9. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB^2=9$，$AC^2=25$，则$BC^2=$（）

A.16
B.4或34
C.16或34
D.4或24

当∠B=90°时，$BC^2 = AC^2 - AB^2 = 25 - 9 = 16$;当$∠A = 90°$时，$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9 + 25 = 34$。

10. [2025 梅州期末] 小明将一张长为20 cm、宽为15 cm的长方形纸片(AE ＞ DE)剪去了一角，剩余部分如图所示，量得AB = 3 cm，CD = 4 cm，则剪去的直角三角形的斜边长为 ()

A.5 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.20 cm

如图,延长 AB,DC 相交于点 F,则△BFC 是直角三角形,根据勾股定理,得 $BC^2 = BF^2 + FC^2 = (15 - 3)^2 + (20 - 4)^2 = 12^2 + 16^2 = 400$,所以 $BC = 20$ cm,故剪去的直角三角形的斜边长为 20 cm。

11. [2026 苏州高新实验中学月考] 如图,在 $Rt△ ABC$中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$。若 $S_3 + S_2 - S_1 = 18$,则图中阴影部分的面积为 ()

A.$6$
B.$\dfrac{9}{2}$
C.$5$
D.$\dfrac{7}{2}$

在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 $AC^2 + AB^2 = BC^2$,所以 $S_1 + S_2 = S_3$,因为 $S_3 + S_2 - S_1 = 18$,所以 $S_2 = 9$,由题中图形可知,阴影部分的面积为 $\frac{1}{2}S_2$,所以阴影部分的面积为 $\frac{9}{2}$。

变式 [2026 宿州埇桥区月考]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载。勾股定理描述:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图2中的方式放置在最大正方形内,则图2中阴影部分的面积为 ()


A.$\frac{(a+b)^2 - c^2}{4}$
B.$b^2 - a^2$
C.$a(a + b - c)$
D.$c^2 - \frac{1}{2}ab$

以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按题图 2 中的方式放置在最大正方形内,则阴影部分的面积=大正方形的面积-两个小正方形的面积+重叠部分的面积。由勾股定理,得大正方形的面积等于两个小正方形的面积和,所以阴影部分的面积与重叠部分的面积相等,因为重叠部分为一个长方形,且它的长为 a,宽为 a+b-c,所以阴影部分的面积=重叠部分的面积=$a(a + b - c)$。

12. 新趋势·数学文化 [2026 长治潞州区期末改编] 如图，将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形。若 $a=10$，$b=2$，则此勾股形的面积为（）

A.28
B.30
C.32
D.36

设阴影部分的直角三角形的未知直角边长为 x,如图,则 $BC = x + b$,$AC = x + a$,$AB = a + b$,由勾股定理,得 $(x + b)^2 + (a + b)^2 = (x + a)^2$。因为 $a = 10$,$b = 2$,所以 $(x + 2)^2 + (10 + 2)^2 = (x + 10)^2$,所以 $x = 3$,所以 $BC = 3 + 2 = 5$,$AB = 10 + 2 = 12$,所以 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}×12×5 = 30$。

13. 教材P9T6变式 如图,在$△ ABC$中,$BC=13$,$AB=14$,$AC=15$,则$△ ABC$的面积为。

如图,过点 C 作 $CD ⊥ AB$ 于点 D,则 $∠ADC = ∠BDC = 90°$,所以 $AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2 = CD^2$,所以 $15^2 - AD^2 = 13^2 - (14 - AD)^2$,所以 $AD = 9$,所以 $CD^2 = AC^2 - AD^2 = 144$,所以 $CD = 12$,所以 $△ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}×14×12 = 84$。

14. 几何直观 [2026 平顶山月考] 已知:如图,在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $AB = 5$, $AC = 3$, 动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以每秒1个单位长度的速度移动,设运动的时间为 $t$ 秒。
(1) $BC =$ , $AB$ 边上的高 $h =$ ;
(2) 当 $△ ABP$ 为直角三角形时,求 $t$ 的值。

解:(1)$4$ $\frac{12}{5}$
在$Rt△ABC$中,$∠ACB = 90°$,$AB = 5$,$AC = 3$,所以$BC = 4$。因为$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2}AC · BC$,所以$h = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{3×4}{5} = \frac{12}{5}$。
(2) 由题意,得 $BP = t$,
在$Rt△ABP$中,$∠B$ 为锐角,
当$∠APB = 90°$时,$BP = BC$,此时 $t = 4$;
当$∠BAP = 90°$时,,则 $CP = t - 4$,
在$Rt△APC$中,$AP^2 = AC^2 + CP^2 = 3^2 + (t - 4)^2$,
在$Rt△ABP$中,$AP^2 + AB^2 = BP^2$,
所以$3^2 + (t - 4)^2 + 5^2 = t^2$,解得 $t = \frac{25}{4}$。
综上所述,$t$ 的值为$4$或$\frac{25}{4}$。