6. 古题今算 [2026 德州八校联考] 如图，《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，折断后其竹尖恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远。问：原处还有多高的竹子？（1丈 = 10尺）则竹子折断处离地面（）

A.$\frac{81}{20}$ 尺
B.$\frac{91}{20}$ 尺
C.$\frac{81}{19}$ 尺
D.$\frac{91}{19}$ 尺

第6题图 第7题图

设竹子折断处离地面x尺,则折断部分为(10-x)尺,根据勾股定理,得$x^{2}+3^{2}=(10-x)^{2}$,解得$x=\frac{91}{20}$。

7. [2025六盘水期中]如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处。已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米。
(1)梯子的长为米；
(2)若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为米。

(1)在$Rt△ACB$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=2$米,$BC=1.5$米,$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$,所以$AB^{2}=2^{2}+1.5^{2}=6.25$,所以$AB=2.5$米,即梯子的长为2.5米;(2)由题意得$EF=AC+0.4=2.4$米,$BE=AB=2.5$米,所以$BF^{2}=2.5^{2}-2.4^{2}=0.49$,所以$BF=0.7$米,所以$CF=BC+BF=1.5+0.7=2.2$(米)。

8. [2026 宝鸡陈仓区月考]勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一。如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE = 0.7 m，将它往前推3 m至C处时（即水平距离CD = 3 m），踏板离地的垂直高度CF = 2.5 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是。

由题意可知,$CF=2.5\ m$,$BE=0.7\ m$,所以$BD=1.8\ m$。设AC的长为x m,则$AB=AC=x\ m$,所以$AD=AB-BD=(x-1.8)m$。在$Rt△ADC$中,$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$,即$(x-1.8)^{2}+3^{2}=x^{2}$,解得$x=3.4$,即绳索AC的长是3.4 m。

9. 推理能力 [2026佛山南海区期中改编] 数学家赵爽用数形结合形式创制了“赵爽弦图”:如图1,由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中空的部分是一个小正方形,其中直角三角形的两直角边长为$a$,$b$($b＞a＞0$),斜边长为$c$。
(1)在图1中,若$c=15$,$b=12$,则小正方形的边长为。
(2)探索:小邕同学提出了一种证明勾股定理的方法,如图2,点B是正方形ACDE边CD上一点,连接AB,得到$Rt△ACB$,三边分别为$a$,$b$,$c$,将$△ABC$裁剪拼接至$△AEF$位置,如图3所示,用图2、图3的面积不变证明了勾股定理。请你写出该方法证明勾股定理的过程。
(3)拓展:将图1的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图4所示的“数学风车”,若以AB为边的正方形面积为61,$BC=5$,则这个风车的外围周长为。

(1)由勾股定理,得$a^{2}=c^{2}-b^{2}=15^{2}-12^{2}=81$,所以$a=9$,所以小正方形的边长为$b-a=12-9=3$。
(2)如图,连接BF。
因为$AC=b$,所以正方形ACDE的面积为$b^{2}$。
因为$CD=DE=AC=b$,$BC=a$,$EF=BC=a$,
所以$BD=CD-BC=b-a$,$DF=EF+DE=a+b$。
因为$∠CAE=90^{\circ }$,所以$∠BAC+∠BAE=90^{\circ }$,
因为$∠BAC=∠EAF$,所以$∠EAF+∠BAE=90^{\circ }$,
又因为$AB=AF=c$,
所以$△BAF$为等腰直角三角形,
所以四边形ABDF的面积为$\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b-a)(a+b)=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$。
因为正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,
所以$b^{2}=\frac{1}{2}c^{2}+\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$,
所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
(3)由题意知,外延的四部分全等,因为$AB^{2}=61$,$BC^{2}=25$,所以$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=36$,则$AC=6$,所以$AD=AC=6$,$CD=2AC=12$,所以$BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}=25+12^{2}=169$,所以$BD=13$,所以这个风车的外围周长为$4×(BD+AD)=4×(13+6)=76$。