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10. 在$□ ABCD$中，M是边AD上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=$
1:9或4:9
。答案
10.1:9或4:9
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等。由AD//BC可推出△MOD与△COB相似，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此解题关键是求两个三角形的相似比即MD与BC的比值。题目中仅说明M是AD的三等分点，未明确MD的长度占比，因此需要分两种情况讨论：①MD为AD的$\frac{1}{3}$；②MD为AD的$\frac{2}{3}$，分别计算相似比再求面积比即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ODM=∠OBC，∠OMD=∠OCB，
∴△MOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵M是AD上的三等分点，分两种情况讨论：
①当$MD=\frac{1}{3}AD$时，$\frac{MD}{BC}=\frac{MD}{AD}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=1:9$；
②当$MD=\frac{2}{3}AD$时，$\frac{MD}{BC}=\frac{MD}{AD}=\frac{2}{3}$，
同理可得：
$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$。
综上，两个三角形的面积比为1:9或4:9。
【答案】
1:9或4:9
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三等分点存在两种位置导致漏解，解题时需先明确不确定点的所有可能位置，再结合图形性质和相似三角形的相关定理求解即可。
【难度系数】
0.6
首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等。由AD//BC可推出△MOD与△COB相似，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此解题关键是求两个三角形的相似比即MD与BC的比值。题目中仅说明M是AD的三等分点，未明确MD的长度占比，因此需要分两种情况讨论：①MD为AD的$\frac{1}{3}$；②MD为AD的$\frac{2}{3}$，分别计算相似比再求面积比即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ODM=∠OBC，∠OMD=∠OCB，
∴△MOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵M是AD上的三等分点，分两种情况讨论：
①当$MD=\frac{1}{3}AD$时，$\frac{MD}{BC}=\frac{MD}{AD}=\frac{1}{3}$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=1:9$；
②当$MD=\frac{2}{3}AD$时，$\frac{MD}{BC}=\frac{MD}{AD}=\frac{2}{3}$，
同理可得：
$S_{△ MOD}:S_{△ COB}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}=4:9$。
综上，两个三角形的面积比为1:9或4:9。
【答案】
1:9或4:9
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三等分点存在两种位置导致漏解，解题时需先明确不确定点的所有可能位置，再结合图形性质和相似三角形的相关定理求解即可。
【难度系数】
0.6
11.如图，M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是1，4，9，则△ABC的面积是
36
。答案
11. 36
解析
【分析】
首先，根据题意，过M作△ABC三边的平行线，得到的三个阴影小三角形均与△ABC相似，也互相相似。根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先由三个小三角形的面积求出它们的相似比。再结合平行线构成的平行四边形对边相等的性质，可知三个小三角形的对应边长之和等于△ABC的边长，由此可求出△ABC与最小阴影三角形的相似比，进而求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵过点M作的直线分别平行于△ABC的各边
∴△1、△2、△3都与△ABC相似，且三个小三角形两两相似
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$S_{△ 1}=1$，$S_{△ 2}=4$，$S_{△ 3}=9$
∴三个小三角形的相似比为$\sqrt{S_{△ 1}}:\sqrt{S_{△ 2}}:\sqrt{S_{△ 3}}=\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$
设△1的对应边长为$a$，则△2的对应边长为$2a$，△3的对应边长为$3a$
由图中平行线构成的平行四边形对边相等可得，△ABC的边长为$a+2a+3a=6a$
∴△ABC与△1的相似比为$6a:a=6:1$，面积比为$6^2:1^2=36:1$
∴$S_{△ ABC}=36× S_{△ 1}=36×1=36$
【答案】
36
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，同时结合平行四边形对边相等的性质找到大三角形与小三角形的边长关系，对学生的图形观察能力和知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先，根据题意，过M作△ABC三边的平行线，得到的三个阴影小三角形均与△ABC相似，也互相相似。根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，我们可以先由三个小三角形的面积求出它们的相似比。再结合平行线构成的平行四边形对边相等的性质，可知三个小三角形的对应边长之和等于△ABC的边长，由此可求出△ABC与最小阴影三角形的相似比，进而求出△ABC的面积。
【解析】
解：
∵过点M作的直线分别平行于△ABC的各边
∴△1、△2、△3都与△ABC相似，且三个小三角形两两相似
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知$S_{△ 1}=1$，$S_{△ 2}=4$，$S_{△ 3}=9$
∴三个小三角形的相似比为$\sqrt{S_{△ 1}}:\sqrt{S_{△ 2}}:\sqrt{S_{△ 3}}=\sqrt{1}:\sqrt{4}:\sqrt{9}=1:2:3$
设△1的对应边长为$a$，则△2的对应边长为$2a$，△3的对应边长为$3a$
由图中平行线构成的平行四边形对边相等可得，△ABC的边长为$a+2a+3a=6a$
∴△ABC与△1的相似比为$6a:a=6:1$，面积比为$6^2:1^2=36:1$
∴$S_{△ ABC}=36× S_{△ 1}=36×1=36$
【答案】
36
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，同时结合平行四边形对边相等的性质找到大三角形与小三角形的边长关系，对学生的图形观察能力和知识综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图,在ABCD中,AE:EB=2:3,DE交AC于点F。
(1)求证:△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm²,求△AEF的面积。
(1)求证:△AEF∽△CDF；
(2)求△AEF与△CDF的周长之比；
(3)如果△CDF的面积为20 cm²,求△AEF的面积。
答案
12.(1)证明:$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore DC// AB$,
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$,
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解:由(1)知$△ AEF∽△ CDF$,
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:由(1)知$△ AEF∽△ CDF$,$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm^2}$,$\therefore △ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
$\therefore DC// AB$,
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$,
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解:由(1)知$△ AEF∽△ CDF$,
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{5}$。
(3)解:由(1)知$△ AEF∽△ CDF$,$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm^2}$,$\therefore △ AEF$的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
解析
【分析】
(1)要证明△AEF∽△CDF，可通过两角对应相等的判定定理推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到DC//AB，进而得到两组相等的内错角，即可证明两个三角形相似。
(2)求相似三角形的周长比，根据相似三角形性质：相似三角形周长比等于相似比。结合平行四边形对边相等的性质，由已知AE:EB=2:3推出AE与CD的比值，即可得到周长比。
(3)求△AEF的面积，根据相似三角形性质：相似三角形面积比等于相似比的平方。先推导两个三角形的面积比，再代入△CDF的面积即可计算出△AEF的面积。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解：由(1)知$△ AEF∽△ CDF$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，$\therefore AE:AB=2:(2+3)=2:5$，即$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
(3)解：由(1)知$△ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm^2}$，
$\therefore S_{△AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)△AEF与△CDF的周长之比为$\frac{2}{5}$；
(3)△AEF的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查平行四边形性质和相似三角形的判定及性质，解题时先证明三角形相似是前提，准确运用相似比和周长比、面积比的关系是关键，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△AEF∽△CDF，可通过两角对应相等的判定定理推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到DC//AB，进而得到两组相等的内错角，即可证明两个三角形相似。
(2)求相似三角形的周长比，根据相似三角形性质：相似三角形周长比等于相似比。结合平行四边形对边相等的性质，由已知AE:EB=2:3推出AE与CD的比值，即可得到周长比。
(3)求△AEF的面积，根据相似三角形性质：相似三角形面积比等于相似比的平方。先推导两个三角形的面积比，再代入△CDF的面积即可计算出△AEF的面积。
【解析】
(1)证明：$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore DC// AB$，
$\therefore ∠ CDF=∠ AEF,∠ DCF=∠ EAF$，
$\therefore △ AEF∽△ CDF$。
(2)解：由(1)知$△ AEF∽△ CDF$，
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD=AB$，
$\because AE:EB=2:3$，$\therefore AE:AB=2:(2+3)=2:5$，即$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$，
$\therefore △ AEF$与$△ CDF$的周长之比为$\frac{AE}{CD}=\frac{2}{5}$。
(3)解：由(1)知$△ AEF∽△ CDF$，
$\therefore \frac{S_{△ CDF}}{S_{△ AEF}}=(\frac{CD}{AE})^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$。
$\because △ CDF$的面积为$20\ \mathrm{cm^2}$，
$\therefore S_{△AEF}=20×\frac{4}{25}=\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)△AEF与△CDF的周长之比为$\frac{2}{5}$；
(3)△AEF的面积为$\frac{16}{5}\ \mathrm{cm^2}$。
【知识点】
1.平行四边形的性质
2.相似三角形的判定
3.相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查平行四边形性质和相似三角形的判定及性质，解题时先证明三角形相似是前提，准确运用相似比和周长比、面积比的关系是关键，熟练掌握相关知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
13.问题1:如图①,在$△ ABC$中,$AB=4$,D是AB上一点(不与点A,B重合),$DE// BC$交AC于点E,连接CD。设$△ ABC$的面积为S,$△ DEC$的面积(阴影部分)为$S'$。
(1)当$AD=3$时,$\frac{S'}{S}=$
(2)设$AD=m$,请你用含字母m的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
问题2:如图②,在四边形ABCD中,$AB=4$,$AD// BC$,$AD=\frac{1}{2}BC$,E是AB上一点(不与点A,B重合),$EF// BC$,交CD于点F,连接CE。设$AE=n$,四边形ABCD的面积为S,$△ EFC$的面积(阴影部分)为$S'$。请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
(1)当$AD=3$时,$\frac{S'}{S}=$
$\frac{3}{16}$
。(2)设$AD=m$,请你用含字母m的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
问题2:如图②,在四边形ABCD中,$AB=4$,$AD// BC$,$AD=\frac{1}{2}BC$,E是AB上一点(不与点A,B重合),$EF// BC$,交CD于点F,连接CE。设$AE=n$,四边形ABCD的面积为S,$△ EFC$的面积(阴影部分)为$S'$。请你利用问题1的解法或结论,用含字母n的代数式表示$\frac{S'}{S}$。
答案
13.解:问题1:
(1)$\frac{3}{16}$
(2)$\because AB=4$,$AD=m$,$\therefore BD=4-m$。
$\because DE// BC$,
$\therefore \frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{4-m}{m}$,$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}$。
$\because DE// BC$,
$\therefore △ ADE∽△ ABC$,
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}$,
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}·\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4-m}{m}·\frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16}$,
即$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$。
问题2:
如图,连接AC交EF于点M。
$\because AD// BC$,且$AD=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$,$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{3}S$,$S_{△ ABC}=\frac{2}{3}S$。
由问题1的结论可知$\frac{S_{△ EMC}}{S_{△ ABC}}=\frac{-n^2+4n}{16}$。
$\because MF// AD$,$\therefore △ CFM∽△ CDA$,
$\therefore \frac{S_{△ CFM}}{S_{△ CDA}}=\frac{S_{△ CFM}}{\frac{1}{3}S}=3×\frac{S_{△ CFM}}{S}=(\frac{4-n}{4})^2$,
$\therefore S_{△ CFM}=\frac{(4-n)^2}{48}· S$,
$\therefore S_{△ EFC}=S_{△ EMC}+S_{△ CFM}=\frac{-n^2+4n}{16}·\frac{2}{3}S+\frac{(4-n)^2}{48}· S=\frac{16-n^2}{48}· S$,即$S'=\frac{16-n^2}{48}· S$,
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
解析
【分析】
问题1思路：
(1) 先利用平行线判定△ADE与△ABC相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到△ADE和△ABC的面积比；再观察△DEC和△ADE为同高三角形，面积比等于底CE与AE的比，结合平行线分线段成比例可得到该比值，两个比值相乘即可得到阴影部分与△ABC的面积比。
(2) 将AD的长度换成m，沿用(1)的逻辑：先表示出BD=4-m，再分别求△ADE和△ABC的面积比、△DEC和△ADE的面积比，两者相乘即可得到含m的比值代数式。
问题2思路：
作辅助线连接AC，将梯形ABCD拆分为△ADC和△ABC，根据AD和BC的长度关系，结合两三角形同高的特点，得到两个三角形占总面积S的比例；EF与AC交于点M，将阴影△EFC拆为△EMC和△MFC两部分，△EMC直接套用问题1的结论计算面积，△MFC利用与△ADC相似的性质计算面积，两部分相加得到S'后与S作比即可。
【解析】
问题1：
(1) 当$AD=3$时，$BD=4-3=1$，
$\because DE//BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，$\frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
又$\because \frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，$△ DEC$和$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{EA}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{1}{3} × \frac{9}{16}=\frac{3}{16}$。
(2) $\because AB=4$，$AD=m$，$\therefore BD=4-m$。
$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{4-m}{m}$，$△ DEC$和$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}$，
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}·\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4-m}{m}·\frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16}$，
即$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$。
问题2：
如图,连接AC交EF于点M。
$\because AD// BC$,且$AD=\frac{1}{2}BC$，$△ ADC$和$△ ABC$同高，面积比等于底的比，
$\therefore \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{3}S$，$S_{△ ABC}=\frac{2}{3}S$。
由问题1的结论可知$\frac{S_{△ EMC}}{S_{△ ABC}}=\frac{-n^2+4n}{16}$。
$\because MF// AD$，$\therefore △ CFM∽△ CDA$，相似比为$\frac{CF}{CD}=\frac{BE}{AB}=\frac{4-n}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ CFM}}{S_{△ CDA}}=\frac{S_{△ CFM}}{\frac{1}{3}S}=(\frac{4-n}{4})^2$，
$\therefore S_{△ CFM}=\frac{(4-n)^2}{48}· S$，
$\therefore S_{△ EFC}=S_{△ EMC}+S_{△ CFM}=\frac{-n^2+4n}{16}·\frac{2}{3}S+\frac{(4-n)^2}{48}· S=\frac{16-n^2}{48}· S$，即$S'=\frac{16-n^2}{48}· S$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
【答案】
问题1:
(1)$\frac{3}{16}$
(2)$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$
问题2:
$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积比，割补法求面积
【点评】
本题是相似三角形性质的综合应用题型，体现了从特殊到一般、从三角形到四边形的知识迁移逻辑，解题的核心是将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，灵活复用已推导的结论简化计算，能有效锻炼转化思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
问题1思路：
(1) 先利用平行线判定△ADE与△ABC相似，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到△ADE和△ABC的面积比；再观察△DEC和△ADE为同高三角形，面积比等于底CE与AE的比，结合平行线分线段成比例可得到该比值，两个比值相乘即可得到阴影部分与△ABC的面积比。
(2) 将AD的长度换成m，沿用(1)的逻辑：先表示出BD=4-m，再分别求△ADE和△ABC的面积比、△DEC和△ADE的面积比，两者相乘即可得到含m的比值代数式。
问题2思路：
作辅助线连接AC，将梯形ABCD拆分为△ADC和△ABC，根据AD和BC的长度关系，结合两三角形同高的特点，得到两个三角形占总面积S的比例；EF与AC交于点M，将阴影△EFC拆为△EMC和△MFC两部分，△EMC直接套用问题1的结论计算面积，△MFC利用与△ADC相似的性质计算面积，两部分相加得到S'后与S作比即可。
【解析】
问题1：
(1) 当$AD=3$时，$BD=4-3=1$，
$\because DE//BC$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，$\frac{S_{△ ADE}}{S}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
又$\because \frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{3}$，$△ DEC$和$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{EA}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{1}{3} × \frac{9}{16}=\frac{3}{16}$。
(2) $\because AB=4$，$AD=m$，$\therefore BD=4-m$。
$\because DE// BC$，
$\therefore \frac{CE}{EA}=\frac{BD}{AD}=\frac{4-m}{m}$，$△ DEC$和$△ ADE$同高，$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}=\frac{CE}{AE}=\frac{4-m}{m}$。
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$，
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{m}{4})^2=\frac{m^2}{16}$，
$\therefore \frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ DEC}}{S_{△ ADE}}·\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4-m}{m}·\frac{m^2}{16}=\frac{-m^2+4m}{16}$，
即$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$。
问题2：
如图,连接AC交EF于点M。
$\because AD// BC$,且$AD=\frac{1}{2}BC$，$△ ADC$和$△ ABC$同高，面积比等于底的比，
$\therefore \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{3}S$，$S_{△ ABC}=\frac{2}{3}S$。
由问题1的结论可知$\frac{S_{△ EMC}}{S_{△ ABC}}=\frac{-n^2+4n}{16}$。
$\because MF// AD$，$\therefore △ CFM∽△ CDA$，相似比为$\frac{CF}{CD}=\frac{BE}{AB}=\frac{4-n}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ CFM}}{S_{△ CDA}}=\frac{S_{△ CFM}}{\frac{1}{3}S}=(\frac{4-n}{4})^2$，
$\therefore S_{△ CFM}=\frac{(4-n)^2}{48}· S$，
$\therefore S_{△ EFC}=S_{△ EMC}+S_{△ CFM}=\frac{-n^2+4n}{16}·\frac{2}{3}S+\frac{(4-n)^2}{48}· S=\frac{16-n^2}{48}· S$，即$S'=\frac{16-n^2}{48}· S$，
$\therefore \frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$。
【答案】
问题1:
(1)$\frac{3}{16}$
(2)$\frac{S'}{S}=\frac{-m^2+4m}{16}$
问题2:
$\frac{S'}{S}=\frac{16-n^2}{48}$
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积比，割补法求面积
【点评】
本题是相似三角形性质的综合应用题型，体现了从特殊到一般、从三角形到四边形的知识迁移逻辑，解题的核心是将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形问题，灵活复用已推导的结论简化计算，能有效锻炼转化思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
