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8. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的长为0.000 6 m，宽为0.000 33 m，它的果实像一粒微小的无花果，质量只有0.000 000 07 g.
（1）用科学记数法表示上述三个数据.
（2）一个橘子的质量约为70 g，这个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
（1）用科学记数法表示上述三个数据.
（2）一个橘子的质量约为70 g，这个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚出水浮萍果实的质量？
答案
(1) $6×10^{-4}$ $3.3×10^{-4}$ $7×10^{-8}$ (2) $\frac{70}{7×10^{-8}}=\frac{7×10}{7×10^{-8}}=10^9$（粒）
解析
【分析】
（1）要解决用科学记数法表示较小数的问题，首先明确科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤a＜10$，$n$等于原数左起第一个非零数字前面所有0的个数，对应三个数据分别确定$a$和$n$的值即可。
（2）求橘子质量相当于多少粒出水浮萍果实的质量，本质是求70g是单个果实质量的多少倍，用除法计算，运算时结合整数指数幂的运算法则简化计算即可。
【解析】
（1）对于0.0006，左起第一个非零数字是6，前面共有4个0，因此$0.0006=6×10^{-4}$；
对于0.00033，左起第一个非零数字是3，前面共有4个0，因此$0.00033=3.3×10^{-4}$；
对于0.00000007，左起第一个非零数字是7，前面共有8个0，因此$0.00000007=7×10^{-8}$。
（2）已知单个出水浮萍果实质量为$7×10^{-8}g$，橘子质量为70g，果实总数量列式计算如下：
$\frac{70}{7×10^{-8}}=\frac{7×10}{7×10^{-8}}=10^{1-(-8)}=10^9$（粒）
【答案】
（1）$6×10^{-4}$，$3.3×10^{-4}$，$7×10^{-8}$
（2）$10^9$粒
【知识点】
科学记数法；整数指数幂运算；有理数除法应用
【点评】
本题结合生活实际考查基础知识点的应用，解题关键是掌握科学记数法的表示规则和整数指数幂的运算法则，注意数值转换的准确性即可顺利求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）要解决用科学记数法表示较小数的问题，首先明确科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤a＜10$，$n$等于原数左起第一个非零数字前面所有0的个数，对应三个数据分别确定$a$和$n$的值即可。
（2）求橘子质量相当于多少粒出水浮萍果实的质量，本质是求70g是单个果实质量的多少倍，用除法计算，运算时结合整数指数幂的运算法则简化计算即可。
【解析】
（1）对于0.0006，左起第一个非零数字是6，前面共有4个0，因此$0.0006=6×10^{-4}$；
对于0.00033，左起第一个非零数字是3，前面共有4个0，因此$0.00033=3.3×10^{-4}$；
对于0.00000007，左起第一个非零数字是7，前面共有8个0，因此$0.00000007=7×10^{-8}$。
（2）已知单个出水浮萍果实质量为$7×10^{-8}g$，橘子质量为70g，果实总数量列式计算如下：
$\frac{70}{7×10^{-8}}=\frac{7×10}{7×10^{-8}}=10^{1-(-8)}=10^9$（粒）
【答案】
（1）$6×10^{-4}$，$3.3×10^{-4}$，$7×10^{-8}$
（2）$10^9$粒
【知识点】
科学记数法；整数指数幂运算；有理数除法应用
【点评】
本题结合生活实际考查基础知识点的应用，解题关键是掌握科学记数法的表示规则和整数指数幂的运算法则，注意数值转换的准确性即可顺利求解，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
9. 阅读材料，解答下列问题.
我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等. 小学阶段，把分子比分母小的分数叫作真分数. 类似地，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式. 对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：$\frac{x+1}{x-1}=$
$\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$；$\frac{x^2}{x-1}=$
$\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=$
$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.$
（1）下列分式中，属于真分式的是
A. $\frac{2023}{x}$
B. $\frac{x-1}{2x+1}$
C. $\frac{x^2}{x-2}$
D. $\frac{x^2+1}{x^2-1}$
（2）将假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$化成整式和真分式的和的形式.
我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等. 小学阶段，把分子比分母小的分数叫作真分数. 类似地，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式. 对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：$\frac{x+1}{x-1}=$
$\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$；$\frac{x^2}{x-1}=$
$\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=$
$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.$
（1）下列分式中，属于真分式的是
A
.A. $\frac{2023}{x}$
B. $\frac{x-1}{2x+1}$
C. $\frac{x^2}{x-2}$
D. $\frac{x^2+1}{x^2-1}$
（2）将假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$化成整式和真分式的和的形式.
答案
(1) A (2) $\frac{m^2+2m}{m-1}=\frac{m^2-1+2m-2+3}{m-1}=\frac{(m+1)(m-1)}{m-1}+\frac{2(m-1)}{m-1}+\frac{3}{m-1}=m+1+2+\frac{3}{m-1}=m+3+\frac{3}{m-1}$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：先明确题目给出的真分式定义：只含有一个字母的分式中，分子的次数小于分母的次数的分式是真分式。我们只需要分别计算每个选项中分子、分母的次数，对比大小即可判断。
再解决第(2)问：参考题目给出的假分式拆分方法，我们可以把分子凑成含有分母因式的式子，再拆分成分式的和，分别化简后就能得到整式与真分式的和的形式。
【解析】
（1）根据真分式的定义逐一判断：
A选项：分子是常数，次数为0，分母$x$的次数为1，$0＜1$，属于真分式；
B选项：分子$x-1$的次数为1，分母$2x+1$的次数为1，次数相等，不属于真分式；
C选项：分子$x^2$的次数为2，分母$x-2$的次数为1，分子次数更大，不属于真分式；
D选项：分子$x^2+1$的次数为2，分母$x^2-1$的次数为2，次数相等，不属于真分式。
故选A。
（2）对假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$进行拆分：
$\frac{m^2+2m}{m-1}=\frac{m^2-1+2m-2+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)+2(m-1)+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m-1}+\frac{2(m-1)}{m-1}+\frac{3}{m-1}$
$=m+1+2+\frac{3}{m-1}$
$=m+3+\frac{3}{m-1}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$；(2) $\boldsymbol{m+3+\dfrac{3}{m-1}}$
【知识点】
真分式的概念；分式的化简；因式分解的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是读懂题目给出的新定义，结合例题的拆分方法完成运算，既考查对新概念的理解能力，也考查分式化简的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：先明确题目给出的真分式定义：只含有一个字母的分式中，分子的次数小于分母的次数的分式是真分式。我们只需要分别计算每个选项中分子、分母的次数，对比大小即可判断。
再解决第(2)问：参考题目给出的假分式拆分方法，我们可以把分子凑成含有分母因式的式子，再拆分成分式的和，分别化简后就能得到整式与真分式的和的形式。
【解析】
（1）根据真分式的定义逐一判断：
A选项：分子是常数，次数为0，分母$x$的次数为1，$0＜1$，属于真分式；
B选项：分子$x-1$的次数为1，分母$2x+1$的次数为1，次数相等，不属于真分式；
C选项：分子$x^2$的次数为2，分母$x-2$的次数为1，分子次数更大，不属于真分式；
D选项：分子$x^2+1$的次数为2，分母$x^2-1$的次数为2，次数相等，不属于真分式。
故选A。
（2）对假分式$\frac{m^2+2m}{m-1}$进行拆分：
$\frac{m^2+2m}{m-1}=\frac{m^2-1+2m-2+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)+2(m-1)+3}{m-1}$
$=\frac{(m+1)(m-1)}{m-1}+\frac{2(m-1)}{m-1}+\frac{3}{m-1}$
$=m+1+2+\frac{3}{m-1}$
$=m+3+\frac{3}{m-1}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{A}$；(2) $\boldsymbol{m+3+\dfrac{3}{m-1}}$
【知识点】
真分式的概念；分式的化简；因式分解的应用
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是读懂题目给出的新定义，结合例题的拆分方法完成运算，既考查对新概念的理解能力，也考查分式化简的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
10. 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”。“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写。一皮秒仅相当于一万亿分之一秒。400皮秒用科学记数法表示为（
A.$4× 10^{-10}$秒
B.$4× 10^{-11}$秒
C.$4× 10^{-12}$秒
D.$40× 10^{-12}$秒
A
）。A.$4× 10^{-10}$秒
B.$4× 10^{-11}$秒
C.$4× 10^{-12}$秒
D.$40× 10^{-12}$秒
答案
10. A
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，解题思路如下：首先根据题目给出的皮秒与秒的换算关系，得出1皮秒对应的秒数的科学记数法形式；再计算400皮秒对应的秒数；最后根据科学记数法的规范（形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为负整数）调整表达式，匹配正确选项即可。
【解析】
解：由题意可知，1皮秒=一万亿分之一秒=$\frac{1}{10^{12}}$秒$=1×10^{-12}$秒。
则400皮秒$=400×10^{-12}$秒，
根据科学记数法的要求，$a$需满足$1≤ a＜10$，将400改写为$4×10^2$，结合同底数幂的运算法则计算得：
$400×10^{-12}$秒$=4×10^2×10^{-12}$秒$=4×10^{2-12}$秒$=4×10^{-10}$秒。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法，负整数指数幂，单位换算
【点评】
本题结合科技热点背景考查科学记数法的实际应用，属于基础题，解题的关键是准确掌握科学记数法的书写规范，其中$a$的取值范围是常见的易错点。
【难度系数】
0.8
本题考查用科学记数法表示较小的数，解题思路如下：首先根据题目给出的皮秒与秒的换算关系，得出1皮秒对应的秒数的科学记数法形式；再计算400皮秒对应的秒数；最后根据科学记数法的规范（形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为负整数）调整表达式，匹配正确选项即可。
【解析】
解：由题意可知，1皮秒=一万亿分之一秒=$\frac{1}{10^{12}}$秒$=1×10^{-12}$秒。
则400皮秒$=400×10^{-12}$秒，
根据科学记数法的要求，$a$需满足$1≤ a＜10$，将400改写为$4×10^2$，结合同底数幂的运算法则计算得：
$400×10^{-12}$秒$=4×10^2×10^{-12}$秒$=4×10^{2-12}$秒$=4×10^{-10}$秒。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法，负整数指数幂，单位换算
【点评】
本题结合科技热点背景考查科学记数法的实际应用，属于基础题，解题的关键是准确掌握科学记数法的书写规范，其中$a$的取值范围是常见的易错点。
【难度系数】
0.8
11. 已知我国通过科技研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于$1×10^{-12}$秒，那么这个工具1秒可以擦除
$2.5×10^9$
次（用科学记数法表示）。答案
11. $2.5×10^9$
解析
【分析】
要计算1秒可以擦除的次数，思路如下：第一步，先将单次擦除的时间单位从皮秒换算为秒；第二步，根据“次数=总时间÷单次擦除时间”列出除法算式；第三步，运用负整数指数幂的运算法则计算结果，最后将结果调整为符合规范的科学记数法形式（即a×10ⁿ，其中1≤|a|＜10）。
【解析】
首先换算单次擦除的时间：
已知1皮秒=1×10⁻¹²秒，因此400皮秒=400×1×10⁻¹²秒=4×10⁻¹⁰秒。
再计算1秒可擦除的次数：
次数=1秒÷单次擦除时间=1÷(4×10⁻¹⁰)
根据除法运算规则拆分计算：
1÷4=0.25，1÷10⁻¹⁰=10¹⁰
因此原式=0.25×10¹⁰，调整为标准科学记数法得2.5×10⁹。
【答案】
$2.5×10^9$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 科学记数法
3. 单位换算
【点评】
本题结合科技热点场景考查幂的运算应用，难度不高，解题的核心是正确完成单位换算，熟练掌握科学记数法的书写规范和整数指数幂的运算规则，注意最终结果要符合科学记数法的要求。
【难度系数】
0.7
要计算1秒可以擦除的次数，思路如下：第一步，先将单次擦除的时间单位从皮秒换算为秒；第二步，根据“次数=总时间÷单次擦除时间”列出除法算式；第三步，运用负整数指数幂的运算法则计算结果，最后将结果调整为符合规范的科学记数法形式（即a×10ⁿ，其中1≤|a|＜10）。
【解析】
首先换算单次擦除的时间：
已知1皮秒=1×10⁻¹²秒，因此400皮秒=400×1×10⁻¹²秒=4×10⁻¹⁰秒。
再计算1秒可擦除的次数：
次数=1秒÷单次擦除时间=1÷(4×10⁻¹⁰)
根据除法运算规则拆分计算：
1÷4=0.25，1÷10⁻¹⁰=10¹⁰
因此原式=0.25×10¹⁰，调整为标准科学记数法得2.5×10⁹。
【答案】
$2.5×10^9$
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 科学记数法
3. 单位换算
【点评】
本题结合科技热点场景考查幂的运算应用，难度不高，解题的核心是正确完成单位换算，熟练掌握科学记数法的书写规范和整数指数幂的运算规则，注意最终结果要符合科学记数法的要求。
【难度系数】
0.7
