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4. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行70 km的时间与逆水航行54 km的时间相同. 已知水流的速度是3 km/h，设轮船在静水中航行的速度为x km/h，则可列分式方程为
$\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$
.答案
4. $\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$
解析
【分析】
这是流水行船类的行程问题，解题的核心是抓住“顺水航行70km的时间与逆水航行54km的时间相同”这一等量关系。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，再明确流水行船的速度规律：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，分别表示出顺水、逆水航行的时间，令二者相等即可列出方程。
【解析】
解：已知轮船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为3 km/h，
则轮船的顺水速度为$(x+3)$ km/h，逆水速度为$(x-3)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，可得：
顺水航行70 km的时间为$\frac{70}{x+3}$ h，
逆水航行54 km的时间为$\frac{54}{x-3}$ h，
由两个时间相等，可列方程：$\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$。
【答案】
$\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$
【知识点】
1. 流水行船问题
2. 分式方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理流水行船的速度关系，找准题目中的时间等量关系，列方程时注意不要混淆顺水和逆水的速度表达式。
【难度系数】
0.8
这是流水行船类的行程问题，解题的核心是抓住“顺水航行70km的时间与逆水航行54km的时间相同”这一等量关系。首先回忆行程问题基本公式：时间=路程÷速度，再明确流水行船的速度规律：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，分别表示出顺水、逆水航行的时间，令二者相等即可列出方程。
【解析】
解：已知轮船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为3 km/h，
则轮船的顺水速度为$(x+3)$ km/h，逆水速度为$(x-3)$ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，可得：
顺水航行70 km的时间为$\frac{70}{x+3}$ h，
逆水航行54 km的时间为$\frac{54}{x-3}$ h，
由两个时间相等，可列方程：$\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$。
【答案】
$\frac{70}{x+3}=\frac{54}{x-3}$
【知识点】
1. 流水行船问题
2. 分式方程的应用
3. 行程问题公式
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确梳理流水行船的速度关系，找准题目中的时间等量关系，列方程时注意不要混淆顺水和逆水的速度表达式。
【难度系数】
0.8
5. 某瓶装饮料每箱价格是26元，某商店对该饮料进行“买一送三”的促销活动，即买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，该品牌饮料每瓶多少元？设该品牌饮料每瓶是x元，则可列方程为
$\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
。答案
5. $\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
解析
【分析】
解题时首先要明确核心等量关系：花费同样26元，促销时买到的饮料瓶数比原价购买时多3瓶。其次回忆“数量=总价÷单价”的基本公式：原价每瓶x元时，可求出26元原价购买的瓶数；促销后每瓶价格为(x-0.6)元，可求出26元促销时购买的瓶数。最后用促销瓶数减去原价瓶数等于3，即可列出方程。
【解析】
解：设该品牌饮料每瓶原价是x元。
① 原价购买时，26元可购买的饮料瓶数为：$\frac{26}{x}$瓶；
② 促销后每瓶价格为$(x-0.6)$元，同样花26元可购买的饮料瓶数为：$\frac{26}{x-0.6}$瓶；
③ 根据“促销时比原价多买3瓶”的等量关系，可列方程：
$\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
【答案】
$\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
【知识点】
1. 分式方程应用
2. 销售问题等量关系
3. 数量=总价÷单价
【点评】
本题属于分式方程实际应用的常规题型，解题核心是准确抓住“同金额下促销比原价多买3瓶”的等量关系，需注意区分两个分式的前后顺序，避免因搞反数量大小关系列错方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确核心等量关系：花费同样26元，促销时买到的饮料瓶数比原价购买时多3瓶。其次回忆“数量=总价÷单价”的基本公式：原价每瓶x元时，可求出26元原价购买的瓶数；促销后每瓶价格为(x-0.6)元，可求出26元促销时购买的瓶数。最后用促销瓶数减去原价瓶数等于3，即可列出方程。
【解析】
解：设该品牌饮料每瓶原价是x元。
① 原价购买时，26元可购买的饮料瓶数为：$\frac{26}{x}$瓶；
② 促销后每瓶价格为$(x-0.6)$元，同样花26元可购买的饮料瓶数为：$\frac{26}{x-0.6}$瓶；
③ 根据“促销时比原价多买3瓶”的等量关系，可列方程：
$\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
【答案】
$\frac{26}{x-0.6}-\frac{26}{x}=3$
【知识点】
1. 分式方程应用
2. 销售问题等量关系
3. 数量=总价÷单价
【点评】
本题属于分式方程实际应用的常规题型，解题核心是准确抓住“同金额下促销比原价多买3瓶”的等量关系，需注意区分两个分式的前后顺序，避免因搞反数量大小关系列错方程。
【难度系数】
0.7
6. A地、B地间有一条自行车道，小明从A地出发骑行去B地，小军从B地出发骑行去A地.
（1）小明和小军相约上午8时同时从各自出发地出发，匀速骑行，到上午10时，他们相距30 km，到中午12时，两人又相距30 km. 求A，B两地间的自行车道的距离.
（2）因骑自行车的市民越来越多，政府决定重新改建一条自行车道，改建的自行车道比A，B两地间原自行车道的距离多30 km. 某工程队采用了更加先进的修路技术和修路机器，每天可以比原计划多修20%的里程，结果完成此项修路工程比原计划少用了5天. 若每天付给工程队的施工费用为4万元，则完成工程后，一共付给工程队的费用是多少？
（1）小明和小军相约上午8时同时从各自出发地出发，匀速骑行，到上午10时，他们相距30 km，到中午12时，两人又相距30 km. 求A，B两地间的自行车道的距离.
（2）因骑自行车的市民越来越多，政府决定重新改建一条自行车道，改建的自行车道比A，B两地间原自行车道的距离多30 km. 某工程队采用了更加先进的修路技术和修路机器，每天可以比原计划多修20%的里程，结果完成此项修路工程比原计划少用了5天. 若每天付给工程队的施工费用为4万元，则完成工程后，一共付给工程队的费用是多少？
答案
(1) 设 A，B 两地间的自行车道的距离为$ x $ km. 依题意，得$\frac{x-30}{10-8}=\frac{x+30}{12-8}$，解得 $x=90$
(2) 设实际用了 $a$ 天，则原计划用（$a+5$）天，改建的自行车道距离 $90+30=120$（km），$\frac{120}{a+5}×(1+20\%)=\frac{120}{a}$，解得 $a=25$. 检验：$a=25$ 时，$\frac{120}{25}≠0$，$\frac{120}{25+5}≠0$，$\therefore a=25$ 是分式方程的解. $\therefore$ 付给工程队的费用 $4×25=100$（万元）
(2) 设实际用了 $a$ 天，则原计划用（$a+5$）天，改建的自行车道距离 $90+30=120$（km），$\frac{120}{a+5}×(1+20\%)=\frac{120}{a}$，解得 $a=25$. 检验：$a=25$ 时，$\frac{120}{25}≠0$，$\frac{120}{25+5}≠0$，$\therefore a=25$ 是分式方程的解. $\therefore$ 付给工程队的费用 $4×25=100$（万元）
解析
【分析】
（1）本题为行程相遇类问题，解题核心是抓住两人速度和不变的特点：从8时到10时共2小时，两人未相遇，合计行驶路程为总距离减30km，速度和可表示为$\frac{x-30}{2}$；从8时到12时共4小时，两人相遇后相背行驶，合计行驶路程为总距离加30km，速度和可表示为$\frac{x+30}{4}$，根据速度和相等列方程求解即可。
（2）本题为分式方程的工程类问题，首先计算改建后车道总长度；设实际施工天数为$a$，可表示出原计划施工天数，再根据“实际每天修路长度=原计划每天修路长度×(1+20%)”的等量关系列分式方程，解出后先检验根的有效性，再计算总费用。
【解析】
（1）设A，B两地间的自行车道的距离为$x$ km。
两人骑行速度和不变，依题意得：
$\frac{x-30}{10-8}=\frac{x+30}{12-8}$
化简得$\frac{x-30}{2}=\frac{x+30}{4}$，两边同乘4得$2(x-30)=x+30$，展开计算得$2x-60=x+30$，解得$x=90$。
（2）改建后的自行车道长度为：$90+30=120$（km）
设实际用了$a$天完成工程，则原计划用$(a+5)$天。
依题意列方程：
$\frac{120}{a+5}×(1+20\%)=\frac{120}{a}$
化简得$\frac{144}{a+5}=\frac{120}{a}$，交叉相乘得$144a=120(a+5)$，展开计算得$24a=600$，解得$a=25$。
检验：当$a=25$时，$a(a+5)=750≠0$，因此$a=25$是原分式方程的解，符合题意。
总施工费用为：$4×25=100$（万元）
【答案】
（1）$\boldsymbol{90\ \mathrm{km}}$；
（2）$\boldsymbol{100\ \mathrm{万元}}$
【知识点】
一元一次方程应用；分式方程应用；行程与工程问题
【点评】
本题结合生活实际场景设置问题，分别考查了一元一次方程在行程问题、分式方程在工程问题中的应用，解题关键是准确理解题意找到等量关系列方程，注意解分式方程后必须检验根是否符合要求。
【难度系数】
0.65
（1）本题为行程相遇类问题，解题核心是抓住两人速度和不变的特点：从8时到10时共2小时，两人未相遇，合计行驶路程为总距离减30km，速度和可表示为$\frac{x-30}{2}$；从8时到12时共4小时，两人相遇后相背行驶，合计行驶路程为总距离加30km，速度和可表示为$\frac{x+30}{4}$，根据速度和相等列方程求解即可。
（2）本题为分式方程的工程类问题，首先计算改建后车道总长度；设实际施工天数为$a$，可表示出原计划施工天数，再根据“实际每天修路长度=原计划每天修路长度×(1+20%)”的等量关系列分式方程，解出后先检验根的有效性，再计算总费用。
【解析】
（1）设A，B两地间的自行车道的距离为$x$ km。
两人骑行速度和不变，依题意得：
$\frac{x-30}{10-8}=\frac{x+30}{12-8}$
化简得$\frac{x-30}{2}=\frac{x+30}{4}$，两边同乘4得$2(x-30)=x+30$，展开计算得$2x-60=x+30$，解得$x=90$。
（2）改建后的自行车道长度为：$90+30=120$（km）
设实际用了$a$天完成工程，则原计划用$(a+5)$天。
依题意列方程：
$\frac{120}{a+5}×(1+20\%)=\frac{120}{a}$
化简得$\frac{144}{a+5}=\frac{120}{a}$，交叉相乘得$144a=120(a+5)$，展开计算得$24a=600$，解得$a=25$。
检验：当$a=25$时，$a(a+5)=750≠0$，因此$a=25$是原分式方程的解，符合题意。
总施工费用为：$4×25=100$（万元）
【答案】
（1）$\boldsymbol{90\ \mathrm{km}}$；
（2）$\boldsymbol{100\ \mathrm{万元}}$
【知识点】
一元一次方程应用；分式方程应用；行程与工程问题
【点评】
本题结合生活实际场景设置问题，分别考查了一元一次方程在行程问题、分式方程在工程问题中的应用，解题关键是准确理解题意找到等量关系列方程，注意解分式方程后必须检验根是否符合要求。
【难度系数】
0.65
7. 某玩具小店经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用480元购进A型玩具的数量比用150元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元.
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：$\frac{480}{1.6x} = \frac{150}{x} + 30$，解得$x = 5$. 检验：当$x = 5$时，$1.6x≠0$，$\therefore x = 5$是分式方程的解.
乙：$\frac{480}{x} = 1.6×\frac{150}{x-30}$，解得$x = 60$. 检验：当$x = 60$时，$x - 30≠0$，$\therefore x = 60$是分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
（2）该经营者第二次进货恰好用了1 360元，由于场地存放限制，要求总数量不多于200个，则最多可购进B型玩具多少个？
（1）求两种型号玩具的单价各是多少元.
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：$\frac{480}{1.6x} = \frac{150}{x} + 30$，解得$x = 5$. 检验：当$x = 5$时，$1.6x≠0$，$\therefore x = 5$是分式方程的解.
乙：$\frac{480}{x} = 1.6×\frac{150}{x-30}$，解得$x = 60$. 检验：当$x = 60$时，$x - 30≠0$，$\therefore x = 60$是分式方程的解.
则甲所列方程中的$x$表示
B型玩具的单价
，乙所列方程中的$x$表示A型玩具的数量
，由上可得A型玩具单价是8元
，B型玩具单价是5元
.（2）该经营者第二次进货恰好用了1 360元，由于场地存放限制，要求总数量不多于200个，则最多可购进B型玩具多少个？
答案
7. (1) B型玩具的单价 A型玩具的数量 8元 5元
(2) 设可购进 A 型玩具 $a$ 个，则 B 型玩具 $(200-a)$ 个，根据题意得 $8a+5(200-a)=1\ 360$，解得 $a=120$，$\therefore$ 整数 $a$ 的最大值是 120，$\therefore 200-120=80$，$\therefore$ 最多可购进 B 型玩具 80 个
(2) 设可购进 A 型玩具 $a$ 个，则 B 型玩具 $(200-a)$ 个，根据题意得 $8a+5(200-a)=1\ 360$，解得 $a=120$，$\therefore$ 整数 $a$ 的最大值是 120，$\therefore 200-120=80$，$\therefore$ 最多可购进 B 型玩具 80 个
解析
【分析】
（1）要判断甲乙所列方程中x的含义，需结合题目等量关系分析：甲的方程等量为“480元购A型数量=150元购B型数量+30”，其中1.6x是x的1.6倍，对应“A型单价是B型的1.6倍”，因此x表示B型玩具单价；乙的方程等量为“A型单价=1.6×B型单价”，其中480/x是A型单价，x-30是B型的购进数量，因此x表示A型玩具的购进数量。代入x的值即可求出两种玩具的单价。
（2）要使购进B型玩具数量最多，因B型单价更低，总费用固定时总数量越大则B型占比越高，因此总数量取上限200个时B型数量最大，结合总费用列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）结合上述等量关系分析：
甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，解得x=5，即B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$1.6 × 5=8$元；
乙所列方程中的x表示A型玩具的数量，解得x=60，验证得A型单价为$480 ÷ 60=8$元，B型单价为$150 ÷ (60-30)=5$元，二者结果一致。
（2）设可购进A型玩具$a$个，要使B型玩具数量最多，总数量取最大值200，则B型玩具数量为$(200-a)$个，根据总费用为1360元列方程：
$8a + 5(200 - a) = 1360$
展开得：$8a + 1000 - 5a = 1360$
合并同类项得：$3a = 360$
解得：$a = 120$
则B型玩具的数量为$200 - 120 = 80$（个），符合总费用和总数量的要求。
【答案】
(1) B型玩具的单价；A型玩具的数量；8元；5元
(2) 最多可购进B型玩具80个
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；实际最值问题
【点评】
本题结合生活中的进货场景，既考察了学生对分式方程中未知数实际意义的理解，又考察了利用方程解决实际最值问题的能力，解题核心是找准题目中的等量关系和限制条件，是方程类应用题的常见考法。
【难度系数】
0.7
（1）要判断甲乙所列方程中x的含义，需结合题目等量关系分析：甲的方程等量为“480元购A型数量=150元购B型数量+30”，其中1.6x是x的1.6倍，对应“A型单价是B型的1.6倍”，因此x表示B型玩具单价；乙的方程等量为“A型单价=1.6×B型单价”，其中480/x是A型单价，x-30是B型的购进数量，因此x表示A型玩具的购进数量。代入x的值即可求出两种玩具的单价。
（2）要使购进B型玩具数量最多，因B型单价更低，总费用固定时总数量越大则B型占比越高，因此总数量取上限200个时B型数量最大，结合总费用列一元一次方程求解即可。
【解析】
（1）结合上述等量关系分析：
甲所列方程中的x表示B型玩具的单价，解得x=5，即B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$1.6 × 5=8$元；
乙所列方程中的x表示A型玩具的数量，解得x=60，验证得A型单价为$480 ÷ 60=8$元，B型单价为$150 ÷ (60-30)=5$元，二者结果一致。
（2）设可购进A型玩具$a$个，要使B型玩具数量最多，总数量取最大值200，则B型玩具数量为$(200-a)$个，根据总费用为1360元列方程：
$8a + 5(200 - a) = 1360$
展开得：$8a + 1000 - 5a = 1360$
合并同类项得：$3a = 360$
解得：$a = 120$
则B型玩具的数量为$200 - 120 = 80$（个），符合总费用和总数量的要求。
【答案】
(1) B型玩具的单价；A型玩具的数量；8元；5元
(2) 最多可购进B型玩具80个
【知识点】
分式方程的应用；一元一次方程的应用；实际最值问题
【点评】
本题结合生活中的进货场景，既考察了学生对分式方程中未知数实际意义的理解，又考察了利用方程解决实际最值问题的能力，解题核心是找准题目中的等量关系和限制条件，是方程类应用题的常见考法。
【难度系数】
0.7
