则，按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规则直接计算即可。
（2）①先观察前几格的米粒数规律：第1格$1=2^0$，第2格$2=2^1$，第3格$4=2^2$，可推导得出第n格的米粒数为$2^{n-1}$，代入n=64即可求解；
②总米粒数S是公比为2的数列求和，直接迁移材料中的“错位相减法”：先设出总和S，等式两边同时乘公比2得到新等式，两式相减抵消中间重复项，即可求出S的值。
【解析】
（1）根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）：
$5×5^8=5^{1+8}=5^9$；
$a^2·a^5=a^{2+5}=a^7$。
（2）①观察米粒数规律：
第1格：$1=2^0$，第2格：$2=2^1$，第3格：$4=2^2$，第4格：$8=2^3$……
可得第n格米粒数为$2^{n-1}$，
当n=64时，第64格米粒数为$2^{64-1}=2^{63}$。
②由题意得总米粒数：
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$ ①
等式两边同时乘2得：
$2S=2+2^2+2^3+…+2^{63}+2^{64}$ ②
用②-①得：$2S-S=2^{64}-1$，即$S=2^{64}-1$。
【答案】
（1）$5^9$；$a^7$
（2）①$2^{63}$；②$S=2^{64}-1$
【知识点】
同底数幂的乘法；错位相减法；数字规律探究
【点评】
本题为材料阅读类题型，既考查了幂的运算基础知识点，又考查了对材料解题方法的迁移应用能力，结合经典数学故事设置问题，趣味性较强，能有效锻炼学生的阅读理解能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）两小问均考查同底数幂的乘法法则，按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的规则直接计算即可。
（2）①先观察前几格的米粒数规律：第1格$1=2^0$，第2格$2=2^1$，第3格$4=2^2$，可推导得出第n格的米粒数为$2^{n-1}$，代入n=64即可求解；
②总米粒数S是公比为2的数列求和，直接迁移材料中的“错位相减法”：先设出总和S，等式两边同时乘公比2得到新等式，两式相减抵消中间重复项，即可求出S的值。
【解析】
（1）根据同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）：
$5×5^8=5^{1+8}=5^9$；
$a^2·a^5=a^{2+5}=a^7$。
（2）①观察米粒数规律：
第1格：$1=2^0$，第2格：$2=2^1$，第3格：$4=2^2$，第4格：$8=2^3$……
可得第n格米粒数为$2^{n-1}$，
当n=64时，第64格米粒数为$2^{64-1}=2^{63}$。
②由题意得总米粒数：
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$ ①
等式两边同时乘2得：
$2S=2+2^2+2^3+…+2^{63}+2^{64}$ ②
用②-①得：$2S-S=2^{64}-1$，即$S=2^{64}-1$。
【答案】
（1）$5^9$；$a^7$
（2）①$2^{63}$；②$S=2^{64}-1$
【知识点】
同底数幂的乘法；错位相减法；数字规律探究
【点评】
本题为材料阅读类题型，既考查了幂的运算基础知识点，又考查了对材料解题方法的迁移应用能力，结合经典数学故事设置问题，趣味性较强，能有效锻炼学生的阅读理解能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 计算 $a^3 · a^4$ 的结果是（
A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
B
）.A.$2a^7$
B.$a^7$
C.$2a^4$
D.$a^{12}$
答案
12. B
解析
【分析】
拿到这道题首先判断运算类型：式子是两个底数均为a的幂相乘，属于同底数幂的乘法运算，接下来我们可以调用同底数幂的乘法法则求解。解题时要注意区分不同幂运算的规则：同底数幂乘法是指数相加，不要和幂的乘方的指数相乘规则混淆，也不要错误添加系数，就能排除错误选项得到正确结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
计算过程如下：
$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$
因此符合结果的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，只要熟记法则，区分开不同幂运算的规则，就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先判断运算类型：式子是两个底数均为a的幂相乘，属于同底数幂的乘法运算，接下来我们可以调用同底数幂的乘法法则求解。解题时要注意区分不同幂运算的规则：同底数幂乘法是指数相加，不要和幂的乘方的指数相乘规则混淆，也不要错误添加系数，就能排除错误选项得到正确结果。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
计算过程如下：
$a^3 · a^4 = a^{3+4} = a^7$
因此符合结果的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题，核心考查同底数幂乘法法则的应用，只要熟记法则，区分开不同幂运算的规则，就能轻松做对。
【难度系数】
0.9
13. 已知$m$，$n$是正整数，且满足$3^m · 3^m · 3^m = 3^n$，则$m$与$n$的关系正确的是（
A.$3m = n$
B.$m^3 = n$
C.$m + 3 = n$
D.$m + 1 = n$
A
）。A.$3m = n$
B.$m^3 = n$
C.$m + 3 = n$
D.$m + 1 = n$
答案
13. A
解析
【分析】
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先对等式左侧的运算进行化简，再根据底数相同的两个非零幂相等时，指数也相等的性质，即可推导出m和n的关系，对应选出正确选项。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$3^m · 3^m · 3^m = 3^{m+m+m} = 3^{3m}$
已知$3^{3m}=3^n$，由于底数3不为0且不为1，因此两个幂相等时指数相等，可得：
$3m = n$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，侧重对基础法则的考查，只要熟练掌握同底数幂的乘法规则，即可快速得出结论，是巩固幂运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。先对等式左侧的运算进行化简，再根据底数相同的两个非零幂相等时，指数也相等的性质，即可推导出m和n的关系，对应选出正确选项。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$3^m · 3^m · 3^m = 3^{m+m+m} = 3^{3m}$
已知$3^{3m}=3^n$，由于底数3不为0且不为1，因此两个幂相等时指数相等，可得：
$3m = n$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；幂相等的性质
【点评】
本题是幂运算的基础题型，侧重对基础法则的考查，只要熟练掌握同底数幂的乘法规则，即可快速得出结论，是巩固幂运算基础的典型习题。
【难度系数】
0.9
14. 计算：$m^{10} · m^{3} = (\quad)$.
A.$m^{3}$
B.$m^{7}$
C.$m^{10}$
D.$m^{13}$
A.$m^{3}$
B.$m^{7}$
C.$m^{10}$
D.$m^{13}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：第一步先观察算式特征，两个相乘的幂底数都是m，符合同底数幂相乘的形式；第二步回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第三步套用法则计算出结果，再对应选项即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数）。
对算式计算可得：
$m^{10} · m^3 = m^{10+3} = m^{13}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的记忆与应用，解题时注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等不同运算法则，避免混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：第一步先观察算式特征，两个相乘的幂底数都是m，符合同底数幂相乘的形式；第二步回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第三步套用法则计算出结果，再对应选项即可得到答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数）。
对算式计算可得：
$m^{10} · m^3 = m^{10+3} = m^{13}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的记忆与应用，解题时注意区分同底数幂乘法、幂的乘方等不同运算法则，避免混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9
