6. 若关于x的分式方程$\frac{m+4}{x-3}=\frac{3x}{x-3}+2$无解，则m的值为（）.

A.2
B.3
C.4
D.5

6. D

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先回忆分式方程无解的两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使得分母为0的未知数的值）。本题中先对原方程去分母得到整式方程，观察发现整式方程是一元一次方程，必然有解，因此只需考虑第二种情况：整式方程的解是原方程的增根。原方程分母为x-3，因此增根为x=3，将x=3代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$（此时$x≠3$），去分母得：
$m+4=3x + 2(x-3)$
化简右边的式子：
$m+4=3x+2x-6$
$m+4=5x-6$
整理得整式方程的解为：
$x=\frac{m+10}{5}$
∵原分式方程无解
∴该解是原方程的增根，即$x=3$（使分母$x-3=0$）
将$x=3$代入$x=\frac{m+10}{5}$得：
$3=\frac{m+10}{5}$
两边同乘5得：$15=m+10$
解得：$m=5$
【答案】
D
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题核心考点是分式方程无解的判定，解题的关键是明确分式方程无解时，要么整式方程无解，要么整式方程的解为原分式方程的增根，求解时不要遗漏增根的情况，此类题是分式方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.6

7. 代数式$\frac{2}{x-4}$与代数式$\frac{3}{x-8}$的值相等，则$x=$.

7. -4

【分析】
首先根据两个代数式值相等的条件列出分式方程，解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解：第一步先确定最简公分母，通过去分母将方程转化为已学的一元一次方程；第二步求解一元一次方程得到未知数的候选值；第三步必须检验候选值是否会让原方程的分母为0，排除增根后得到最终解。
【解析】
根据题意可列方程：
$\frac{2}{x-4}=\frac{3}{x-8}$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)(x-8)$（此时$x≠4$且$x≠8$，否则分母为0无意义），去分母得：
$2(x-8)=3(x-4)$
去括号：
$2x - 16 = 3x - 12$
移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边：
$2x - 3x = -12 + 16$
合并同类项：
$-x = 4$
系数化为1：
$x = -4$
检验：将$x=-4$代入最简公分母$(x-4)(x-8)=(-4-4)×(-4-8)=96≠0$，因此$x=-4$是原方程的解。
【答案】
-4
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础题型，重点考察解分式方程的规范步骤，解题时需注意不要遗漏验根环节，避免将增根当作原方程的解，同时计算去括号、移项时要注意符号变化，减少计算失误。
【难度系数】
0.8

8. 定义一种新运算，当$a ≠ b$时，$a \otimes b = \begin{cases}\dfrac{ab}{a-b} & (a ＞ b), \\ \dfrac{ab}{b-a} & (a ＜ b).\end{cases}$ 若 $2 \otimes x = 4$，则 $x =$ ______ .

8. $\frac{4}{3}$或4

【分析】
本题是定义新运算与分式方程结合的题目，解题时首先要明确新运算的分类规则：运算结果的表达式由两个数的大小关系决定。本题中参与运算的两个数是2和x，需分2＞x、2＜x两种情况（题目规定a≠b，无需考虑x=2的情况），分别将2⊗x转化为对应的分式方程，再按分式方程的解法求解，最后既要检验解是否为分式方程的增根，还要验证解是否符合对应情况的大小前提。
【解析】
由题意得$x≠2$，分两种情况讨论：
1. 当$2＞x$时，根据新运算规则：
$2\otimes x=\dfrac{2x}{2-x}=4$
方程两边同乘$(2-x)$去分母得：
$2x=4(2-x)$
展开得：$2x=8-4x$
移项合并同类项得：$6x=8$
解得：$x=\dfrac{4}{3}$
检验：当$x=\dfrac{4}{3}$时，$2-x=\dfrac{2}{3}≠0$，且$2＞\dfrac{4}{3}$，符合前提，故$x=\dfrac{4}{3}$是有效解。
2. 当$2＜x$时，根据新运算规则：
$2\otimes x=\dfrac{2x}{x-2}=4$
方程两边同乘$(x-2)$去分母得：
$2x=4(x-2)$
展开得：$2x=4x-8$
移项合并同类项得：$-2x=-8$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-2=2≠0$，且$2＜4$，符合前提，故$x=4$是有效解。
综上，$x$的值为$\dfrac{4}{3}$或4。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$或$4$
【知识点】
定义新运算，分式方程求解，分类讨论
【点评】
本题核心是对新定义规则的准确理解，易错点是容易遗漏其中一种情况，或解出结果后忽略验证是否符合大小前提，同时要注意分式方程必须检验增根。
【难度系数】
0.7

9. 解下列分式方程：
(1)
(2) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{4}{x^2-1}=1$
(3)

9. (1) x=1 (2) 无解 (3) x=6

【分析】
解分式方程的核心思路是转化思想，将分式方程转化为整式方程求解，需注意必须检验所得的解是否为增根（即能让原分式分母为0的解，不满足原方程）。具体解题步骤为：①确定所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程得到未知数的值；④将所得解代入最简公分母检验：若最简公分母不为0，该解就是原方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原方程无解。
【解析】
(2)的求解过程：
首先对分母因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$，且分母不为0要求$x≠1，x≠-1$。
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$去分母得：
$(x+1)^2 - 4 = (x+1)(x-1)$
展开计算：
左边：$x^2+2x+1-4=x^2+2x-3$，右边：$x^2-1$
移项合并同类项：
$x^2+2x-3 -x^2 +1=0$
$2x-2=0$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
(1)(3)按照上述分式方程求解步骤，分别解得$x=1$（经检验分母不为0，为原方程解）、$x=6$（经检验分母不为0，为原方程解）。
【答案】
9. (1) $x=1$ (2) 无解 (3) $x=6$
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题重点考查分式方程的求解方法，解题时要准确找到最简公分母去分母，尤其要注意解完必须进行检验，避免误将增根当做原方程的解。
【难度系数】
0.7

10. 阅读下面材料，解答后面的问题.
解分式方程：$\frac{x-1}{x} - \frac{4x}{x-1} = 0$.
解：设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程化为$y - \frac{4}{y} = 0$，方程两边同时乘$y$，得$y^2 -4=0$，
解得$y=\pm2$. 检验：当$y=\pm2$时，$y≠0$，$\therefore y=\pm2$是分式方程的解.
当$y=2$时，$\frac{x-1}{x}=2$，解得$x=-1$；当$y=-2$时，$\frac{x-1}{x}=-2$，解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验，$x=-1$和$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解，所以原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为换元法. 用换元法解$\frac{x+1}{2x-1} - \frac{2x-1}{x+1} =0$.

设$y=\frac{x+1}{2x-1}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$. 方程两边同时乘$y$，得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$. 检验：$y=\pm1$时，$\frac{1}{y}≠0$，$\therefore y=\pm1$是分式方程的解. 当$y=1$时，$\frac{x+1}{2x-1}=1$，解得$x=2$；当$y=-1$时，$\frac{x+1}{2x-1}=-1$，解得$x=0$. 当$x=2$，$x=0$时，$2x-1≠0$，$x+1≠0$，所以它们都是原分式方程的解. 所以原分式方程的解为$x=2$或$x=0$

【分析】
观察待解分式方程，可发现两个分式$\frac{x+1}{2x-1}$与$\frac{2x-1}{x+1}$互为倒数，符合换元法的适用条件。解题时先设$y=\frac{x+1}{2x-1}$，将原方程转化为仅含y的简单分式方程，先求出y的取值，再将y的值代回换元式求解x，最后对x进行检验，排除增根即可得到原方程的解。
【解析】
设$y=\frac{x+1}{2x-1}$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$。
方程两边同时乘$y$，得$y^2-1=0$，解得$y=\pm1$。
检验：当$y=\pm1$时，$y≠0$，$\therefore y=\pm1$是该分式方程的解。
当$y=1$时，$\frac{x+1}{2x-1}=1$，方程两边乘$2x-1$得$x+1=2x-1$，解得$x=2$；
当$y=-1$时，$\frac{x+1}{2x-1}=-1$，方程两边乘$2x-1$得$x+1=-2x+1$，解得$x=0$。
检验：当$x=2$时，$2x-1=3≠0$，$x+1=3≠0$；当$x=0$时，$2x-1=-1≠0$，$x+1=1≠0$，二者均为原分式方程的解。
【答案】
原分式方程的解为$x=2$或$x=0$
【知识点】
换元法、分式方程求解、分式方程验根
【点评】
本题考查换元法在分式方程求解中的应用，通过换元可简化结构特殊的分式方程，降低解题难度，解题时需牢记分式方程无论用什么方法求解，最后都必须验根，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7

11. 方程$\frac{2}{x - 6} + \frac{1}{x} = 0$的解为。

11. x=2

【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路遵循分式方程的常规求解步骤：第一步先确定各分母的最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程；第二步求解转化后的整式方程；第三步对整式方程的解进行检验，判断是否为原分式方程的增根，最终得到原方程的解。
【解析】
首先明确分母不为0的前提：$x ≠ 0$且$x ≠ 6$。
1. 去分母：方程两边同时乘最简公分母$x(x-6)$，消去分母得：
$2x + (x - 6) = 0$
2. 解一元一次方程：
去括号得：$2x + x - 6 = 0$
合并同类项得：$3x - 6 = 0$
移项得：$3x = 6$
系数化为1得：$x = 2$
3. 检验：把$x=2$代入最简公分母$x(x-6)$，得$2×(2-6)=-8 ≠ 0$，因此$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=2$
【知识点】
分式方程解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，重点考察分式方程的求解流程，需要注意去分母时不要漏乘项，且解分式方程必须进行验根，排除增根的情况。
【难度系数】
0.85

12. 若点Q（x，y）满足$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标。

12. (2，－1)（答案不唯一，满足$x+y=1$且$x≠0$，$y≠0$即可）

【分析】
这是新定义类题目，解题思路如下：首先要先明确等式是分式方程，第一步需要考虑分式有意义的条件，即分母不能为0，因此x≠0，y≠0；接下来要把分式方程转化为整式方程方便找x和y的关系，给等式两边同时乘最简公分母xy消去分母，化简后即可得到x和y的等量关系；最后在符合限制条件的前提下，任意取一组满足等量关系的x、y值，就能得到“美好点”的坐标。
【解析】
1. 要使分式$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{xy}$有意义，需满足$x≠0$，$y≠0$；
2. 对等式$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$两边同时乘以$xy$（$xy≠0$），去分母得：$y+x=1$，即$x+y=1$；
3. 选取满足$x+y=1$且$x≠0$、$y≠0$的一组值即可，例如令$x=2$，则$y=1-2=-1$，对应点的坐标为$(2,-1)$。
【答案】
$(2，－1)$（答案不唯一，满足$x+y=1$且$x≠0$，$y≠0$即可）
【知识点】
分式有意义的条件、分式方程化简、点的坐标
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是先利用分式的性质化简新定义对应的等式，注意不要遗漏分式分母不为0的限制条件，再代入符合要求的数值即可得到答案。
【难度系数】
0.8