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定理:相似三角形的周长比等于
相似比
，面积比等于相似比的平方
。答案
相似比；相似比的平方
解析
【分析】
本题考查相似三角形的基本性质，解题思路如下：首先回忆相似比的定义，即相似三角形对应边的比值为相似比；推导周长比时，可利用等比性质，三边之和的比等于对应边的比，也就是相似比；推导面积比时，结合三角形面积公式，相似三角形对应高的比也等于相似比，底和高的比均为相似比，乘积后可得面积比为相似比的平方，直接对应填写性质结论即可。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$：
1. 周长比推导：设两三角形对应边分别为$a、b、c$和$a'、b'、c'$，则$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k$，即$a=ka'$，$b=kb'$，$c=kc'$。
两三角形周长分别为$C_1=a+b+c$，$C_2=a'+b'+c'$，则$\frac{C_1}{C_2}=\frac{ka'+kb'+kc'}{a'+b'+c'}=k$，即相似三角形周长比等于相似比。
2. 面积比推导：相似三角形对应高的比等于相似比，设两三角形对应底边上的高分别为$h_1、h_2$，则$\frac{h_1}{h_2}=k$，即$h_1=kh_2$。
两三角形面积分别为$S_1=\frac{1}{2}ah_1$，$S_2=\frac{1}{2}a'h_2$，则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}ah_1}{\frac{1}{2}a'h_2}=\frac{ka'· kh_2}{a'h_2}=k^2$，即相似三角形面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质、相似比
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形核心性质的理解与记忆，是解决相似三角形相关计算、证明题的基础，需要熟练掌握并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的基本性质，解题思路如下：首先回忆相似比的定义，即相似三角形对应边的比值为相似比；推导周长比时，可利用等比性质，三边之和的比等于对应边的比，也就是相似比；推导面积比时，结合三角形面积公式，相似三角形对应高的比也等于相似比，底和高的比均为相似比，乘积后可得面积比为相似比的平方，直接对应填写性质结论即可。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$：
1. 周长比推导：设两三角形对应边分别为$a、b、c$和$a'、b'、c'$，则$\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k$，即$a=ka'$，$b=kb'$，$c=kc'$。
两三角形周长分别为$C_1=a+b+c$，$C_2=a'+b'+c'$，则$\frac{C_1}{C_2}=\frac{ka'+kb'+kc'}{a'+b'+c'}=k$，即相似三角形周长比等于相似比。
2. 面积比推导：相似三角形对应高的比等于相似比，设两三角形对应底边上的高分别为$h_1、h_2$，则$\frac{h_1}{h_2}=k$，即$h_1=kh_2$。
两三角形面积分别为$S_1=\frac{1}{2}ah_1$，$S_2=\frac{1}{2}a'h_2$，则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}ah_1}{\frac{1}{2}a'h_2}=\frac{ka'· kh_2}{a'h_2}=k^2$，即相似三角形面积比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形的性质、相似比
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形核心性质的理解与记忆，是解决相似三角形相关计算、证明题的基础，需要熟练掌握并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
1.若$△ ABC ∽ △ A_{1}B_{1}C_{1}$，且$AB=4$，$A_{1}B_{1}=6$，则$△ ABC$的周长和$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的周长之比是(
A.$9:4$
B.$4:9$
C.$2:3$
D.$3:2$
C
)。A.$9:4$
B.$4:9$
C.$2:3$
D.$3:2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长之比等于对应边的相似比。第一步先确定两个相似三角形的相似比，即对应边AB与A₁B₁的比值，第二步直接根据性质得到周长比等于相似比即可选出正确选项，注意相似比是前一个三角形的边比后一个三角形的对应边，不要写反。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，AB和A₁B₁是对应边
∴两个三角形的相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比
∴△ABC和△A₁B₁C₁的周长之比为$2:3$
故选：C
【答案】
1.C
【知识点】
相似比的计算，相似三角形周长性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形的基础性质，解题的关键是熟记相似三角形周长比等于相似比，计算时注意对应边的顺序即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长之比等于对应边的相似比。第一步先确定两个相似三角形的相似比，即对应边AB与A₁B₁的比值，第二步直接根据性质得到周长比等于相似比即可选出正确选项，注意相似比是前一个三角形的边比后一个三角形的对应边，不要写反。
【解析】
解：
∵△ABC ∽ △A₁B₁C₁，AB和A₁B₁是对应边
∴两个三角形的相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比
∴△ABC和△A₁B₁C₁的周长之比为$2:3$
故选：C
【答案】
1.C
【知识点】
相似比的计算，相似三角形周长性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形的基础性质，解题的关键是熟记相似三角形周长比等于相似比，计算时注意对应边的顺序即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积的比为（
A.$1:2$
B.$2:1$
C.$1:4$
D.$4:1$
C
）。A.$1:2$
B.$2:1$
C.$1:4$
D.$4:1$
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题首先提取已知条件：两个三角形相似，相似比为1:2，需求两个三角形的面积比。解题核心是回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比、对应线段比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，不要将面积比和周长比的规律混淆，代入相似比计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(1:2)^2=1:4$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例运算
【点评】
这道题属于基础概念考察题，核心是牢记相似三角形面积比与相似比的关系，避免和周长比等于相似比的规律混淆，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先提取已知条件：两个三角形相似，相似比为1:2，需求两个三角形的面积比。解题核心是回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的周长比、对应线段比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，不要将面积比和周长比的规律混淆，代入相似比计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$1:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
因此$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为$(1:2)^2=1:4$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.比例运算
【点评】
这道题属于基础概念考察题，核心是牢记相似三角形面积比与相似比的关系，避免和周长比等于相似比的规律混淆，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.已知$△ ABC$和$△ DEF$相似，且$△ ABC$的三边长分别为3,4,5。如果$△ DEF$的周长为6，那么下列不可能是$△ DEF$一边长的是(
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
D
)。A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先，题目给出两个三角形相似，已知△ABC的三边长和△DEF的周长，我们可以先计算出△ABC的周长；再利用相似三角形的周长比等于相似比这一性质，求出两个三角形的相似比；接着根据相似比计算出△DEF的三边长；最后对照选项判断哪个边长不可能存在。
【解析】
步骤1：计算△ABC的周长
△ABC的三边长为3、4、5，因此周长$C_{△ ABC}=3+4+5=12$。
步骤2：求相似比
已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且$C_{△ DEF}=6$，根据相似三角形周长比等于相似比，可得相似比$k=\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=\frac{12}{6}=2$，即$△ DEF$的各边长为$△ ABC$对应边长的$\frac{1}{2}$。
步骤3：计算△DEF的三边长
对应△ABC的三边，$△ DEF$的三边长分别为：
$3×\frac{1}{2}=1.5$，$4×\frac{1}{2}=2$，$5×\frac{1}{2}=2.5$。
步骤4：对照选项判断
选项中1.5、2、2.5均为△DEF的边长，只有3不可能是△DEF的边长，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形性质，三角形周长计算，比例运算
【点评】
本题考查相似三角形基本性质的应用，解题核心是熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的规律，通过计算相似比推导未知三角形的边长，属于常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，题目给出两个三角形相似，已知△ABC的三边长和△DEF的周长，我们可以先计算出△ABC的周长；再利用相似三角形的周长比等于相似比这一性质，求出两个三角形的相似比；接着根据相似比计算出△DEF的三边长；最后对照选项判断哪个边长不可能存在。
【解析】
步骤1：计算△ABC的周长
△ABC的三边长为3、4、5，因此周长$C_{△ ABC}=3+4+5=12$。
步骤2：求相似比
已知$△ ABC ∽ △ DEF$，且$C_{△ DEF}=6$，根据相似三角形周长比等于相似比，可得相似比$k=\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=\frac{12}{6}=2$，即$△ DEF$的各边长为$△ ABC$对应边长的$\frac{1}{2}$。
步骤3：计算△DEF的三边长
对应△ABC的三边，$△ DEF$的三边长分别为：
$3×\frac{1}{2}=1.5$，$4×\frac{1}{2}=2$，$5×\frac{1}{2}=2.5$。
步骤4：对照选项判断
选项中1.5、2、2.5均为△DEF的边长，只有3不可能是△DEF的边长，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形性质，三角形周长计算，比例运算
【点评】
本题考查相似三角形基本性质的应用，解题核心是熟练掌握相似三角形周长比等于相似比的规律，通过计算相似比推导未知三角形的边长，属于常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,且$DE// BC$。如果$AE:EC=1:4$,那么$S_{△ ADE}:S_{△ EBC}$等于(
A.$1:24$
B.$1:20$
C.$1:18$
D.$1:16$
B
)。A.$1:24$
B.$1:20$
C.$1:18$
D.$1:16$
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先由$DE// BC$判定$△ ADE∽△ ABC$，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到$△ ADE$与$△ ABC$的面积比；再根据$△ ABE$和$△ EBC$同高，面积比等于底$AE$与$EC$的比，求出$△ EBC$占$△ ABC$的面积比例，最后推导两个目标三角形的面积比即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\because AE:EC=1:4$，$\therefore AE:AC=1:(1+4)=1:5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:5)^2=1:25$，
设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ ABC}=25k$，
$\because △ ABE$和$△ EBC$以$AE$、$EC$为底时高相等，
$\therefore S_{△ ABE}:S_{△ EBC}=AE:EC=1:4$，
$\therefore S_{△ EBC}=S_{△ ABC}×\frac{4}{1+4}=25k×\frac{4}{5}=20k$，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ EBC}=k:20k=1:20$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形性质和三角形面积关系的综合应用题，解题的核心是区分相似三角形面积比和同高三角形面积比的不同规律，避免混淆边长比与面积比的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先由$DE// BC$判定$△ ADE∽△ ABC$，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到$△ ADE$与$△ ABC$的面积比；再根据$△ ABE$和$△ EBC$同高，面积比等于底$AE$与$EC$的比，求出$△ EBC$占$△ ABC$的面积比例，最后推导两个目标三角形的面积比即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$，$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\because AE:EC=1:4$，$\therefore AE:AC=1:(1+4)=1:5$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=(1:5)^2=1:25$，
设$S_{△ ADE}=k$，则$S_{△ ABC}=25k$，
$\because △ ABE$和$△ EBC$以$AE$、$EC$为底时高相等，
$\therefore S_{△ ABE}:S_{△ EBC}=AE:EC=1:4$，
$\therefore S_{△ EBC}=S_{△ ABC}×\frac{4}{1+4}=25k×\frac{4}{5}=20k$，
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ EBC}=k:20k=1:20$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，同高三角形面积与底的关系
【点评】
本题是相似三角形性质和三角形面积关系的综合应用题，解题的核心是区分相似三角形面积比和同高三角形面积比的不同规律，避免混淆边长比与面积比的对应关系。
【难度系数】
0.7
5.如图，若$△ ADE ∽ △ ABC$，$DE$与$AB$，$AC$分别相交于点$D$，$E$，$DE = 2$，$BC = 5$，$S_{△ ABC} = 20$，求$S_{△ ADE}$。
答案
5.解:$\because △ADE∽△ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$,
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{4}{25}×20=\frac{16}{5}$。
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$,
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{4}{25}×20=\frac{16}{5}$。
解析
【分析】
已知△ADE∽△ABC，且给出了一组对应边DE、BC的长度，以及△ABC的面积，要求△ADE的面积。解题时可联想到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先计算两个三角形的相似比，即对应边DE与BC的比值，再通过性质推导得到两个三角形的面积比，最后结合已知的△ABC的面积，就能求出△ADE的面积。
【解析】
解：$\because △ADE∽△ABC$
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$
代入$DE = 2$，$BC = 5$，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC} = 20$代入上式：
$S_{△ ADE}=\frac{4}{25}×20=\frac{16}{5}$
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考查相似三角形面积比等于相似比的平方这一知识点，解题时要注意不要遗漏对相似比取平方的步骤，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
已知△ADE∽△ABC，且给出了一组对应边DE、BC的长度，以及△ABC的面积，要求△ADE的面积。解题时可联想到相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。首先计算两个三角形的相似比，即对应边DE与BC的比值，再通过性质推导得到两个三角形的面积比，最后结合已知的△ABC的面积，就能求出△ADE的面积。
【解析】
解：$\because △ADE∽△ABC$
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$
代入$DE = 2$，$BC = 5$，可得：
$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$
将$S_{△ ABC} = 20$代入上式：
$S_{△ ADE}=\frac{4}{25}×20=\frac{16}{5}$
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，核心考查相似三角形面积比等于相似比的平方这一知识点，解题时要注意不要遗漏对相似比取平方的步骤，认真计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6.若两个相似三角形的相似比是1：2，其中较小三角形的周长为6 cm，则较大三角形的周长为（
A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm
D
）。A.3 cm
B.6 cm
C.9 cm
D.12 cm
答案
6.D
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。首先明确题目给出的相似比是较小三角形:较大三角形=1:2，因此两个三角形的周长比也为1:2。已知较小三角形周长，将其代入比例关系即可求出较大三角形的周长，解题时要注意相似比的前后项对应关系，避免比例列反。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比。
设较大三角形的周长为$ x \, \mathrm{cm} $，
已知相似比（小三角形:大三角形）为$ 1:2 $，较小三角形周长为$ 6 \, \mathrm{cm} $，因此可得比例式：
$\frac{\mathrm{较小三角形周长}}{\mathrm{较大三角形周长}} = \frac{1}{2}$
代入数值得：$\frac{6}{x} = \frac{1}{2}$
解得：$ x = 6 × 2 = 12 \, \mathrm{cm} $
因此选D选项。
【答案】D
【知识点】
相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查相似三角形周长与相似比的对应关系，解题的关键是明确相似比的前后对应项，避免因比例倒置丢分，熟练掌握对应性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的周长性质：相似三角形的周长比等于相似比。首先明确题目给出的相似比是较小三角形:较大三角形=1:2，因此两个三角形的周长比也为1:2。已知较小三角形周长，将其代入比例关系即可求出较大三角形的周长，解题时要注意相似比的前后项对应关系，避免比例列反。
【解析】
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比。
设较大三角形的周长为$ x \, \mathrm{cm} $，
已知相似比（小三角形:大三角形）为$ 1:2 $，较小三角形周长为$ 6 \, \mathrm{cm} $，因此可得比例式：
$\frac{\mathrm{较小三角形周长}}{\mathrm{较大三角形周长}} = \frac{1}{2}$
代入数值得：$\frac{6}{x} = \frac{1}{2}$
解得：$ x = 6 × 2 = 12 \, \mathrm{cm} $
因此选D选项。
【答案】D
【知识点】
相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查相似三角形周长与相似比的对应关系，解题的关键是明确相似比的前后对应项，避免因比例倒置丢分，熟练掌握对应性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
7.已知$△ ABC$的三边长分别是2,3,4,另一个和它相似的三角形$DEF$,其最长边长是12,则$△ DEF$的周长是(
A.54
B.36
C.27
D.21
C
)。A.54
B.36
C.27
D.21
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，先确定两个三角形的相似比：两个相似三角形的最长边为对应边，因此用△ABC的最长边比△DEF的最长边即可得到相似比。再根据相似三角形的周长比等于相似比，先计算△ABC的周长，再结合周长比即可求出△DEF的周长。
【解析】
首先计算△ABC的周长：$C_{△ ABC}=2+3+4=9$
∵△ABC与△DEF相似，且△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个三角形的相似比$k=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=k=\frac{1}{3}$
代入$C_{△ ABC}=9$，得$\frac{9}{C_{△ DEF}}=\frac{1}{3}$
解得$C_{△ DEF}=9×3=27$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形对应边成比例
2.相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是找准相似三角形的对应边，准确计算相似比，再结合周长与相似比的关系求解，掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，先确定两个三角形的相似比：两个相似三角形的最长边为对应边，因此用△ABC的最长边比△DEF的最长边即可得到相似比。再根据相似三角形的周长比等于相似比，先计算△ABC的周长，再结合周长比即可求出△DEF的周长。
【解析】
首先计算△ABC的周长：$C_{△ ABC}=2+3+4=9$
∵△ABC与△DEF相似，且△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个三角形的相似比$k=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，可得
$\frac{C_{△ ABC}}{C_{△ DEF}}=k=\frac{1}{3}$
代入$C_{△ ABC}=9$，得$\frac{9}{C_{△ DEF}}=\frac{1}{3}$
解得$C_{△ DEF}=9×3=27$
【答案】
C
【知识点】
1.相似三角形对应边成比例
2.相似三角形周长比等于相似比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是找准相似三角形的对应边，准确计算相似比，再结合周长与相似比的关系求解，掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,两条中线$BE$,$CD$相交于点$O$,则$S_{△ DOE}:S_{△ COB}$等于(
A.$1:4$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:2$
A
)。A.$1:4$
B.$2:3$
C.$1:3$
D.$1:2$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先根据中线的定义确定D、E分别是AB、AC的中点，由此可得DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与BC的平行关系和长度比例；再由平行线的性质推出△DOE和△COB相似，得到相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比值即可。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条中线，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△DOE∽△COB，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ DOE}:S_{△ COB}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}=1:4$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形面积性质
【点评】
本题是基础类几何计算题，解题核心是通过中位线搭建起两个三角形的相似关系，需注意区分相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，避免混淆二者导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据中线的定义确定D、E分别是AB、AC的中点，由此可得DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与BC的平行关系和长度比例；再由平行线的性质推出△DOE和△COB相似，得到相似比；最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比值即可。
【解析】
解：
∵BE、CD是△ABC的两条中线，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，且DE = $\frac{1}{2}$BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△DOE∽△COB，相似比$k=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ DOE}:S_{△ COB}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}=1:4$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形面积性质
【点评】
本题是基础类几何计算题，解题核心是通过中位线搭建起两个三角形的相似关系，需注意区分相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，避免混淆二者导致出错。
【难度系数】
0.7
9.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$两点分别在$BC$，$AD$上，且$AD$为$∠ BAC$的平分线。若$∠ ABE=∠ C$，$AE: ED=2: 1$，则$△ BDE$与$△ ABC$的面积比为
2:15
。答案
9. 2:15
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用角平分线性质和已知等角，通过两角分别相等证明△ABE∽△ACD，得到相似比；2. 利用同高三角形面积比等于底的比，推导△ABE与△BDE的面积关系；3. 结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△ACD的面积，再计算△ABC的总面积，最终得到面积比。
首先由AD平分∠BAC得∠BAE=∠CAD，结合∠ABE=∠C可证△ABE∽△ACD；已知AE:ED=2:1，可得AE:AD=2:3，即相似比为2:3，面积比为4:9；再由△ABE和△BDE同高，底AE:ED=2:1，得二者面积比为2:1，设△BDE面积为S，即可依次推导各部分面积求比值。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAD
又
∵∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
2. 求相似比与对应面积比：
∵AE:ED=2:1，
∴AE:AD=AE:(AE+ED)=2:3
相似三角形面积比等于相似比的平方，故$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=2^2:3^2=4:9$
3. 推导△ABE与△BDE的面积关系：
△ABE和△BDE同高，底分别为AE、ED，同高三角形面积比等于底的比
∴$S_{△ ABE}:S_{△ BDE}=AE:ED=2:1$
设$S_{△ BDE}=S$，则$S_{△ ABE}=2S$
4. 计算△ABC的总面积：
由$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=4:9$，代入$S_{△ ABE}=2S$，得$2S:S_{△ ACD}=4:9$，解得$S_{△ ACD}=\frac{9}{2}S$
$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=2S+S=3S$
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3S+\frac{9}{2}S=\frac{15}{2}S$
5. 求面积比：
$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=S:\frac{15}{2}S=2:15$
【答案】
$\boxed{2:15}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积比例关系，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查相似三角形和三角形面积的比例性质，解题的关键是准确识别相似三角形，区分相似三角形面积比（等于相似比的平方）和同高三角形面积比（等于对应底的比）的适用场景，通过设参数的方法可以简化比例推导过程。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用角平分线性质和已知等角，通过两角分别相等证明△ABE∽△ACD，得到相似比；2. 利用同高三角形面积比等于底的比，推导△ABE与△BDE的面积关系；3. 结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△ACD的面积，再计算△ABC的总面积，最终得到面积比。
首先由AD平分∠BAC得∠BAE=∠CAD，结合∠ABE=∠C可证△ABE∽△ACD；已知AE:ED=2:1，可得AE:AD=2:3，即相似比为2:3，面积比为4:9；再由△ABE和△BDE同高，底AE:ED=2:1，得二者面积比为2:1，设△BDE面积为S，即可依次推导各部分面积求比值。
【解析】
1. 证明三角形相似：
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAD
又
∵∠ABE=∠C，
∴△ABE∽△ACD（两角分别相等的两个三角形相似）
2. 求相似比与对应面积比：
∵AE:ED=2:1，
∴AE:AD=AE:(AE+ED)=2:3
相似三角形面积比等于相似比的平方，故$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=2^2:3^2=4:9$
3. 推导△ABE与△BDE的面积关系：
△ABE和△BDE同高，底分别为AE、ED，同高三角形面积比等于底的比
∴$S_{△ ABE}:S_{△ BDE}=AE:ED=2:1$
设$S_{△ BDE}=S$，则$S_{△ ABE}=2S$
4. 计算△ABC的总面积：
由$S_{△ ABE}:S_{△ ACD}=4:9$，代入$S_{△ ABE}=2S$，得$2S:S_{△ ACD}=4:9$，解得$S_{△ ACD}=\frac{9}{2}S$
$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=2S+S=3S$
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=3S+\frac{9}{2}S=\frac{15}{2}S$
5. 求面积比：
$S_{△ BDE}:S_{△ ABC}=S:\frac{15}{2}S=2:15$
【答案】
$\boxed{2:15}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形面积比例关系，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查相似三角形和三角形面积的比例性质，解题的关键是准确识别相似三角形，区分相似三角形面积比（等于相似比的平方）和同高三角形面积比（等于对应底的比）的适用场景，通过设参数的方法可以简化比例推导过程。
【难度系数】
0.6
