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8.关于x的一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 -1=0$的根的情况是（
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
C
）。A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.实数根的个数与实数a的取值有关
答案
8.C
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需用根的判别式$\Delta =b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。首先确定方程对应的二次项系数、一次项系数、常数项，注意不要将方程中的参数$a$和判别式公式里的二次项系数$a$混淆，代入公式计算判别式的值，根据结果的正负即可判断根的情况。
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 -1=0$，二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$a^2-1$。
代入根的判别式公式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a)^2 - 4×1×(a^2 - 1)\\&=4a^2 -4a^2 +4\\&=4\end{aligned}$
因为$\Delta=4＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】根的判别式；整式化简
【点评】本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，计算判别式时整式化简结果为固定正数，和参数$a$的取值无关，熟练掌握判别式的意义即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 + 2ax + a^2 -1=0$，二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$a^2-1$。
代入根的判别式公式得：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a)^2 - 4×1×(a^2 - 1)\\&=4a^2 -4a^2 +4\\&=4\end{aligned}$
因为$\Delta=4＞0$，所以该方程有两个不相等的实数根。
【答案】C
【知识点】根的判别式；整式化简
【点评】本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，计算判别式时整式化简结果为固定正数，和参数$a$的取值无关，熟练掌握判别式的意义即可快速解题。
【难度系数】0.8
9.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + 3x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的值可以是（
A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
B
）。A.0
B.$-1$
C.$-2$
D.$-3$
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程会退化为一元一次方程；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。先根据这两个条件求出a的取值范围，再对照选项筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵$ax^2 + 3x - 2 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数$a≠0$，直接排除A选项。
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$b=3$，$c=-2$
代入得：$\Delta=3^2 - 4× a×(-2)=9+8a＞0$
解不等式：$8a＞-9$，即$a＞-\frac{9}{8}=-1.125$
结合$a≠0$的前提，a的取值范围是$a＞-1.125$且$a≠0$
对照剩余选项：
B选项$-1＞-1.125$，符合要求；C选项$-2$、D选项$-3$均小于$-1.125$，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，解题时要先确定方程类型，再结合根的判别式求解参数范围，最后验证选项即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需明确两个核心条件：一是一元二次方程的二次项系数不能为0，否则方程会退化为一元一次方程；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式大于0。先根据这两个条件求出a的取值范围，再对照选项筛选出符合要求的数值即可。
【解析】
解：
∵$ax^2 + 3x - 2 = 0$是一元二次方程
∴二次项系数$a≠0$，直接排除A选项。
∵方程有两个不相等的实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$b=3$，$c=-2$
代入得：$\Delta=3^2 - 4× a×(-2)=9+8a＞0$
解不等式：$8a＞-9$，即$a＞-\frac{9}{8}=-1.125$
结合$a≠0$的前提，a的取值范围是$a＞-1.125$且$a≠0$
对照剩余选项：
B选项$-1＞-1.125$，符合要求；C选项$-2$、D选项$-3$均小于$-1.125$，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式
【点评】
本题易错点是容易遗漏“一元二次方程二次项系数不为0”的前提条件，解题时要先确定方程类型，再结合根的判别式求解参数范围，最后验证选项即可。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x$的一元二次方程$(1 - k)x^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k ＞ 2$
B.$k ＜ 2$
C.$k ＜ 2$且$k ≠ 1$
D.$k ＞ -2$且$k ≠ 1$
C
)。A.$k ＞ 2$
B.$k ＜ 2$
C.$k ＜ 2$且$k ≠ 1$
D.$k ＞ -2$且$k ≠ 1$
答案
10.C
解析
【分析】
解题时需要考虑两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件，很容易被忽略；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的交集，就能得到最终的k的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$1 - k ≠ 0$，解得$k ≠ 1$。
2. 方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a = 1 - k$，$b = -2$，$c = -1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × (1 - k) × (-1) ＞ 0$
计算得：$4 + 4(1 - k) ＞ 0$
化简得：$8 - 4k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ 2$。
3. 结合两个条件，k的取值范围是$k ＜ 2$且$k ≠ 1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于易错题，很多学生容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，只根据判别式求解得到错误答案，解题时要先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况计算参数范围。
【难度系数】
0.7
解题时需要考虑两个核心条件：一是题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是前提条件，很容易被忽略；二是方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0。先分别根据两个条件求出k的取值范围，再取两个范围的交集，就能得到最终的k的取值范围。
【解析】
1. 由一元二次方程的定义可知，二次项系数不为0：
$1 - k ≠ 0$，解得$k ≠ 1$。
2. 方程有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a = 1 - k$，$b = -2$，$c = -1$，代入得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × (1 - k) × (-1) ＞ 0$
计算得：$4 + 4(1 - k) ＞ 0$
化简得：$8 - 4k ＞ 0$
解不等式得：$k ＜ 2$。
3. 结合两个条件，k的取值范围是$k ＜ 2$且$k ≠ 1$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于易错题，很多学生容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提，只根据判别式求解得到错误答案，解题时要先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况计算参数范围。
【难度系数】
0.7
11.关于x的一元二次方程$ax^2+bx+1=0$有两个相等的实数根,写出一组满足条件的实数$a,b$的值:$a=$
1
,$b=$2(答案不唯一)
。答案
11.1 2(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心条件：①方程是一元二次方程，因此二次项系数a不能为0；②方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0。首先回忆判别式公式Δ=b²-4ac，代入题中方程的常数项c=1，即可得到a和b的等量关系b²=4a，再任意选取一组满足该关系且a≠0的数值即可，由于b²是非负数，因此a需要取正数，比如先取a=1，即可算出对应的b值。
【解析】
∵ 方程$ax^2+bx+1=0$是一元二次方程
∴ $a≠0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
将方程中$c=1$代入得：$b^2 - 4a = 0$，即$b^2=4a$
取$a=1$，则$b^2=4×1=4$，可得$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a＞0$即可）
【答案】
1；2（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对一元二次方程根的判别式的运用，解题时需注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，只要满足推导得到的a、b等量关系的取值都符合要求。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两个核心条件：①方程是一元二次方程，因此二次项系数a不能为0；②方程有两个相等的实数根，对应一元二次方程根的判别式Δ=0。首先回忆判别式公式Δ=b²-4ac，代入题中方程的常数项c=1，即可得到a和b的等量关系b²=4a，再任意选取一组满足该关系且a≠0的数值即可，由于b²是非负数，因此a需要取正数，比如先取a=1，即可算出对应的b值。
【解析】
∵ 方程$ax^2+bx+1=0$是一元二次方程
∴ $a≠0$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
将方程中$c=1$代入得：$b^2 - 4a = 0$，即$b^2=4a$
取$a=1$，则$b^2=4×1=4$，可得$b=2$（取值不唯一，满足$b^2=4a$且$a＞0$即可）
【答案】
1；2（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对一元二次方程根的判别式的运用，解题时需注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件，只要满足推导得到的a、b等量关系的取值都符合要求。
【难度系数】
0.8
12.【阅读理解】阅读下面的材料：
已知方程$x^2 + x -5=0$，求一个一元二次方程，使得它的实数根是已知方程的
实数根的3倍。
解:设所求方程的实数根为$y$,则$y=3x$,即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程,得$(\frac{y}{3})^2 + \frac{y}{3} -5=0$。
化简,得$y^2 +3y -45=0$。
故所求方程为$y^2 +3y -45=0$。
这种利用方程的根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程$x^2 +x -3=0$,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的2倍,则所求方程为
(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$有两个不等于0的实数根,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的相反数。
已知方程$x^2 + x -5=0$，求一个一元二次方程，使得它的实数根是已知方程的
实数根的3倍。
解:设所求方程的实数根为$y$,则$y=3x$,即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程,得$(\frac{y}{3})^2 + \frac{y}{3} -5=0$。
化简,得$y^2 +3y -45=0$。
故所求方程为$y^2 +3y -45=0$。
这种利用方程的根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请用“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式)。
(1)已知方程$x^2 +x -3=0$,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的2倍,则所求方程为
$y^2+2y-12=0$
;(2)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$有两个不等于0的实数根,求一个一元二次方程,使它的实数根是已知方程的实数根的相反数。
答案
解:(1)$y^2+2y-12=0$
(2)设所求方程的根为$y$,则$y=-x(x≠0)$,
于是$x=-y(y≠0)$。
把$x=-y$代入方程$ax^2+bx+c=0$,得
$a(-y)^2+b·(-y)+c=0$,
化简得$ay^2-by+c=0$。
若$c=0$,有$ax^2+bx=0$,于是方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为0,不符合题意，
∴$c≠0$。
故所求方程为$ay^2-by+c=0(a≠0,c≠0)$。
(2)设所求方程的根为$y$,则$y=-x(x≠0)$,
于是$x=-y(y≠0)$。
把$x=-y$代入方程$ax^2+bx+c=0$,得
$a(-y)^2+b·(-y)+c=0$,
化简得$ay^2-by+c=0$。
若$c=0$,有$ax^2+bx=0$,于是方程$ax^2+bx+c=0$有一个根为0,不符合题意，
∴$c≠0$。
故所求方程为$ay^2-by+c=0(a≠0,c≠0)$。
解析
【分析】
本题考查利用“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路如下：1. 先明确新旧方程根的数量关系：(1)中新根是原根的2倍，(2)中新根是原根的相反数；2. 设新方程的根为y，用y表示出原方程的根x；3. 将用y表示的x代入原方程，再化简为一元二次方程的一般形式即可，注意(2)中原方程根不等于0的限制，要排除不符合条件的情况。
【解析】
(1) 设所求方程的实数根为y，则y=2x，即$x=\frac{y}{2}$。
把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程$x^2 +x -3=0$，得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -3=0$，
方程两边同乘4去分母，得$y^2 +2y -12=0$，即所求方程。
(2) 设所求方程的根为y，由题意得新根是原根的相反数，即$y=-x$（$x≠0$），因此$x=-y$（$y≠0$）。
把$x=-y$代入原方程$ax^2 +bx +c=0$（$a≠0$），得$a(-y)^2 + b·(-y) + c=0$，
化简得$ay^2 -by +c=0$。
若$c=0$，则原方程为$ax^2 +bx=0$，会有一个根为0，不符合题目“两个不等于0的实数根”的要求，因此$c≠0$。
综上，所求方程为$ay^2 -by +c=0$（$a≠0,c≠0$）。
【答案】
(1) $y^2 +2y -12=0$
(2) $ay^2 -by +c=0(a≠0,c≠0)$
【知识点】
一元二次方程根的定义；换元法的应用；一元二次方程的化简
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心是读懂题干给出的“换根法”的操作逻辑，解题的关键是准确建立新旧方程根之间的等量关系，代入原方程后正确化简，同时要注意题目给出的限制条件，避免遗漏特殊情况（如本题第二问中c≠0的要求）。
【难度系数】
0.7
本题考查利用“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路如下：1. 先明确新旧方程根的数量关系：(1)中新根是原根的2倍，(2)中新根是原根的相反数；2. 设新方程的根为y，用y表示出原方程的根x；3. 将用y表示的x代入原方程，再化简为一元二次方程的一般形式即可，注意(2)中原方程根不等于0的限制，要排除不符合条件的情况。
【解析】
(1) 设所求方程的实数根为y，则y=2x，即$x=\frac{y}{2}$。
把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程$x^2 +x -3=0$，得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -3=0$，
方程两边同乘4去分母，得$y^2 +2y -12=0$，即所求方程。
(2) 设所求方程的根为y，由题意得新根是原根的相反数，即$y=-x$（$x≠0$），因此$x=-y$（$y≠0$）。
把$x=-y$代入原方程$ax^2 +bx +c=0$（$a≠0$），得$a(-y)^2 + b·(-y) + c=0$，
化简得$ay^2 -by +c=0$。
若$c=0$，则原方程为$ax^2 +bx=0$，会有一个根为0，不符合题目“两个不等于0的实数根”的要求，因此$c≠0$。
综上，所求方程为$ay^2 -by +c=0$（$a≠0,c≠0$）。
【答案】
(1) $y^2 +2y -12=0$
(2) $ay^2 -by +c=0(a≠0,c≠0)$
【知识点】
一元二次方程根的定义；换元法的应用；一元二次方程的化简
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心是读懂题干给出的“换根法”的操作逻辑，解题的关键是准确建立新旧方程根之间的等量关系，代入原方程后正确化简，同时要注意题目给出的限制条件，避免遗漏特殊情况（如本题第二问中c≠0的要求）。
【难度系数】
0.7
