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11.(2024·重庆中考)如图3-2-14,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE//CB,且DE=DC,连接AE,交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF=
$3$
. 答案
11. 3
12.如图 3-2-15,已知∠B=∠ADE,∠1=∠2.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)若∠B=40°,∠C=60°,求∠DAE 的大小.
答案
12.(1)证明:$\because ∠ 1=∠ 2$,
$\therefore ∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$,
即$∠ BAC=∠ DAE$.
$\because ∠ B=∠ ADE$,
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
(2)解:$\because ∠ B=40°,∠ C=60°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=80°$.
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC=80°$.
$\therefore ∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$,
即$∠ BAC=∠ DAE$.
$\because ∠ B=∠ ADE$,
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$.
(2)解:$\because ∠ B=40°,∠ C=60°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=80°$.
$\therefore ∠ DAE=∠ BAC=80°$.
13.如图3-2-16，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B。
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，$AD=3\sqrt{3}$，$AF=2\sqrt{3}$，求AE的长。
图3-2-16
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB=4，$AD=3\sqrt{3}$，$AF=2\sqrt{3}$，求AE的长。
图3-2-16
答案
13.(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AB// CD,AD// BC$.
$\therefore ∠ C + ∠ B = 180°, ∠ ADF = ∠ DEC$.
$\because ∠ AFE=∠ B,∠ AFD+∠ AFE=180°$,
$\therefore ∠ AFD=∠ C$.
$\therefore △ ADF ∽ △ DEC$.
(2)解:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD=AB=4$.
$\because △ ADF ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AF}{DC}$.
$\therefore DE=\frac{AD · CD}{AF}=\frac{3\sqrt{3} × 4}{2\sqrt{3}}=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得
$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$,
故AE的长为3.
$\therefore AB// CD,AD// BC$.
$\therefore ∠ C + ∠ B = 180°, ∠ ADF = ∠ DEC$.
$\because ∠ AFE=∠ B,∠ AFD+∠ AFE=180°$,
$\therefore ∠ AFD=∠ C$.
$\therefore △ ADF ∽ △ DEC$.
(2)解:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore CD=AB=4$.
$\because △ ADF ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AD}{DE}=\frac{AF}{DC}$.
$\therefore DE=\frac{AD · CD}{AF}=\frac{3\sqrt{3} × 4}{2\sqrt{3}}=6$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得
$AE=\sqrt{DE^2-AD^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{3})^2}=3$,
故AE的长为3.
