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1.当一元二次方程的等号的一边为0，而另一边能够分解成
两个一次因式
的乘积时，我们就可以使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法
。答案
两个一次因式；因式分解法
解析
【分析】
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时只需回忆对应概念即可：因式分解法的核心逻辑是将一元二次方程转化为两个一元一次方程实现降次求解，前提是方程等号一侧为0，另一侧可分解为两个一次因式的乘积，直接对应概念填写空缺内容即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：当一元二次方程的等号一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使这两个一次因式分别等于0，实现降次求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。因此第一个空填“两个一次因式”，第二个空填“因式分解法”。
【答案】
两个一次因式；因式分解法
【知识点】
因式分解法解一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对一元二次方程因式分解解法核心概念的掌握，熟记相关定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解法解一元二次方程的基本定义，解题时只需回忆对应概念即可：因式分解法的核心逻辑是将一元二次方程转化为两个一元一次方程实现降次求解，前提是方程等号一侧为0，另一侧可分解为两个一次因式的乘积，直接对应概念填写空缺内容即可。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的定义：当一元二次方程的等号一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使这两个一次因式分别等于0，实现降次求出方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。因此第一个空填“两个一次因式”，第二个空填“因式分解法”。
【答案】
两个一次因式；因式分解法
【知识点】
因式分解法解一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对一元二次方程因式分解解法核心概念的掌握，熟记相关定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 因式分解法解一元二次方程的根据：
如果 $ ab=0 $，那么 $ a=$
如果 $ ab=0 $，那么 $ a=$
0
或 $ b=$0
。答案
0；0
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心依据，即零乘积性质。解题时可结合实数乘法的运算规律思考：在实数范围内，两个数相乘结果为0时，两个因数中至少有一个是0，因此只需根据这一规律直接填空即可。
【解析】
根据实数乘法的零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则其中至少有一个实数为0。因此当$ab=0$时，可得$a=0$或$b=0$，两个空均填0。
【答案】
0；0
【知识点】
零乘积性质；因式分解法解方程依据
【点评】
本题属于基础概念类题目，是学习因式分解法解一元二次方程的必备基础知识，熟练掌握该性质是正确使用因式分解法求解方程的前提，属于必须牢牢掌握的内容。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心依据，即零乘积性质。解题时可结合实数乘法的运算规律思考：在实数范围内，两个数相乘结果为0时，两个因数中至少有一个是0，因此只需根据这一规律直接填空即可。
【解析】
根据实数乘法的零乘积性质：若两个实数的乘积为0，则其中至少有一个实数为0。因此当$ab=0$时，可得$a=0$或$b=0$，两个空均填0。
【答案】
0；0
【知识点】
零乘积性质；因式分解法解方程依据
【点评】
本题属于基础概念类题目，是学习因式分解法解一元二次方程的必备基础知识，熟练掌握该性质是正确使用因式分解法求解方程的前提，属于必须牢牢掌握的内容。
【难度系数】
0.9
1.方程$(x-16)(x+8)=0$的实数根是(
A.$x_1=-16,x_2=8$
B.$x_1=16,x_2=-8$
C.$x_1=16,x_2=8$
D.$x_1=-16,x_2=-8$
B
)。A.$x_1=-16,x_2=8$
B.$x_1=16,x_2=-8$
C.$x_1=16,x_2=8$
D.$x_1=-16,x_2=-8$
答案
B
解析
【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0”。解题时只需令方程左边的两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的实数根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知方程$(x-16)(x+8)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，可得：
$x-16=0$ 或 $x+8=0$
解$x-16=0$，得$x_1=16$；
解$x+8=0$，得$x_2=-8$。
因此原方程的实数根为$x_1=16$，$x_2=-8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法解一元二次方程的基本应用，熟练掌握相关原理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心依据是“若两个数的乘积为0，则这两个数中至少有一个为0”。解题时只需令方程左边的两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的实数根，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：已知方程$(x-16)(x+8)=0$，根据因式分解法解一元二次方程的原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，可得：
$x-16=0$ 或 $x+8=0$
解$x-16=0$，得$x_1=16$；
解$x+8=0$，得$x_2=-8$。
因此原方程的实数根为$x_1=16$，$x_2=-8$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法解一元二次方程的基本应用，熟练掌握相关原理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.方程$5x(x+3)=3(x+3)$的解为(
A.$x_1=\frac{3}{5},x_2=3$
B.$x=\frac{3}{5}$
C.$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-3$
D.$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$
D
)。A.$x_1=\frac{3}{5},x_2=3$
B.$x=\frac{3}{5}$
C.$x_1=-\frac{3}{5},x_2=-3$
D.$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$
答案
D
解析
【分析】
首先观察方程两边都含有公因式$(x+3)$，注意不能直接两边同时除以$(x+3)$，因为若$x+3=0$，除以它既无意义，还会丢失$x=-3$这个根。正确思路是先移项，将右边的项移到左边，再提取公因式$(x+3)$，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到所有解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$5x(x+3)-3(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(5x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $5x-3=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=0$时，解得$x_2=-3$；
当$5x-3=0$时，解得$x_1=\frac{3}{5}$。
因此原方程的解为$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是避免直接约去含未知数的公因式导致丢根，熟练掌握移项后提取公因式分解的方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
首先观察方程两边都含有公因式$(x+3)$，注意不能直接两边同时除以$(x+3)$，因为若$x+3=0$，除以它既无意义，还会丢失$x=-3$这个根。正确思路是先移项，将右边的项移到左边，再提取公因式$(x+3)$，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到所有解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$5x(x+3)-3(x+3)=0$
提取公因式$(x+3)$，得：
$(x+3)(5x-3)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x+3=0$ 或 $5x-3=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x+3=0$时，解得$x_2=-3$；
当$5x-3=0$时，解得$x_1=\frac{3}{5}$。
因此原方程的解为$x_1=\frac{3}{5},x_2=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是避免直接约去含未知数的公因式导致丢根，熟练掌握移项后提取公因式分解的方法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
3.用因式分解法解下列方程，其中正确的是(
A.因为$x(x+2)=0$，所以$x+2=0$
B.因为$(x-3)(x-4)=3×4$，所以$x-3=3$或$x-4=4$
C.因为$(2x-2)(3x-4)=0$，所以$2x-2=0$且$3x-4=0$
D.因为$(3x-4)(2x-1)=0$，所以$3x-4=0$或$2x-1=0$
D
)。A.因为$x(x+2)=0$，所以$x+2=0$
B.因为$(x-3)(x-4)=3×4$，所以$x-3=3$或$x-4=4$
C.因为$(2x-2)(3x-4)=0$，所以$2x-2=0$且$3x-4=0$
D.因为$(3x-4)(2x-1)=0$，所以$3x-4=0$或$2x-1=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，首先需明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：如果两个实数的乘积为0，那么这两个实数中至少有一个为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。应用该性质解方程时，必须满足方程左边是两个因式相乘、右边为0的形式，再依据性质逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x(x+2)=0$，根据零乘积性质，应该是$x=0$或$x+2=0$，选项漏了$x=0$的情况，错误；
B选项：方程$(x-3)(x-4)=3×4$的右边是12，不为0，不能直接令两个因式分别等于右边的因数，需先移项将右边化为0再分解因式求解，错误；
C选项：$(2x-2)(3x-4)=0$，只要其中一个因式为0，乘积就为0，因此应为$2x-2=0$或$3x-4=0$，不是“且”的关系，错误；
D选项：$(3x-4)(2x-1)=0$符合左边为因式乘积、右边为0的形式，根据零乘积性质可得$3x-4=0$或$2x-1=0$，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积的性质
【点评】
本题考查因式分解法解方程的核心原理，解题时要注意两个易错点：一是使用因式分解法前必须将方程化为右侧为0的形式，二是乘积为0对应“至少一个因式为0”，是“或”的关系，避免漏解或错用性质。
【难度系数】
0.8
要判断各选项是否正确，首先需明确因式分解法解一元二次方程的核心依据：如果两个实数的乘积为0，那么这两个实数中至少有一个为0，即若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$。应用该性质解方程时，必须满足方程左边是两个因式相乘、右边为0的形式，再依据性质逐一排查选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$x(x+2)=0$，根据零乘积性质，应该是$x=0$或$x+2=0$，选项漏了$x=0$的情况，错误；
B选项：方程$(x-3)(x-4)=3×4$的右边是12，不为0，不能直接令两个因式分别等于右边的因数，需先移项将右边化为0再分解因式求解，错误；
C选项：$(2x-2)(3x-4)=0$，只要其中一个因式为0，乘积就为0，因此应为$2x-2=0$或$3x-4=0$，不是“且”的关系，错误；
D选项：$(3x-4)(2x-1)=0$符合左边为因式乘积、右边为0的形式，根据零乘积性质可得$3x-4=0$或$2x-1=0$，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 零乘积的性质
【点评】
本题考查因式分解法解方程的核心原理，解题时要注意两个易错点：一是使用因式分解法前必须将方程化为右侧为0的形式，二是乘积为0对应“至少一个因式为0”，是“或”的关系，避免漏解或错用性质。
【难度系数】
0.8
4. 方程$x^2 + 2x = 0$的解为
$x_1=0,x_2=-2$
。答案
$x_1=0,x_2=-2$
解析
【分析】
解一元二次方程时首先观察方程的结构特征，本题方程右边为0，左边的多项式$x^2+2x$含有公因式$x$，适合选用因式分解法求解。解题思路为：先将左边的多项式提取公因式，转化为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 2) = 0$
由乘法的性质可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，等式成立；
当$x+2=0$时，解得$x=-2$。
因此原方程的解为$x_1=0,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程的结构特点选择最简便的求解方法，本题使用因式分解法比配方法、公式法运算更快捷，熟练掌握基础的因式分解技巧即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解一元二次方程时首先观察方程的结构特征，本题方程右边为0，左边的多项式$x^2+2x$含有公因式$x$，适合选用因式分解法求解。解题思路为：先将左边的多项式提取公因式，转化为两个一次因式乘积的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解这两个一次方程就能得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 2x = 0$左边提取公因式$x$，可得：
$x(x + 2) = 0$
由乘法的性质可得：
$x = 0$ 或 $x + 2 = 0$
分别解两个一元一次方程：
当$x=0$时，等式成立；
当$x+2=0$时，解得$x=-2$。
因此原方程的解为$x_1=0,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=0,x_2=-2$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程的结构特点选择最简便的求解方法，本题使用因式分解法比配方法、公式法运算更快捷，熟练掌握基础的因式分解技巧即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
5.解一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：
$x+3=0(或x-1=0)$
。答案
$x+3=0(或x-1=0)$
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是先利用十字相乘法将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，任选其一即可作答。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的左边进行因式分解：
利用十字相乘法，将二次项系数1拆为$1×1$，常数项$-3$拆为$3×(-1)$，交叉相乘求和得$1×(-1)+1×3=2$，与一次项系数相等，因此左边可分解为$(x+3)(x-1)$。
原方程转化为$(x+3)(x-1)=0$，根据乘积为0的性质可得$x+3=0$或$x-1=0$，任选其一即为所求。
【答案】
$x+3=0$（或$x-1=0$）
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的降次转化思想，解题核心是熟练掌握十字相乘法分解二次三项式，从而实现将二次方程转化为一次方程求解的目的。
【难度系数】
0.8
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是先利用十字相乘法将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，即可将一元二次方程转化为两个一元一次方程，任选其一即可作答。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的左边进行因式分解：
利用十字相乘法，将二次项系数1拆为$1×1$，常数项$-3$拆为$3×(-1)$，交叉相乘求和得$1×(-1)+1×3=2$，与一次项系数相等，因此左边可分解为$(x+3)(x-1)$。
原方程转化为$(x+3)(x-1)=0$，根据乘积为0的性质可得$x+3=0$或$x-1=0$，任选其一即为所求。
【答案】
$x+3=0$（或$x-1=0$）
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的降次转化思想，解题核心是熟练掌握十字相乘法分解二次三项式，从而实现将二次方程转化为一次方程求解的目的。
【难度系数】
0.8
6.用因式分解法解下列方程：
(1)$2x^2 - 4x = 0$；
(2)$x - 5 + x(x - 5) = 0$；
(3)$x(x - 1) = x$；
(4)$(x + 2)^2 - 36 = 0$。
(1)$2x^2 - 4x = 0$；
(2)$x - 5 + x(x - 5) = 0$；
(3)$x(x - 1) = x$；
(4)$(x + 2)^2 - 36 = 0$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=2$。(2)$x_1=5,x_2=-1$。(3)$x_1=2,x_2=0$。(4)$x_1=4,x_2=-8$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程整理为“左边是若干个一次因式的乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能直接约去含未知数的因式，避免出现漏根的问题。
各小题解题思路：
(1)方程左边有公因式2x，直接提取公因式即可分解；
(2)将$(x-5)$看作整体提取公因式，即可完成因式分解；
(3)先将右边的x移到方程左边，再提取公因式x分解；
(4)左边符合平方差公式的结构特征，用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 对$2x^2 - 4x = 0$提取公因式$2x$，得：
$2x(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$2x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对$x - 5 + x(x - 5) = 0$提取公因式$(x - 5)$，得：
$(x - 5)(1 + x) = 0$
令每个因式为0，得：
$x - 5 = 0$ 或 $1 + x = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
(3) 先将$x(x - 1) = x$移项，得：
$x(x - 1) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x - 1) - 1] = x(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$。
(4) 将$(x + 2)^2 - 36 = 0$变形为平方差形式，得：
$(x + 2)^2 - 6^2 = 0$
用平方差公式分解因式，得：
$(x + 2 + 6)(x + 2 - 6) = 0$
整理得：$(x + 8)(x - 4) = 0$
令每个因式为0，得：
$x + 8 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=2$；(4)$x_1=4,x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，解题的关键是根据方程的特征选择合适的因式分解方法，注意不要随意在方程两边同时除以含未知数的代数式，否则容易漏掉方程的根。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程整理为“左边是若干个一次因式的乘积、右边为0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能直接约去含未知数的因式，避免出现漏根的问题。
各小题解题思路：
(1)方程左边有公因式2x，直接提取公因式即可分解；
(2)将$(x-5)$看作整体提取公因式，即可完成因式分解；
(3)先将右边的x移到方程左边，再提取公因式x分解；
(4)左边符合平方差公式的结构特征，用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 对$2x^2 - 4x = 0$提取公因式$2x$，得：
$2x(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$2x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$。
(2) 对$x - 5 + x(x - 5) = 0$提取公因式$(x - 5)$，得：
$(x - 5)(1 + x) = 0$
令每个因式为0，得：
$x - 5 = 0$ 或 $1 + x = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-1$。
(3) 先将$x(x - 1) = x$移项，得：
$x(x - 1) - x = 0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x - 1) - 1] = x(x - 2) = 0$
令每个因式为0，得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2$。
(4) 将$(x + 2)^2 - 36 = 0$变形为平方差形式，得：
$(x + 2)^2 - 6^2 = 0$
用平方差公式分解因式，得：
$(x + 2 + 6)(x + 2 - 6) = 0$
整理得：$(x + 8)(x - 4) = 0$
令每个因式为0，得：
$x + 8 = 0$ 或 $x - 4 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=2$；(4)$x_1=4,x_2=-8$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，解题的关键是根据方程的特征选择合适的因式分解方法，注意不要随意在方程两边同时除以含未知数的代数式，否则容易漏掉方程的根。
【难度系数】
0.8
