8.如图,在$△ ABC$中,$EF// BC,AD⊥ BC$交EF于点M。若$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3},AD=\sqrt{3}$,则AM=。

8.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$

【分析】
首先观察图形，已知$EF// BC$，可先判定$△ AEF$与$△ ABC$相似；再由$AD⊥ BC$、$EF// BC$可得$AM$是$△ AEF$的高，$AD$是$△ ABC$的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，结合已知的相似比和$AD$的长度，即可求出$AM$的长。
【解析】
解：$\because EF// BC$，
$\therefore ∠ AEF=∠ B$，$∠ AFE=∠ C$，
$\therefore △ AEF∽△ ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$\because AD⊥ BC$，$EF// BC$，
$\therefore AD⊥ EF$，即$AM$是$△ AEF$中$EF$边上的高，$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的高。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$，
$\because AD=\sqrt{3}$，
$\therefore AM=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用，解题的关键是根据平行线判定三角形相似，明确相似三角形对应高的比等于相似比，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8

9.如图，在$△ ABC$中，点$F,G$在$BC$上，点$E,H$分别在$AB,AC$上，四边形$EFGH$是矩形，$EH=2EF$，$AD$是$△ ABC$的高，$BC=8$，$AD=6$，那么$EH$的长为________。

9.$\frac{24}{5}$

【分析】
首先观察图形，矩形EFGH内接于△ABC中，可得EH//BC，进而可推出△AEH∽△ABC；根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，我们可以设未知数列方程求解。首先设EF的长为x，由EH=2EF可得EH=2x，△ABC的高AD长为6，那么△AEH对应边上的高为AD - EF = 6 - x，结合BC=8的条件，代入相似比的等式即可求出x，进而得到EH的长度。
【解析】
解：
∵四边形EFGH是矩形
∴EH//BC，EF⊥BC
又
∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC
∴EH//BC，△AEH的高为$AD - EF$
∴$△ AEH ∽ △ ABC$
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EH}{BC} = \frac{AD - EF}{AD}$
设$EF = x$，则$EH = 2EF = 2x$，代入$BC=8$，$AD=6$得：
$\frac{2x}{8} = \frac{6 - x}{6}$
交叉相乘得：$12x = 8(6 - x)$
展开得：$12x = 48 - 8x$
移项合并同类项得：$20x = 48$
解得：$x = \frac{12}{5}$
∴$EH = 2x = 2×\frac{12}{5} = \frac{24}{5}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是相似三角形在几何计算中的典型应用，解题的关键是利用矩形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，是较为基础的常考题型。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$△ ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,$△ ADE ∽ △ ACB$,相似比为$AD:AC=2:3$,$△ ACB$的角平分线AF交DE于点G,交BC于点F,求AG与GF的比。

10.解：$\because △ADE∽△ACB$，
$\therefore ∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC$。
$\because AF$是$∠BAC$的平分线，
$\therefore ∠BAF=∠CAF$。
$\because ∠AGD=∠CAF+∠AED$，
$∠AFC=∠BAF+∠ABC$，
$\therefore ∠AGD=∠AFC,\therefore △AGD∽△AFC$，
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3},\therefore AG:GF=2:1$。

【分析】
解题时首先利用已知的$△ ADE∽△ ACB$得到对应角相等，再结合AF是$∠ BAC$的角平分线得到一组等角，随后通过三角形外角的性质推导得到两组对应角相等，证明包含AG、AF的两个三角形相似，利用已知相似比得到AG与AF的比值，最后将AF转化为$AG+GF$，即可求出AG与GF的比值。
【解析】
解：$\because △ ADE∽△ ACB$，
$\therefore ∠ ADE=∠ ACB,∠ AED=∠ ABC$。
$\because AF$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAF=∠ CAF$。
$\because ∠ AGD=∠ CAF+∠ AED$，$∠ AFC=∠ BAF+∠ ABC$，
$\therefore ∠ AGD=∠ AFC$，
$\therefore △ AGD∽△ AFC$，
$\therefore \frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore AG:GF=2:(3-2)=2:1$。
【答案】
$AG:GF=2:1$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题核心是通过已知相似三角形的性质推导等角，结合角平分线、外角性质证明新的相似关系，进而得到线段比例，熟练掌握相似三角形的相关性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7

11.(2025·扬州二模)(1)如图①,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,若$AC=4$,$BC=3$,$∠ C=90°$,$DE ⊥ AC$,且$DE=DB$,求$AD$的长;
(2)如图②,已知$△ ABC$,若边$AB$上存在一点$M$,边$AC$上存在一点$N$,使$MB=MN$,且$△ AMN ∽ △ ABC$,请利用没有刻度的直尺和圆规,作出符合条件的线段$MN$。(注:不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及的点用字母进行标注)

11.解:(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$AC=4,BC=3$，
$\therefore AB=5$。
$\because DE⊥AC,∠C=90°$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore △ADE∽△ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{5-AD}{3}=\frac{AD}{5}$，
解得$AD=\frac{25}{8}$，
故$AD$的长为$\frac{25}{8}$。
(2)如图,作$∠B$的平分线$BN$,交$AC$于点$N$,作$BN$的垂直平分线$MG$,交$AB$于点$M$,$MN$即为所求。

【分析】
(1) 求AD的长时，首先可在Rt△ABC中用勾股定理先算出斜边AB的长度；再根据DE⊥AC、∠C=90°推出DE//BC，得到△ADE∽△ABC；结合DE=DB的条件，把DE用含AD的式子表示，代入相似三角形对应边成比例的关系列方程，即可求解AD。
(2) 要满足MB=MN，根据垂直平分线的性质，只需让点M在BN的垂直平分线上即可；要满足△AMN∽△ABC，需要对应角相等，因此先作∠ABC的平分线得到等角，再作BN的垂直平分线，即可同时满足两个条件，得到所求线段MN。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$AC=4$，$BC=3$，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
$\because DE⊥ AC$，$∠ C=90°$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$。
$\because DE=DB$，$DB=AB-AD=5-AD$，
$\therefore$ 代入比例式得 $\frac{5-AD}{3}=\frac{AD}{5}$，
解得 $AD=\frac{25}{8}$。
(2) 先作$∠ B$的平分线$BN$，交$AC$于点$N$，再作$BN$的垂直平分线$MG$，交$AB$于点$M$，连接$MN$即为所求。
【答案】
(1) $AD$的长为$\frac{25}{8}$；
(2)
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，尺规作图
【点评】
本题结合了几何计算与尺规作图两类考点，第一问通过相似性质列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用；第二问需要结合等腰三角形、相似三角形的性质推导作图思路，考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7