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1. 教材P8T5变式 历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上。证明中用到的面积相等的关系是（
A.$ S_{△ EDA} = S_{△ CEB} $
B.$ S_{△ EDA} + S_{△ CEB} = S_{△ CDE} $
C.$ S_{\mathrm{四边形}CDAE} = S_{\mathrm{四边形}CDEB} $
D.$ S_{△ EDA} + S_{△ CDE} + S_{△ CEB} = S_{\mathrm{四边形}ABCD} $
D
）A.$ S_{△ EDA} = S_{△ CEB} $
B.$ S_{△ EDA} + S_{△ CEB} = S_{△ CDE} $
C.$ S_{\mathrm{四边形}CDAE} = S_{\mathrm{四边形}CDEB} $
D.$ S_{△ EDA} + S_{△ CDE} + S_{△ CEB} = S_{\mathrm{四边形}ABCD} $
答案
1 D 由$ S_{△ EDA} + S_{△ CDE} + S_{△ CEB} = S_{四边形ABCD} $,可知$\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(a + b)^2$,所以$c^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2$,整理得$a^2 + b^2 = c^2$,所以证明中用到的面积相等的关系是$ S_{△ EDA} + S_{△ CDE} + S_{△ CEB} = S_{四边形ABCD} $。
2. 用如图1所示的四个完全一样的直角三角形可以拼成如图2所示的大正方形。解答下列问题：
(1) 请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积。
代数式1：
代数式2：
(2) 根据图2及图形的面积关系，推导a,b,c之间满足的关系式。
(3) 利用(2)的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且$(a+b)^2=49$，求图2中小正方形的面积。
(1) 请用含a,b,c的代数式表示大正方形的面积。
代数式1：
$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab$
。代数式2：
$c^2$
。(2) 根据图2及图形的面积关系，推导a,b,c之间满足的关系式。
(3) 利用(2)的关系式解答：如果大正方形的面积是25，且$(a+b)^2=49$，求图2中小正方形的面积。
答案
解:(1)$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab$ $c^2$
(2)由(1)可知,$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2$,
即$a^2 + b^2 = c^2$。
(3)由(2)知,$a^2 + b^2 = c^2$。
因为$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = 49$,即大正方形的面积与四个直角三角形的面积和为49,
所以四个直角三角形的面积和为$49 - c^2 = 49 - 25 = 24$,
所以小正方形的面积为$25 - 24 = 1$。
(2)由(1)可知,$(a-b)^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2$,
即$a^2 + b^2 = c^2$。
(3)由(2)知,$a^2 + b^2 = c^2$。
因为$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = 49$,即大正方形的面积与四个直角三角形的面积和为49,
所以四个直角三角形的面积和为$49 - c^2 = 49 - 25 = 24$,
所以小正方形的面积为$25 - 24 = 1$。
3. [2025连云港中考]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为
2.4
m。答案
3 2.4 根据勾股定理,得$h^2 + 1.8^2 = 3^2$,解得$h = 2.4$(负值舍去),所以梯子顶端的高度h为2.4 m。
4. 新情境 [2026杭州余杭区月考] 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度$AB=13$分米，小狗的高$CD=3$分米，小狗与小方的距离$AC=24$分米（绳子一直是直的），则牵狗绳$BD=$
26
分米。答案
4 26 如图,过点D作$DE ⊥ AB$于点E,则$AE = CD = 3$分米,$DE = AC = 24$分米,所以$BE = AB - AE = 10$分米,所以$BD^2 = BE^2 + DE^2 = 26^2$,所以$BD = 26$分米,所以牵狗绳BD的长为26分米。
5. 教材P5例题变式 [2026 淄博期末] 如图,已知某高速公路限速 100 km/h,一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶,与这条路平行的直线 l 上的点 C 处有一车速检测仪。某一时刻,大巴车刚好行驶到车速检测仪 C 处正前方 50 m 的 B 处,经过 4 s 后,大巴车到达 A 处,此时测得大巴车与车速检测仪间的距离 AC 为 130 m。
(1)求 AB 的距离。
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速。(参考数据 1 m/s = 3.6 km/h)
(1)求 AB 的距离。
(2)通过计算说明这辆大巴车是否超速。(参考数据 1 m/s = 3.6 km/h)
答案
解:(1)由题意知,$△ ABC$是直角三角形,$AC = 130$ m,$BC = 50$ m,
所以$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 130^2 - 50^2 = 14400 = 120^2$,
所以$AB = 120$ m。
(2)大巴车的速度为$120 ÷ 4 = 30(\mathrm{m/s})$,
$30 × 3.6 = 108(\mathrm{km/h})$,
因为$108 ＞ 100$,
所以这辆大巴车超速了。
所以$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 130^2 - 50^2 = 14400 = 120^2$,
所以$AB = 120$ m。
(2)大巴车的速度为$120 ÷ 4 = 30(\mathrm{m/s})$,
$30 × 3.6 = 108(\mathrm{km/h})$,
因为$108 ＞ 100$,
所以这辆大巴车超速了。
