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1. 三角形的内切圆:与三角形各边都
三角形的内心:内切圆的圆心是三角形三条
相切
的圆叫作三角形的内切圆.如图，$\odot O$就是$△ ABC$的内切圆.三角形的内心:内切圆的圆心是三角形三条
角平分线
的交点,叫作三角形的内心,它到三角形的三边的距离相等.如图,点$O$就是$△ ABC$的内心.答案
1. 相切 角平分线
解析
【分析】
本题考查三角形内切圆及内心的基础概念，解题思路如下：1. 回忆三角形内切圆的定义：内切圆在三角形内部，且与三角形的三条边都只有唯一公共点，这种位置关系为相切，因此第一空对应“相切”；2. 回忆三角形内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，可知内切圆的圆心是三条角平分线的交点，因此第二空对应“角平分线”。
【解析】
1. 根据三角形内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，因此第一个空填“相切”；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质可得，只有三角形三条角平分线的交点满足到三边距离相等的要求，因此内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心，第二个空填“角平分线”。
【答案】
相切；角平分线
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础定义的掌握，熟记三角形内切圆和内心的相关概念即可快速作答，是圆与三角形结合模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内切圆及内心的基础概念，解题思路如下：1. 回忆三角形内切圆的定义：内切圆在三角形内部，且与三角形的三条边都只有唯一公共点，这种位置关系为相切，因此第一空对应“相切”；2. 回忆三角形内心的性质：内心到三角形三边的距离相等，结合角平分线“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，可知内切圆的圆心是三条角平分线的交点，因此第二空对应“角平分线”。
【解析】
1. 根据三角形内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，因此第一个空填“相切”；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线的性质可得，只有三角形三条角平分线的交点满足到三边距离相等的要求，因此内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，即三角形的内心，第二个空填“角平分线”。
【答案】
相切；角平分线
【知识点】
三角形内切圆定义；三角形内心定义；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对基础定义的掌握，熟记三角形内切圆和内心的相关概念即可快速作答，是圆与三角形结合模块的基础考点。
【难度系数】
0.9
2.【例1】(人教九上$\mathrm{P}_{159}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)如图,点O是$△ ABC$的内心,且$∠ A = 50°$,则$∠ BOC$的度数为
115°
. 答案
2. 115°
解析
【分析】
解题时先明确三角形内心的性质：内心是三角形三条内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC的度数，可先在△ABC中结合已知的∠A度数，利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到△OBC中∠OBC+∠OCB的度数，最后在△OBC中再次利用三角形内角和即可求出∠BOC。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=50°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算类题型，核心是掌握三角形内心是内角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可推导求解，也可直接记住拓展结论：三角形中内心与两顶点的夹角等于$90°$加第三个内角度数的一半，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三角形内心的性质：内心是三角形三条内角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。要求∠BOC的度数，可先在△ABC中结合已知的∠A度数，利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到△OBC中∠OBC+∠OCB的度数，最后在△OBC中再次利用三角形内角和即可求出∠BOC。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的内心
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=50°$
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×130°=65°$
在△OBC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-65°=115°$
【答案】
$115°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算类题型，核心是掌握三角形内心是内角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可推导求解，也可直接记住拓展结论：三角形中内心与两顶点的夹角等于$90°$加第三个内角度数的一半，提高解题速度。
【难度系数】
0.8
4.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_{158}$例题改编)如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=18\ \mathrm{cm}$，$BC=26\ \mathrm{cm}$，$CA=28\ \mathrm{cm}$，求$AF$，$BD$，$CE$的长. 
答案
4. 解:根据切线长定理,得$AE = AF,BF = BD,CE = CD$.
设$AF = AE = x$,则$CE = CD = 28 - x,BF = BD = 18 - x$.
$\because BC = 26,\therefore (18 - x) + (28 - x) = 26$. 解得$x = 10$.
$\therefore AF = 10\ \mathrm{cm},BD = 8\ \mathrm{cm},CE = 18\ \mathrm{cm}$.
设$AF = AE = x$,则$CE = CD = 28 - x,BF = BD = 18 - x$.
$\because BC = 26,\therefore (18 - x) + (28 - x) = 26$. 解得$x = 10$.
$\therefore AF = 10\ \mathrm{cm},BD = 8\ \mathrm{cm},CE = 18\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，△ABC的内切圆与三边分别相切，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得到三组等长线段：AF=AE、BF=BD、CE=CD。我们可以设其中一组等长线段的长度为未知数x，用三角形三边的已知长度将其余两组线段的长度用含x的代数式表示，再结合BC边的长度是BD与CD之和的等量关系列方程，解方程即可求出三个未知线段的长度。
【解析】
解：根据切线长定理，得$AE = AF$，$BF = BD$，$CE = CD$。
设$AF = AE = x\ \mathrm{cm}$，则$CE = CD = AC - AE = 28 - x$，$BF = BD = AB - AF = 18 - x$。
$\because BC = BD + CD = 26\ \mathrm{cm}$，
$\therefore (18 - x) + (28 - x) = 26$，
整理得$46 - 2x = 26$，
解得$x = 10$。
$\therefore AF = 10\ \mathrm{cm}$，
$BD = 18 - x = 18 - 10 = 8\ \mathrm{cm}$，
$CE = 28 - x = 28 - 10 = 18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=10\ \mathrm{cm}$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，$CE=18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆；方程思想应用
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，核心考查切线长定理的掌握情况，通过设未知数将几何线段长度关系转化为一元一次方程求解，体现了数形结合的思想，熟练掌握切线长定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，△ABC的内切圆与三边分别相切，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得到三组等长线段：AF=AE、BF=BD、CE=CD。我们可以设其中一组等长线段的长度为未知数x，用三角形三边的已知长度将其余两组线段的长度用含x的代数式表示，再结合BC边的长度是BD与CD之和的等量关系列方程，解方程即可求出三个未知线段的长度。
【解析】
解：根据切线长定理，得$AE = AF$，$BF = BD$，$CE = CD$。
设$AF = AE = x\ \mathrm{cm}$，则$CE = CD = AC - AE = 28 - x$，$BF = BD = AB - AF = 18 - x$。
$\because BC = BD + CD = 26\ \mathrm{cm}$，
$\therefore (18 - x) + (28 - x) = 26$，
整理得$46 - 2x = 26$，
解得$x = 10$。
$\therefore AF = 10\ \mathrm{cm}$，
$BD = 18 - x = 18 - 10 = 8\ \mathrm{cm}$，
$CE = 28 - x = 28 - 10 = 18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=10\ \mathrm{cm}$，$BD=8\ \mathrm{cm}$，$CE=18\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆；方程思想应用
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题，核心考查切线长定理的掌握情况，通过设未知数将几何线段长度关系转化为一元一次方程求解，体现了数形结合的思想，熟练掌握切线长定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，I是$△ ABC$的内心.若$∠ IAB = 34°$, $∠ IBC = 36°$,则$∠ ICA$的度数是
20°
. 答案
3. 20°
解析
【分析】
解题首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、BI平分∠ABC、CI平分∠ACB。我们可以先根据已知的角，利用角平分线的性质求出∠BAC和∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠ACB的度数，最后再用角平分线的性质求出∠ICA的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
1. 计算∠BAC的度数：
已知∠IAB=34°，则$∠ BAC=2∠ IAB=2×34°=68°$
2. 计算∠ABC的度数：
已知∠IBC=36°，则$∠ ABC=2∠ IBC=2×36°=72°$
3. 计算∠ACB的度数：
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-68°-72°=40°$
4. 计算∠ICA的度数：
∵CI平分∠ACB
∴$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查对三角形内心概念的理解，只要熟练掌握内心是内角平分线交点这一性质，结合角平分线和三角形内角和的相关知识就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角平分线的交点，因此AI平分∠BAC、BI平分∠ABC、CI平分∠ACB。我们可以先根据已知的角，利用角平分线的性质求出∠BAC和∠ABC的度数，再结合三角形内角和为180°算出∠ACB的度数，最后再用角平分线的性质求出∠ICA的度数。
【解析】
解：
∵I是△ABC的内心
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB
1. 计算∠BAC的度数：
已知∠IAB=34°，则$∠ BAC=2∠ IAB=2×34°=68°$
2. 计算∠ABC的度数：
已知∠IBC=36°，则$∠ ABC=2∠ IBC=2×36°=72°$
3. 计算∠ACB的度数：
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ ABC=180°-68°-72°=40°$
4. 计算∠ICA的度数：
∵CI平分∠ACB
∴$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×40°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查对三角形内心概念的理解，只要熟练掌握内心是内角平分线交点这一性质，结合角平分线和三角形内角和的相关知识就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,内切圆I和边BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.若BC = 3,AC = 4,AB = 5,求△ABC内切圆的半径.
答案
5. 解:如图,连接$ID,IE$.
$\because BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25,AB^2 = 25$,
$\therefore BC^2 + AC^2 = AB^2$.
$\therefore △ABC$为直角三角形,$∠C = 90°$.
由题可知$∠IDC = ∠C = ∠IEC = 90°$,
$ID = IE. \therefore$ 四边形$DCEI$为正方形.
$\therefore ID = CD = CE = IE$.
由题可知,$BD = BF,AE = AF$.
$\therefore CD + CE = BC - BD + AC - AE = BC + AC - (BD + AE) = BC + AC - (BF + AF) = BC + AC - AB = 2$.
$\therefore IE = CD = CE = 1$.
$\therefore △ABC$内切圆的半径为1.
解析
【分析】
解题时首先观察到三角形三边长为3、4、5，可优先用勾股定理逆定理判断三角形的形状；确定为直角三角形后，结合内切圆切线的性质：圆心与切点的连线垂直于切线，连接ID、IE后可得到三个直角，结合内切圆半径相等可判定四边形DCEI为正方形，将求半径转化为求正方形的边长；再利用切线长定理，得到同一点引出的两条切线长相等，通过边长的等量代换推导出CE（即半径）和三角形三边的关系，代入数值即可求出半径。
【解析】
解：如图，连接$ID,IE$。
$\because BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25,AB^2 = 25$,
$\therefore BC^2 + AC^2 = AB^2$。
$\therefore △ABC$为直角三角形,$∠C = 90°$。
∵内切圆I和边BC、AC分别相切于点D、E，
$\therefore ∠IDC = ∠IEC = 90°$，
又
∵$∠C=90°$，$ID = IE$（内切圆半径相等），
$\therefore$ 四边形$DCEI$为正方形。
$\therefore ID = CD = CE = IE$。
由切线长定理可知：$BD = BF,AE = AF$。
$\therefore CD + CE = BC - BD + AC - AE = BC + AC - (BD + AE) = BC + AC - (BF + AF) = BC + AC - AB = 3+4-5=2$，
$\therefore IE = CD = CE = 1$。
即△ABC内切圆的半径为1。
【答案】
△ABC内切圆的半径为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础典型题，解题核心是先通过勾股逆定理确定三角形为直角三角形，再结合切线的性质和切线长定理推导半径与三角形三边的数量关系，熟练掌握内切圆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到三角形三边长为3、4、5，可优先用勾股定理逆定理判断三角形的形状；确定为直角三角形后，结合内切圆切线的性质：圆心与切点的连线垂直于切线，连接ID、IE后可得到三个直角，结合内切圆半径相等可判定四边形DCEI为正方形，将求半径转化为求正方形的边长；再利用切线长定理，得到同一点引出的两条切线长相等，通过边长的等量代换推导出CE（即半径）和三角形三边的关系，代入数值即可求出半径。
【解析】
解：如图，连接$ID,IE$。
$\because BC^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25,AB^2 = 25$,
$\therefore BC^2 + AC^2 = AB^2$。
$\therefore △ABC$为直角三角形,$∠C = 90°$。
∵内切圆I和边BC、AC分别相切于点D、E，
$\therefore ∠IDC = ∠IEC = 90°$，
又
∵$∠C=90°$，$ID = IE$（内切圆半径相等），
$\therefore$ 四边形$DCEI$为正方形。
$\therefore ID = CD = CE = IE$。
由切线长定理可知：$BD = BF,AE = AF$。
$\therefore CD + CE = BC - BD + AC - AE = BC + AC - (BD + AE) = BC + AC - (BF + AF) = BC + AC - AB = 3+4-5=2$，
$\therefore IE = CD = CE = 1$。
即△ABC内切圆的半径为1。
【答案】
△ABC内切圆的半径为$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
勾股定理逆定理，切线的性质，切线长定理
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础典型题，解题核心是先通过勾股逆定理确定三角形为直角三角形，再结合切线的性质和切线长定理推导半径与三角形三边的数量关系，熟练掌握内切圆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
