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1. 运用分式方程解决简单的实际问题.
2. 能够列分式方程解决简单的实际问题.
3. 提升运算能力、发展应用意识.
自主导学
表达问题时，用
典例分享
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1. 运用分式方程解决简单的实际问题.
2. 能够列分式方程解决简单的实际问题.
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自主导学
表达问题时，用
字母
不仅可以表示未知数（或未知量），也可以表示已知数（或已知量）.典例分享
答案
字母
解析
【分析】
这是一道基础概念填空题，解题时需回忆代数表达的相关基础知识：我们表述数学问题中的数量时，常用特定符号代替具体数值，这类符号既可以指代未知量，也可以指代已知量，结合所学的代数表示规则就能确定对应的内容。
【解析】
在代数问题的表达过程中，字母是常用的数量表示工具，例如列分式方程时，我们可以用x表示未知的量，也可以用a、v等字母表示题目中给定的已知常量，因此空缺处应填入字母。
【答案】
字母
【知识点】
用字母表示数
【点评】
本题属于基础识记类题目，是学习列方程（包括分式方程）解决实际问题的前置基础内容，主要考察对代数基本表示方法的掌握情况。
【难度系数】
0.9
这是一道基础概念填空题，解题时需回忆代数表达的相关基础知识：我们表述数学问题中的数量时，常用特定符号代替具体数值，这类符号既可以指代未知量，也可以指代已知量，结合所学的代数表示规则就能确定对应的内容。
【解析】
在代数问题的表达过程中，字母是常用的数量表示工具，例如列分式方程时，我们可以用x表示未知的量，也可以用a、v等字母表示题目中给定的已知常量，因此空缺处应填入字母。
【答案】
字母
【知识点】
用字母表示数
【点评】
本题属于基础识记类题目，是学习列方程（包括分式方程）解决实际问题的前置基础内容，主要考察对代数基本表示方法的掌握情况。
【难度系数】
0.9
1. 《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干；第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同。设第二次分钱的人数为$ x $人，则可列方程为（
A.$ 10x = 40(x + 6) $
B.$ 10(x - 6) = 40x $
C.$ \frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x} $
D.$ \frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6} $
C
）。A.$ 10x = 40(x + 6) $
B.$ 10(x - 6) = 40x $
C.$ \frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x} $
D.$ \frac{10}{x} = \frac{40}{x + 6} $
答案
1. C
解析
【分析】
解这道题的思路是先找题干中的等量关系，再用含未知数的式子表示对应量，最后列方程。首先题干给出的核心等量关系是“第二次每人分得的钱与第一次相同”；其次明确人数关系：设第二次人数为x，第二次比第一次多6人，因此第一次人数是$ x-6 $；再根据“人均分得钱数=总钱数÷参与分配人数”，分别写出两次的人均钱数，令二者相等即可得到方程。
【解析】
第一步：确定第一次分钱的人数
已知第二次分钱人数为$ x $人，且第二次比第一次多6人，因此第一次分钱的人数为$ x - 6 $人。
第二步：分别表示两次每人分得的钱数
第一次总钱数是10元，所以第一次每人分得的钱为$ \frac{10}{x - 6} $元；
第二次总钱数是40元，所以第二次每人分得的钱为$ \frac{40}{x} $元。
第三步：根据等量关系列方程
由两次每人分得的钱数相同，可列方程：$ \frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实际问题列分式方程、等量关系识别
【点评】
本题属于分配类实际应用问题，解题的关键是准确梳理两次分配的人数差值，抓住“两次人均分得钱数相等”这一核心等量关系，注意不要混淆两次的人数对应关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解这道题的思路是先找题干中的等量关系，再用含未知数的式子表示对应量，最后列方程。首先题干给出的核心等量关系是“第二次每人分得的钱与第一次相同”；其次明确人数关系：设第二次人数为x，第二次比第一次多6人，因此第一次人数是$ x-6 $；再根据“人均分得钱数=总钱数÷参与分配人数”，分别写出两次的人均钱数，令二者相等即可得到方程。
【解析】
第一步：确定第一次分钱的人数
已知第二次分钱人数为$ x $人，且第二次比第一次多6人，因此第一次分钱的人数为$ x - 6 $人。
第二步：分别表示两次每人分得的钱数
第一次总钱数是10元，所以第一次每人分得的钱为$ \frac{10}{x - 6} $元；
第二次总钱数是40元，所以第二次每人分得的钱为$ \frac{40}{x} $元。
第三步：根据等量关系列方程
由两次每人分得的钱数相同，可列方程：$ \frac{10}{x - 6} = \frac{40}{x} $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实际问题列分式方程、等量关系识别
【点评】
本题属于分配类实际应用问题，解题的关键是准确梳理两次分配的人数差值，抓住“两次人均分得钱数相等”这一核心等量关系，注意不要混淆两次的人数对应关系即可正确求解。
【难度系数】
0.7
2. 某班学生乘车去教育基地参观学习，基地距学校 60 km，一部分学生乘甲车先行，出发 30 min 后，另一部分学生乘乙车前往，结果他们同时到达。已知乙车的速度是甲车速度的 1.5 倍，求甲车的速度。设甲车每小时行驶 $ x $ km/h，根据题意，所列方程正确的是（
A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 30$
B.$\frac{60}{1.5x} - \frac{60}{x} = 30$
C.$\frac{60}{1.5x} - \frac{60}{x} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = \frac{1}{2}$
D
）。A.$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 30$
B.$\frac{60}{1.5x} - \frac{60}{x} = 30$
C.$\frac{60}{1.5x} - \frac{60}{x} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = \frac{1}{2}$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程列方程问题，解题核心先抓行程问题基本公式：时间=路程÷速度。首先梳理题干等量关系：①甲车先走30分钟、和乙车同时到达，说明甲车行驶全程的时间比乙车多30分钟；②注意单位统一：速度单位是km/h，因此时间要把30分钟换算为$\frac{1}{2}$小时，可先排除单位不匹配的A、B选项。再分别表示甲、乙两车的行驶时间，用甲车时间减去乙车时间等于时间差$\frac{1}{2}$小时，即可得到正确方程。
【解析】
步骤1：统一时间单位：$30\ \mathrm{min} = \frac{30}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
步骤2：分别表示两车行驶全程的时间：
已知甲车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，行驶60km的时间为$\frac{60}{x}\ \mathrm{h}$；
乙车速度是甲车的1.5倍，即$1.5x\ \mathrm{km/h}$，行驶60km的时间为$\frac{60}{1.5x}\ \mathrm{h}$。
步骤3：根据时间差列方程：
甲车比乙车多用$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，因此列方程为：$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = \frac{1}{2}$。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，分式方程实际应用，单位换算
【点评】
本题是列分式方程的典型基础题，解题关键是准确找到两车的时间差等量关系，尤其要注意单位的统一，避免因单位不匹配错选选项。
【难度系数】
0.75
这是一道行程类分式方程列方程问题，解题核心先抓行程问题基本公式：时间=路程÷速度。首先梳理题干等量关系：①甲车先走30分钟、和乙车同时到达，说明甲车行驶全程的时间比乙车多30分钟；②注意单位统一：速度单位是km/h，因此时间要把30分钟换算为$\frac{1}{2}$小时，可先排除单位不匹配的A、B选项。再分别表示甲、乙两车的行驶时间，用甲车时间减去乙车时间等于时间差$\frac{1}{2}$小时，即可得到正确方程。
【解析】
步骤1：统一时间单位：$30\ \mathrm{min} = \frac{30}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{2}\ \mathrm{h}$。
步骤2：分别表示两车行驶全程的时间：
已知甲车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，行驶60km的时间为$\frac{60}{x}\ \mathrm{h}$；
乙车速度是甲车的1.5倍，即$1.5x\ \mathrm{km/h}$，行驶60km的时间为$\frac{60}{1.5x}\ \mathrm{h}$。
步骤3：根据时间差列方程：
甲车比乙车多用$\frac{1}{2}\ \mathrm{h}$，因此列方程为：$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = \frac{1}{2}$。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，分式方程实际应用，单位换算
【点评】
本题是列分式方程的典型基础题，解题关键是准确找到两车的时间差等量关系，尤其要注意单位的统一，避免因单位不匹配错选选项。
【难度系数】
0.75
3. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 km，乙工程队需要修12 km. 已知乙工程队每个月比甲工程队多修1 km，最终用的时间比甲工程队少半个月. 若设甲工程队每个月修x km，则可列出方程为（
A.$\frac{9}{x} - \frac{12}{x+1} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{12}{x+1} - \frac{9}{x} = \frac{1}{2}$
C.$\frac{9}{x+1} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{12}{x} - \frac{9}{x+1} = \frac{1}{2}$
A
）.A.$\frac{9}{x} - \frac{12}{x+1} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{12}{x+1} - \frac{9}{x} = \frac{1}{2}$
C.$\frac{9}{x+1} - \frac{12}{x} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{12}{x} - \frac{9}{x+1} = \frac{1}{2}$
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程列写题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，先分别表示出甲、乙两队的施工时间，再根据“乙用的时间比甲少半个月”的时间差关系列方程。思考步骤：①先根据设出的甲的效率，写出乙的效率；②分别计算甲乙两队各自的施工时间；③根据时间差的大小关系，确定两个时间做减法的顺序，列出方程。
【解析】
设甲工程队每个月修$x$km，则乙工程队每个月修$(x+1)$km。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲工程队修9km的用时为$\frac{9}{x}$个月，
乙工程队修12km的用时为$\frac{12}{x+1}$个月。
已知乙的用时比甲少$\frac{1}{2}$个月，即甲的用时减去乙的用时等于$\frac{1}{2}$个月，因此可列方程：
$\frac{9}{x} - \frac{12}{x+1} = \frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，解题的关键是找准时间差的等量关系，明确工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，列方程时注意区分两个主体的时间长短，避免减法顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类分式方程列写题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，先分别表示出甲、乙两队的施工时间，再根据“乙用的时间比甲少半个月”的时间差关系列方程。思考步骤：①先根据设出的甲的效率，写出乙的效率；②分别计算甲乙两队各自的施工时间；③根据时间差的大小关系，确定两个时间做减法的顺序，列出方程。
【解析】
设甲工程队每个月修$x$km，则乙工程队每个月修$(x+1)$km。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲工程队修9km的用时为$\frac{9}{x}$个月，
乙工程队修12km的用时为$\frac{12}{x+1}$个月。
已知乙的用时比甲少$\frac{1}{2}$个月，即甲的用时减去乙的用时等于$\frac{1}{2}$个月，因此可列方程：
$\frac{9}{x} - \frac{12}{x+1} = \frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题等量关系
【点评】
本题考查分式方程在工程问题中的实际应用，解题的关键是找准时间差的等量关系，明确工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，列方程时注意区分两个主体的时间长短，避免减法顺序颠倒。
【难度系数】
0.8
