14.如图3-2-17，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为线段OD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，AN交CD边于点F，连接CN.
(1)求证：△CAN为直角三角形；
(2)若E为OD的中点，正方形的边长为6，求DF的长.

(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD交于点O，
∴AC⊥BD,O是AC的中点.
∵AE=EN,即E是AN的中点，
∴OE是△ACN的中位线.
∴OE//CN.
∴CN⊥AC,即∠ACN=90°.
∴△CAN为直角三角形.
(2) 解：由(1)得OE是△ACN的中位线，
∴OE=1/2 CN,OE//CN.
∵E为OD的中点，
∴OE=DE=1/2 CN.
∵DE//CN,
∴△DEF∽△CNF.
∴CF/DF = CN/DE =2,即CF=2DF.
∵正方形的边长为6，
∴DF=1/3 CD=2.

两边且的两个三角形相似.

对应成比例，夹角相等

例1 如图3-2-18，$∠ DAB=∠ CAE$，且$AB· AD=AE· AC$，图中有与$∠ ADE$相等的角吗？若有，请找出来，并说明你的理由。
思路提示 首先证明$∠ DAE=∠ CAB$，然后可得到$△ DAE ∽ △ CAB$，由相似三角形的性质可得到答案。
尝试解答

图3-2-18
小结反思 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。

解:$\because ∠ DAB=∠ CAE$，
$\therefore ∠ DAB + ∠ BAE = ∠ CAE + ∠ BAE$，
即$∠ DAE=∠ CAB$.
$\because AB · AD=AE · AC$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}.\therefore △ DAE ∽ △ CAB$.
$\therefore ∠ ADE=∠ C$.

变式训练1 如图3-2-19，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若$OA:OC=OB:OD$，则下列结论一定正确的是().

A.①和②相似
B.①和③相似
C.①和④相似
D.②和④相似

图3-2-19

B