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1.若$\odot O$是$△ ABC$的内切圆,则点$O$是$△ ABC$的 (
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
)A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内切圆的圆心（内心）的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离都等于内切圆半径。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆推可知到三边距离相等的点必然在三条角平分线上，最后逐一辨析各选项对应的三角形特殊交点的定义即可得出答案。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到△ABC三边的距离都等于内切圆的半径，即点O到三边的距离相等。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此到△ABC三边距离相等的点O是三条角平分线的交点。
再辨析各选项：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，为外接圆圆心，不符合题意；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，为内切圆圆心，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义、角平分线的性质、三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形不同特殊交点的定义与性质区分，熟记各特殊点的对应特征即可快速作答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内切圆的圆心（内心）的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离都等于内切圆半径。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆推可知到三边距离相等的点必然在三条角平分线上，最后逐一辨析各选项对应的三角形特殊交点的定义即可得出答案。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O到△ABC三边的距离都等于内切圆的半径，即点O到三边的距离相等。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此到△ABC三边距离相等的点O是三条角平分线的交点。
再辨析各选项：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，为外接圆圆心，不符合题意；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，为内切圆圆心，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义、角平分线的性质、三角形特殊交点的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形不同特殊交点的定义与性质区分，熟记各特殊点的对应特征即可快速作答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB,BC,AC$分别相切于点$D,E,F$，$∠ B=90°$，$AB=6$，$BC=8$，则$△ ABC$的内切圆半径$r$为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2. C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察图形，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，首先可通过勾股定理求出斜边AC的长度；2. 求三角形内切圆半径可选用两种方法：一是直角三角形内切圆半径专用公式r=(a+b-c)/2（a、b为直角边，c为斜边），二是通用面积法，即三角形总面积等于内切圆圆心与三个顶点连线分割成的三个小三角形的面积和，代入数值即可求出半径r。
【解析】
方法一：利用直角三角形内切圆半径公式求解
∵ ∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴ 由勾股定理得斜边$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数值：
$r=\frac{6+8-10}{2}=2$。
方法二：面积法求解
连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且$OD=OE=OF=r$。
△ABC的面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
同时$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}AB·r+\frac{1}{2}BC·r+\frac{1}{2}AC·r$，
代入得$24=\frac{1}{2}r(6+8+10)$，
解得$r=2$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、内切圆的性质、面积法求线段长
【点评】
本题考查三角形内切圆半径的计算，既可以利用直角三角形内切圆的特殊公式快速得到结果，也可以通过面积法推导，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握内切圆切线垂直于过切点的半径这一性质。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先观察图形，△ABC是直角三角形，已知两条直角边长度，首先可通过勾股定理求出斜边AC的长度；2. 求三角形内切圆半径可选用两种方法：一是直角三角形内切圆半径专用公式r=(a+b-c)/2（a、b为直角边，c为斜边），二是通用面积法，即三角形总面积等于内切圆圆心与三个顶点连线分割成的三个小三角形的面积和，代入数值即可求出半径r。
【解析】
方法一：利用直角三角形内切圆半径公式求解
∵ ∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴ 由勾股定理得斜边$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数值：
$r=\frac{6+8-10}{2}=2$。
方法二：面积法求解
连接OD、OE、OF、OA、OB、OC，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且$OD=OE=OF=r$。
△ABC的面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
同时$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}=\frac{1}{2}AB·r+\frac{1}{2}BC·r+\frac{1}{2}AC·r$，
代入得$24=\frac{1}{2}r(6+8+10)$，
解得$r=2$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、内切圆的性质、面积法求线段长
【点评】
本题考查三角形内切圆半径的计算，既可以利用直角三角形内切圆的特殊公式快速得到结果，也可以通过面积法推导，属于基础题型，解题的关键是熟练掌握内切圆切线垂直于过切点的半径这一性质。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$\odot O$内切于四边形$ABCD$，$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$，则$AD$的长为
11
。答案
3. 11
解析
【分析】
首先观察题目条件，已知圆内切于四边形ABCD，可判断该四边形为圆外切四边形，此时需要联想到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等。我们只需将已知的边长代入该性质对应的等量关系，即可求解AD的长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$内切于四边形$ABCD$
∴四边形$ABCD$是圆外切四边形，具备对边和相等的性质，即：
$AB+CD=AD+BC$
把$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$代入上述等式：
$10+8=AD+7$
计算可得：$AD=18-7=11$
【答案】
11
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆外切四边形性质的直接应用，只要牢记相关性质即可快速解题，计算难度低。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，已知圆内切于四边形ABCD，可判断该四边形为圆外切四边形，此时需要联想到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等。我们只需将已知的边长代入该性质对应的等量关系，即可求解AD的长度。
【解析】
解：
∵$\odot O$内切于四边形$ABCD$
∴四边形$ABCD$是圆外切四边形，具备对边和相等的性质，即：
$AB+CD=AD+BC$
把$AB=10$，$BC=7$，$CD=8$代入上述等式：
$10+8=AD+7$
计算可得：$AD=18-7=11$
【答案】
11
【知识点】
圆外切四边形的性质、切线长定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆外切四边形性质的直接应用，只要牢记相关性质即可快速解题，计算难度低。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在一张三角形纸片ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,⊙O是它的内切圆.小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下三角形纸片ADE,则△ADE的周长为 (
A.19
B.17
C.22
D.20
D
)A.19
B.17
C.22
D.20
答案
4. D
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先，利用勾股定理计算直角三角形ABC的斜边长度；其次，结合切线长定理，设出内切圆与三角形三边的切线长，通过边长关系求出点A到内切圆的两条切线的长度；最后，利用DE是内切圆切线的性质，再次运用切线长定理，将△ADE的周长转化为两条切线的长度和，即可得到结果。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=5$，$AC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 利用切线长定理求点A到内切圆的切线长：
设$\odot O$与AB切于点H，与AC切于点G，与BC切于点F，根据切线长定理可得：$BF=BH$，$CF=CG$，$AG=AH$。
设$AH=AG=x$，$BH=BF=y$，$CF=CG=z$，则可列方程组：
$\begin{cases}y+z=BC=5\\x+y=AB=13\\x+z=AC=12\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=30$，即$x+y+z=15$，因此$x=15-(y+z)=15-5=10$，即$AH=AG=10$。
3. 计算$△ ADE$的周长：
设DE与$\odot O$切于点P，根据切线长定理得$DP=DH$，$EP=EG$。
则$△ ADE$的周长为：
$C_{△ ADE}=AD+AE+DE=AD+AE+DP+PE=AD+DH+AE+EG=AH+AG=10+10=20$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题核心是切线长定理的灵活应用，通过切线长相等的性质将未知三角形的周长转化为已知的切线长度和，体现了几何问题中常用的转化思想，掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.65
解题可按以下思路逐步推导：首先，利用勾股定理计算直角三角形ABC的斜边长度；其次，结合切线长定理，设出内切圆与三角形三边的切线长，通过边长关系求出点A到内切圆的两条切线的长度；最后，利用DE是内切圆切线的性质，再次运用切线长定理，将△ADE的周长转化为两条切线的长度和，即可得到结果。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=5$，$AC=12$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
2. 利用切线长定理求点A到内切圆的切线长：
设$\odot O$与AB切于点H，与AC切于点G，与BC切于点F，根据切线长定理可得：$BF=BH$，$CF=CG$，$AG=AH$。
设$AH=AG=x$，$BH=BF=y$，$CF=CG=z$，则可列方程组：
$\begin{cases}y+z=BC=5\\x+y=AB=13\\x+z=AC=12\end{cases}$
三式相加得$2(x+y+z)=30$，即$x+y+z=15$，因此$x=15-(y+z)=15-5=10$，即$AH=AG=10$。
3. 计算$△ ADE$的周长：
设DE与$\odot O$切于点P，根据切线长定理得$DP=DH$，$EP=EG$。
则$△ ADE$的周长为：
$C_{△ ADE}=AD+AE+DE=AD+AE+DP+PE=AD+DH+AE+EG=AH+AG=10+10=20$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，切线长定理，三角形内切圆
【点评】
本题核心是切线长定理的灵活应用，通过切线长相等的性质将未知三角形的周长转化为已知的切线长度和，体现了几何问题中常用的转化思想，掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.65
5. 如图,点$ I $为$△ ABC$的内心,点$ O $为$△ ABC$的外心,$∠ O = 140°$,则$∠ I$为（
A.$ 135° $
B.$ 130° $
C.$ 125° $
D.$ 120° $
C
）A.$ 135° $
B.$ 130° $
C.$ 125° $
D.$ 120° $
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先利用三角形外心的性质求出∠A的度数，再结合三角形内心的性质计算∠I的度数即可：第一步，外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC=140°，可直接求出∠A的大小；第二步，内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理可推导出∠BIC和∠A的关系，代入∠A的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵点I为△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$
在△IBC中：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}×110°=125°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形心类性质的基础应用题，解题的关键是熟记外心对应的圆心角与圆周角的关系、内心对应的角的推导规律，掌握后就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形外心的性质求出∠A的度数，再结合三角形内心的性质计算∠I的度数即可：第一步，外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC=140°，可直接求出∠A的大小；第二步，内心是三角形内角平分线的交点，结合三角形内角和定理可推导出∠BIC和∠A的关系，代入∠A的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°
根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵点I为△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$
在△IBC中：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}×110°=125°$
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形心类性质的基础应用题，解题的关键是熟记外心对应的圆心角与圆周角的关系、内心对应的角的推导规律，掌握后就能快速求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图,已知$△ ABC, ∠ B = 40°$.
(1) 在图中,用尺规作出$△ ABC$的内切圆$\odot O$,并标出$\odot O$与边$AB, BC, AC$的切点$D, E, F$;(保留作图痕迹,不必写作法)
(2) 连接$EF, DF$,求$∠ EFD$的度数.
(1) 在图中,用尺规作出$△ ABC$的内切圆$\odot O$,并标出$\odot O$与边$AB, BC, AC$的切点$D, E, F$;(保留作图痕迹,不必写作法)
(2) 连接$EF, DF$,求$∠ EFD$的度数.
答案
6. 解:(1)$△ABC$的内切圆$\odot O$如图所示
.(2)如图,连接$OD$.
由题意,知$OD⊥AB,OE⊥BC$.
$\therefore ∠ODB = ∠OEB = 90°$.
$\because ∠B = 40°,∴ ∠DOE = 140°$.
$\therefore ∠EFD = 70°$.
解析
【分析】
(1) 作△ABC的内切圆时，首先明确内切圆圆心是三角形内角角平分线的交点：先作∠B和∠C的角平分线，交点即为圆心O；再过O作任意一边的垂线，垂线段长度就是内切圆半径，以O为圆心、垂线段长为半径画圆，再标注对应切点即可。
(2) 求∠EFD的度数，可按以下思路推导：首先根据切线性质，连接切点与圆心可得垂直关系；再利用四边形内角和求出弧DE对应的圆心角∠DOE的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠EFD的度数。
【解析】
(1) 按要求完成尺规作图，保留角平分线、垂线的作图痕迹，标注圆心O和切点D、E、F即可。
(2) 连接OD、OE：
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是⊙O与AB、BC的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，
∴ ∠ODB = ∠OEB = 90°，
∵ 四边形内角和为360°，且∠B=40°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°，
∵ ∠EFD是弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴ ∠EFD = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
(1) △ABC的内切圆⊙O如图所示；
(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆的概念
【点评】
本题结合尺规作图和角度计算考查基础几何知识，作图部分需要明确三角形内切圆的圆心特征，计算部分需要熟练掌握切线性质和圆周角定理，属于基础综合题，理清知识点的关联就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 作△ABC的内切圆时，首先明确内切圆圆心是三角形内角角平分线的交点：先作∠B和∠C的角平分线，交点即为圆心O；再过O作任意一边的垂线，垂线段长度就是内切圆半径，以O为圆心、垂线段长为半径画圆，再标注对应切点即可。
(2) 求∠EFD的度数，可按以下思路推导：首先根据切线性质，连接切点与圆心可得垂直关系；再利用四边形内角和求出弧DE对应的圆心角∠DOE的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，即可算出∠EFD的度数。
【解析】
(1) 按要求完成尺规作图，保留角平分线、垂线的作图痕迹，标注圆心O和切点D、E、F即可。
(2) 连接OD、OE：
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D、E分别是⊙O与AB、BC的切点，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，
∴ ∠ODB = ∠OEB = 90°，
∵ 四边形内角和为360°，且∠B=40°，
∴ ∠DOE = 360° - ∠ODB - ∠OEB - ∠B = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°，
∵ ∠EFD是弧DE所对的圆周角，∠DOE是弧DE所对的圆心角，
∴ ∠EFD = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
【答案】
(1) △ABC的内切圆⊙O如图所示
；(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；三角形内切圆的概念
【点评】
本题结合尺规作图和角度计算考查基础几何知识，作图部分需要明确三角形内切圆的圆心特征，计算部分需要熟练掌握切线性质和圆周角定理，属于基础综合题，理清知识点的关联就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
7. (推理能力)如图，$△ ABC$的内切圆半径为$r$，$△ ABC$的周长为$l$，求证：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}lr$. (提示：连接$OA,OB,OC$)
答案
7. 证明:如图
,连接$OA,OB,OC$.$\because S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$,
$\therefore S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r$
$=\frac{1}{2}(AB + AC + BC) · r$.
$\because l = AB + AC + BC$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}lr$.
解析
【分析】
要证明$S_{△ABC}=\frac{1}{2}lr$，首先结合内切圆的性质：内切圆圆心到三角形三边的距离都等于半径$r$。根据提示连接$OA、OB、OC$，可将大三角形$ABC$分割为$△ AOB、△ BOC、△ AOC$三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径$r$，底分别是$△ ABC$的三边。先分别计算三个小三角形的面积，求和后得到$△ ABC$的总面积，再结合周长$l$为三边之和的定义，整理式子即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图，连接$OA,OB,OC$。
$\because △ ABC$的内切圆半径为$r$，$\therefore$圆心$O$到$AB、AC、BC$三边的距离均为$r$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·r$，$S_{△AOC}=\frac{1}{2}AC·r$，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}BC·r$
$\because S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△AOC} + S_{△BOC}$
$\therefore$代入三个小三角形的面积得：
$S_{△ABC} =\frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r$
提取公因式$\frac{1}{2}r$，整理得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(AB + AC + BC) · r$
又$\because △ ABC$的周长$l = AB + AC + BC$，将其代入上式可得：
$S_{△ABC} = \frac{1}{2}lr$，原式得证。
【答案】
7. 证明:如图,连接$OA,OB,OC$.
$\because S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$,
$\therefore S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r$
$=\frac{1}{2}(AB + AC + BC) · r$.
$\because l = AB + AC + BC$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}lr$.
【知识点】
三角形内切圆性质、三角形面积计算、等积变换
【点评】
本题是三角形内切圆相关面积公式的基础推导题，通过割补法将大三角形拆分为等高的小三角形计算面积，是解决内切圆与三角形周长、面积结合类问题的核心思路，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
要证明$S_{△ABC}=\frac{1}{2}lr$，首先结合内切圆的性质：内切圆圆心到三角形三边的距离都等于半径$r$。根据提示连接$OA、OB、OC$，可将大三角形$ABC$分割为$△ AOB、△ BOC、△ AOC$三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径$r$，底分别是$△ ABC$的三边。先分别计算三个小三角形的面积，求和后得到$△ ABC$的总面积，再结合周长$l$为三边之和的定义，整理式子即可得到待证结论。
【解析】
证明：如图
，连接$OA,OB,OC$。$\because △ ABC$的内切圆半径为$r$，$\therefore$圆心$O$到$AB、AC、BC$三边的距离均为$r$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·r$，$S_{△AOC}=\frac{1}{2}AC·r$，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}BC·r$
$\because S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△AOC} + S_{△BOC}$
$\therefore$代入三个小三角形的面积得：
$S_{△ABC} =\frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r$
提取公因式$\frac{1}{2}r$，整理得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}(AB + AC + BC) · r$
又$\because △ ABC$的周长$l = AB + AC + BC$，将其代入上式可得：
$S_{△ABC} = \frac{1}{2}lr$，原式得证。
【答案】
7. 证明:如图
,连接$OA,OB,OC$.$\because S_{△ ABC} = S_{△ AOB} + S_{△ AOC} + S_{△ BOC}$,
$\therefore S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · r + \frac{1}{2}AC · r + \frac{1}{2}BC · r$
$=\frac{1}{2}(AB + AC + BC) · r$.
$\because l = AB + AC + BC$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}lr$.
【知识点】
三角形内切圆性质、三角形面积计算、等积变换
【点评】
本题是三角形内切圆相关面积公式的基础推导题，通过割补法将大三角形拆分为等高的小三角形计算面积，是解决内切圆与三角形周长、面积结合类问题的核心思路，需熟练掌握该类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
