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1. 分母中含有
未知数
的方程叫作分式方程。答案
1. 未知数
解析
【分析】
这道题考查分式方程的基本定义，解题时只需回忆分式方程的核心判定特征：分式方程和整式方程的关键区别就在于分母中是否含有未知数，直接对应定义内容补充空缺即可。
【解析】
根据分式方程的标准定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此空缺处应填“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对基础定义的掌握程度，牢记核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式方程的基本定义，解题时只需回忆分式方程的核心判定特征：分式方程和整式方程的关键区别就在于分母中是否含有未知数，直接对应定义内容补充空缺即可。
【解析】
根据分式方程的标准定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此空缺处应填“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对基础定义的掌握程度，牢记核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程的基本思路是将分式方程化成
整式方程
，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母
。答案
2. 整式方程 最简公分母
解析
【分析】
本题是解分式方程相关的基础概念题，解题时可结合转化思想思考：我们已经掌握整式方程的解法，因此解分式方程的核心是把陌生的分式方程转化为熟悉的整式方程求解；要消去分式的分母，需要在方程两边乘所有分母的公共倍式，也就是最简公分母，这样就能一次性去掉所有分母，完成转化。
【解析】
解分式方程的基本思路是利用转化思想，将分式方程化成整式方程，方便后续求解；具体的转化做法是“去分母”，即方程两边乘各分母的最简公分母，以此消去所有分式的分母，将分式方程转化为整式方程。
【答案】
整式方程；最简公分母
【知识点】
解分式方程思路；最简公分母
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查解分式方程的核心思路和基础操作的识记，是分式方程模块的入门知识点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题是解分式方程相关的基础概念题，解题时可结合转化思想思考：我们已经掌握整式方程的解法，因此解分式方程的核心是把陌生的分式方程转化为熟悉的整式方程求解；要消去分式的分母，需要在方程两边乘所有分母的公共倍式，也就是最简公分母，这样就能一次性去掉所有分母，完成转化。
【解析】
解分式方程的基本思路是利用转化思想，将分式方程化成整式方程，方便后续求解；具体的转化做法是“去分母”，即方程两边乘各分母的最简公分母，以此消去所有分式的分母，将分式方程转化为整式方程。
【答案】
整式方程；最简公分母
【知识点】
解分式方程思路；最简公分母
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查解分式方程的核心思路和基础操作的识记，是分式方程模块的入门知识点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. 检验的方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解
否则，这个解
则整式方程的解
是
原分式方程的解；否则，这个解
不是
原分式方程的解。答案
3. 是 不是
解析
【分析】
解题时要先明确分式方程的求解逻辑：分式有意义的前提是分母不为0，解分式方程时我们通过去分母将其转化为整式方程求解，该过程可能会产生使原分式分母为0的增根，因此需要检验。最简公分母是原分式方程所有分母的最小公倍式，因此只要将整式方程的解代入最简公分母判断其是否为0即可：若最简公分母不为0，说明解不会让任何分母为0，符合分式有意义的要求；若最简公分母为0，说明解会让分母为0，原分式无意义。
【解析】
解分式方程时，去分母的操作可能扩大未知数的取值范围，产生增根：
1. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，说明该解不会使原分式方程的任意分母为0，满足分式有意义的条件，因此这个解是原分式方程的解；
2. 若最简公分母的值为0，说明该解会使原分式方程的分母为0，原分式无意义，因此这个解不是原分式方程的解。
【答案】
是；不是
【知识点】
分式方程的检验；增根的概念
【点评】
本题考查分式方程检验的基本规则，是解分式方程的必备基础知识点，掌握检验的核心逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时要先明确分式方程的求解逻辑：分式有意义的前提是分母不为0，解分式方程时我们通过去分母将其转化为整式方程求解，该过程可能会产生使原分式分母为0的增根，因此需要检验。最简公分母是原分式方程所有分母的最小公倍式，因此只要将整式方程的解代入最简公分母判断其是否为0即可：若最简公分母不为0，说明解不会让任何分母为0，符合分式有意义的要求；若最简公分母为0，说明解会让分母为0，原分式无意义。
【解析】
解分式方程时，去分母的操作可能扩大未知数的取值范围，产生增根：
1. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，说明该解不会使原分式方程的任意分母为0，满足分式有意义的条件，因此这个解是原分式方程的解；
2. 若最简公分母的值为0，说明该解会使原分式方程的分母为0，原分式无意义，因此这个解不是原分式方程的解。
【答案】
是；不是
【知识点】
分式方程的检验；增根的概念
【点评】
本题考查分式方程检验的基本规则，是解分式方程的必备基础知识点，掌握检验的核心逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程是分式方程的是（
A.$\frac{2+x}{5}=\frac{3+x}{6}$
B.$\frac{x}{2}-3=\frac{x}{3}$
C.$\frac{x-1}{7+x}=0$
D.$\frac{3}{5}x=1$
C
）。A.$\frac{2+x}{5}=\frac{3+x}{6}$
B.$\frac{x}{2}-3=\frac{x}{3}$
C.$\frac{x-1}{7+x}=0$
D.$\frac{3}{5}x=1$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程是不是分式方程，首先要牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一核查每个选项的方程分母中是否包含未知数，即可快速得出结果。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐个分析选项：
选项A：方程$\frac{2+x}{5}=\frac{3+x}{6}$的分母是5和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
选项B：方程$\frac{x}{2}-3=\frac{x}{3}$的分母是2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
选项C：方程$\frac{x-1}{7+x}=0$的分母是$7+x$，含有未知数$x$，满足分式方程的定义，符合要求；
选项D：方程$\frac{3}{5}x=1$的分母是5，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对分式方程定义的理解与应用，解题时只要抓住“分母含未知数”这一核心判断标准，就能快速准确作答，注意不要将分母为常数的整式方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是不是分式方程，首先要牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一核查每个选项的方程分母中是否包含未知数，即可快速得出结果。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐个分析选项：
选项A：方程$\frac{2+x}{5}=\frac{3+x}{6}$的分母是5和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
选项B：方程$\frac{x}{2}-3=\frac{x}{3}$的分母是2和3，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
选项C：方程$\frac{x-1}{7+x}=0$的分母是$7+x$，含有未知数$x$，满足分式方程的定义，符合要求；
选项D：方程$\frac{3}{5}x=1$的分母是5，为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对分式方程定义的理解与应用，解题时只要抓住“分母含未知数”这一核心判断标准，就能快速准确作答，注意不要将分母为常数的整式方程误判为分式方程。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程$\frac{x}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$，去分母后得到（
A.$x=2+3$
B.$x=2(x-1)+3$
C.$x=3(x-1)+2$
D.$x(x-1)=2+3(x-1)$
B
）.A.$x=2+3$
B.$x=2(x-1)+3$
C.$x=3(x-1)+2$
D.$x(x-1)=2+3(x-1)$
答案
2. B
解析
【分析】
解这道题需掌握分式方程去分母的方法：首先找到所有分式的最简公分母，再根据等式的性质给方程每一项都乘最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项。本题中两个分式的分母都是$x-1$，因此最简公分母为$x-1$，给所有项乘该公分母即可得到去分母后的整式方程。
【解析】
第一步：确定最简公分母为$x-1$；
第二步：根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘以$x-1$：
左边$\frac{x}{x-1}×(x-1)=x$，
右边第一项$2×(x-1)=2(x-1)$，右边第二项$\frac{3}{x-1}×(x-1)=3$；
第三步：整理得到去分母后的方程为$x=2(x-1)+3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，核心考察去分母的操作规范，易错点是容易漏乘不含分母的常数项，牢记“每一项都要乘最简公分母”的原则即可正确解题。
【难度系数】
0.8
解这道题需掌握分式方程去分母的方法：首先找到所有分式的最简公分母，再根据等式的性质给方程每一项都乘最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项。本题中两个分式的分母都是$x-1$，因此最简公分母为$x-1$，给所有项乘该公分母即可得到去分母后的整式方程。
【解析】
第一步：确定最简公分母为$x-1$；
第二步：根据等式的性质，将方程左右两边的每一项同时乘以$x-1$：
左边$\frac{x}{x-1}×(x-1)=x$，
右边第一项$2×(x-1)=2(x-1)$，右边第二项$\frac{3}{x-1}×(x-1)=3$；
第三步：整理得到去分母后的方程为$x=2(x-1)+3$。
【答案】
B
【知识点】
分式方程去分母；等式的基本性质
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，核心考察去分母的操作规范，易错点是容易漏乘不含分母的常数项，牢记“每一项都要乘最简公分母”的原则即可正确解题。
【难度系数】
0.8
3. 解分式方程$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}$分为以下四步，其中错误的一步是（
A.方程两边分式的最简公分母是$(x+1)(x-1)$
B.方程两边都乘$(x+1)(x-1)$，得整式方程$2(x-1)+3(x+1)=6$
C.解这个整式方程，得$x=1$
D.原方程的解为$x=1$
D
）。A.方程两边分式的最简公分母是$(x+1)(x-1)$
B.方程两边都乘$(x+1)(x-1)$，得整式方程$2(x-1)+3(x+1)=6$
C.解这个整式方程，得$x=1$
D.原方程的解为$x=1$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断解分式方程的步骤哪步错误，需按照分式方程的求解逻辑逐步验证：首先确定最简公分母是否正确，再看去分母得到的整式方程是否正确，接着验证整式方程的求解是否正确，最后注意分式方程必须验根，增根需要舍去，不能作为原方程的解。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
1. 选项A：因为$x^2-1$利用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，所以方程中三个分式的最简公分母是$(x+1)(x-1)$，A选项正确。
2. 选项B：方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，约去各分母后，可得整式方程$2(x-1)+3(x+1)=6$，B选项正确。
3. 选项C：解上述整式方程：
展开括号得：$2x - 2 + 3x + 3 = 6$
合并同类项得：$5x + 1 = 6$
移项计算得：$5x = 5$，解得$x=1$，C选项正确。
4. 选项D：分式方程求解后必须验根，将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，此时原方程的分母为0，分式无意义，因此$x=1$是增根，原分式方程无解，不能说原方程的解为$x=1$，D选项错误。
综上，错误的一步是D。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定，分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解步骤，易错点是容易忽略分式方程的验根步骤，直接将整式方程的解当作分式方程的解，需要牢记增根不满足原分式方程，必须舍去。
【难度系数】
0.7
要判断解分式方程的步骤哪步错误，需按照分式方程的求解逻辑逐步验证：首先确定最简公分母是否正确，再看去分母得到的整式方程是否正确，接着验证整式方程的求解是否正确，最后注意分式方程必须验根，增根需要舍去，不能作为原方程的解。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
1. 选项A：因为$x^2-1$利用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，所以方程中三个分式的最简公分母是$(x+1)(x-1)$，A选项正确。
2. 选项B：方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，约去各分母后，可得整式方程$2(x-1)+3(x+1)=6$，B选项正确。
3. 选项C：解上述整式方程：
展开括号得：$2x - 2 + 3x + 3 = 6$
合并同类项得：$5x + 1 = 6$
移项计算得：$5x = 5$，解得$x=1$，C选项正确。
4. 选项D：分式方程求解后必须验根，将$x=1$代入最简公分母$(x+1)(x-1)$，得$(1+1)×(1-1)=0$，此时原方程的分母为0，分式无意义，因此$x=1$是增根，原分式方程无解，不能说原方程的解为$x=1$，D选项错误。
综上，错误的一步是D。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定，分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解步骤，易错点是容易忽略分式方程的验根步骤，直接将整式方程的解当作分式方程的解，需要牢记增根不满足原分式方程，必须舍去。
【难度系数】
0.7
4. 分式方程$\frac{2}{x}+\frac{a}{x-1}=2$的解为$x=2$，则$a$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. A
解析
【分析】
已知分式方程的解，根据方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，我们可以直接将x=2代入原分式方程，把原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
因为x=2是分式方程$\frac{2}{x}+\frac{a}{x-1}=2$的解，所以将x=2代入该方程，等式成立：
$\frac{2}{2}+\frac{a}{2-1}=2$
化简得：
$1 + a = 2$
移项解得：
$a=1$
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程的解
2.解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查分式方程解的应用，将已知解代入原方程求参数是这类参数求解问题的常用方法，熟练掌握方程的解的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
已知分式方程的解，根据方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，我们可以直接将x=2代入原分式方程，把原方程转化为只含未知数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出a的值。
【解析】
因为x=2是分式方程$\frac{2}{x}+\frac{a}{x-1}=2$的解，所以将x=2代入该方程，等式成立：
$\frac{2}{2}+\frac{a}{2-1}=2$
化简得：
$1 + a = 2$
移项解得：
$a=1$
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程的解
2.解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查分式方程解的应用，将已知解代入原方程求参数是这类参数求解问题的常用方法，熟练掌握方程的解的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 若关于$x$的方程$\frac{m}{x+1} - \frac{2}{x+1}=1$的解为负数，则$m$的取值范围是（
A.$m＜2$
B.$m＜3$
C.$m＜2$且$m≠1$
D.$m＜3$且$m≠2$
D
）.A.$m＜2$
B.$m＜3$
C.$m＜2$且$m≠1$
D.$m＜3$且$m≠2$
答案
5. D
解析
【分析】
这是一道已知分式方程解的符号求参数取值范围的题目，解题可按两步推进：第一步先将分式方程化为整式方程，求出用参数m表示的方程的解；第二步结合“解为负数”“分式方程分母不为0（避免出现增根）”两个限制条件，列不等式求解m的取值范围即可。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$x+1$，注意隐含条件$x+1≠0$即$x≠-1$，得：
$m - 2 = x + 1$
移项整理得：$x = m - 3$
∵ 方程的解为负数
∴ $x ＜ 0$，即$m - 3 ＜ 0$，解得$m ＜ 3$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ -1$
∴ $m - 3 ≠ -1$，解得$m ≠ 2$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 3$且$m ≠ 2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数求解类的常见题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏判$m≠2$的限制，解这类问题时要牢记需检验增根的情况。
【难度系数】
0.7
这是一道已知分式方程解的符号求参数取值范围的题目，解题可按两步推进：第一步先将分式方程化为整式方程，求出用参数m表示的方程的解；第二步结合“解为负数”“分式方程分母不为0（避免出现增根）”两个限制条件，列不等式求解m的取值范围即可。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$x+1$，注意隐含条件$x+1≠0$即$x≠-1$，得：
$m - 2 = x + 1$
移项整理得：$x = m - 3$
∵ 方程的解为负数
∴ $x ＜ 0$，即$m - 3 ＜ 0$，解得$m ＜ 3$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ -1$
∴ $m - 3 ≠ -1$，解得$m ≠ 2$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 3$且$m ≠ 2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数求解类的常见题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的隐含条件，漏判$m≠2$的限制，解这类问题时要牢记需检验增根的情况。
【难度系数】
0.7
