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1.用6个宽为2 cm的长方形不重叠地拼成一个边长是12 cm的正方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为（
A.$6(2+x)=12×4$
B.$6×2x=12×4$
C.$6×2x=12×12$
D.$6(2+x)×2=12×4$
C
）A.$6(2+x)=12×4$
B.$6×2x=12×4$
C.$6×2x=12×12$
D.$6(2+x)×2=12×4$
答案
1.C
解析
【分析】
解答本题的核心是抓住“拼接前后总面积不变”这一等量关系。首先明确：6个长方形不重叠拼成正方形，6个长方形的总面积和正方形的面积完全相等，只需要分别表示出6个长方形的总面积、正方形的面积，令二者相等即可列出方程。
【解析】
1. 计算6个长方形的总面积：单个长方形的宽为2cm，长为x cm，根据长方形面积公式，单个长方形面积为$2× x=2x\ \mathrm{cm}^2$，因此6个长方形的总面积为$6× 2x\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算正方形的面积：拼成的正方形边长为12 cm，根据正方形面积公式，面积为$12×12\ \mathrm{cm}^2$。
3. 根据拼接前后面积相等的等量关系，可列方程：$6× 2x=12×12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等积变形问题，一元一次方程的应用，面积计算
【点评】
本题解题关键是掌握等积变形问题中“形变积不变”的核心规律，注意区分面积和周长的计算公式，即可快速找到等量关系列出方程。
【难度系数】
0.8
解答本题的核心是抓住“拼接前后总面积不变”这一等量关系。首先明确：6个长方形不重叠拼成正方形，6个长方形的总面积和正方形的面积完全相等，只需要分别表示出6个长方形的总面积、正方形的面积，令二者相等即可列出方程。
【解析】
1. 计算6个长方形的总面积：单个长方形的宽为2cm，长为x cm，根据长方形面积公式，单个长方形面积为$2× x=2x\ \mathrm{cm}^2$，因此6个长方形的总面积为$6× 2x\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算正方形的面积：拼成的正方形边长为12 cm，根据正方形面积公式，面积为$12×12\ \mathrm{cm}^2$。
3. 根据拼接前后面积相等的等量关系，可列方程：$6× 2x=12×12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等积变形问题，一元一次方程的应用，面积计算
【点评】
本题解题关键是掌握等积变形问题中“形变积不变”的核心规律，注意区分面积和周长的计算公式，即可快速找到等量关系列出方程。
【难度系数】
0.8
2.有一桶颜料恰好可以涂满一面$6×6$ m的墙面，若用这桶颜料涂一面宽为3 m的长方形墙面，则可涂的墙面长为（
A.12 m
B.18 m
C.24 m
D.30 m
A
）A.12 m
B.18 m
C.24 m
D.30 m
答案
2.A
解析
【分析】
解题的核心是抓住颜料总量不变这一隐含条件，即两次涂刷的墙面总面积相等。首先先计算出原有6×6m正方形墙面的总面积，再根据长方形面积公式，用总面积除以已知的长方形墙面宽度，即可求出可涂墙面的长度。
【解析】
第一步：计算原有正方形墙面的面积
正方形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$
原有墙面面积：$6×6=36\ \mathrm{m}^2$
第二步：计算长方形墙面的长
由于颜料总量不变，因此长方形墙面的面积和原有正方形墙面面积相等，即长方形墙面面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
长方形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知宽为$3\ \mathrm{m}$，设长为$x\ \mathrm{m}$，可得：
$3x=36$
解得：$x=36÷3=12\ \mathrm{m}$
因此可涂的墙面长为12m，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等积变形问题、正方形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题重点考查对不变量的捕捉能力和基础图形面积公式的应用，只要抓住涂刷面积不变的核心条件，结合公式计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9
解题的核心是抓住颜料总量不变这一隐含条件，即两次涂刷的墙面总面积相等。首先先计算出原有6×6m正方形墙面的总面积，再根据长方形面积公式，用总面积除以已知的长方形墙面宽度，即可求出可涂墙面的长度。
【解析】
第一步：计算原有正方形墙面的面积
正方形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$
原有墙面面积：$6×6=36\ \mathrm{m}^2$
第二步：计算长方形墙面的长
由于颜料总量不变，因此长方形墙面的面积和原有正方形墙面面积相等，即长方形墙面面积为$36\ \mathrm{m}^2$。
长方形面积公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知宽为$3\ \mathrm{m}$，设长为$x\ \mathrm{m}$，可得：
$3x=36$
解得：$x=36÷3=12\ \mathrm{m}$
因此可涂的墙面长为12m，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等积变形问题、正方形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题重点考查对不变量的捕捉能力和基础图形面积公式的应用，只要抓住涂刷面积不变的核心条件，结合公式计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9
3.一个底面直径为16 cm的圆柱体木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为8 cm，高为15 cm的铁质小圆柱体.当铁质小圆柱体被取出后，木桶内的水面下降了多少厘米？
答案
3.解:设木桶内的水面下降了 x cm. 根据题意,得 $π×(\frac{16}{2})^2×x=π×(\frac{8}{2})^2×15$. 解得 $x=\frac{15}{4}$. 答:木桶内的水面下降了 $\frac{15}{4}$ cm.
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住等积变形的特点：铁质小圆柱体的体积等于木桶内水面下降部分的水的体积。当小圆柱体被取出后，原本被小圆柱体占据的空间由水填补，水面下降的部分会形成一个和木桶底面大小相同的圆柱体，这个圆柱的体积和小铁圆柱的体积完全相等。我们可以设水面下降的高度为x cm，分别用圆柱体积公式表示出两个体积，列方程求解即可。
【解析】
解：设木桶内的水面下降了$ x $ cm。
根据“下降部分水的体积=铁质小圆柱体的体积”列方程：
$ π × (\frac{16}{2})^2 × x = π × (\frac{8}{2})^2 × 15 $
化简得：$ 64π x = 240π $
两边同时除以$ π $得：$ 64x = 240 $
解得：$ x=\frac{15}{4} $
【答案】
$\frac{15}{4}$ cm
【知识点】
等积变形原理；圆柱体积计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是等积变形类问题的典型题型，解题核心是抓住形变体积不变的规律，准确找到体积相等的两个量作为等量关系列方程，计算时可以先约掉公共因式$π$简化运算。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住等积变形的特点：铁质小圆柱体的体积等于木桶内水面下降部分的水的体积。当小圆柱体被取出后，原本被小圆柱体占据的空间由水填补，水面下降的部分会形成一个和木桶底面大小相同的圆柱体，这个圆柱的体积和小铁圆柱的体积完全相等。我们可以设水面下降的高度为x cm，分别用圆柱体积公式表示出两个体积，列方程求解即可。
【解析】
解：设木桶内的水面下降了$ x $ cm。
根据“下降部分水的体积=铁质小圆柱体的体积”列方程：
$ π × (\frac{16}{2})^2 × x = π × (\frac{8}{2})^2 × 15 $
化简得：$ 64π x = 240π $
两边同时除以$ π $得：$ 64x = 240 $
解得：$ x=\frac{15}{4} $
【答案】
$\frac{15}{4}$ cm
【知识点】
等积变形原理；圆柱体积计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是等积变形类问题的典型题型，解题核心是抓住形变体积不变的规律，准确找到体积相等的两个量作为等量关系列方程，计算时可以先约掉公共因式$π$简化运算。
【难度系数】
0.7
4.小明和小刚分别从相距25 km的两地同时出发，相向而行，3 h后两人相遇，小明的速度是4 km/h.设小刚的速度为x km/h，列方程得（
A.$4+3x=25$
B.$12+x=25$
C.$3(4+x)=25$
D.$3(4-x)=25$
C
）A.$4+3x=25$
B.$12+x=25$
C.$3(4+x)=25$
D.$3(4-x)=25$
答案
4.C
解析
【分析】
这是一道行程类的相向相遇问题，解题的核心是先明确相遇问题的等量关系：两人行驶的路程之和等于两地的初始距离。首先回忆路程计算公式“路程=速度×时间”，分别表示出小明和小刚3小时行驶的路程，再根据总路程为25km列方程即可，也可以先算出两人的速度和，再用“速度和×相遇时间=总路程”的关系直接列方程。
【解析】
根据路程公式：路程=速度×时间，步骤如下：
1. 小明的速度为4km/h，行驶时间为3h，因此小明行驶的路程为：$4×3=12\ \mathrm{km}$
2. 小刚的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，行驶时间为3h，因此小刚行驶的路程为：$3x\ \mathrm{km}$
3. 两人相向而行相遇时，总路程等于两人路程之和，已知两地相距25km，可列方程：$4×3 + 3x =25$，整理后得到$3(4+x)=25$。
对选项逐一排查：A未给小明的速度乘时间，B未给小刚的速度乘时间，D是同向追及问题的列式，均不符合题意，只有C正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题；路程=速度×时间
【点评】
本题属于行程问题的基础题型，主要考查相遇问题中等量关系的应用，只要准确掌握相向而行相遇时路程和等于总距离的规律，就能快速列对方程。
【难度系数】
0.85
这是一道行程类的相向相遇问题，解题的核心是先明确相遇问题的等量关系：两人行驶的路程之和等于两地的初始距离。首先回忆路程计算公式“路程=速度×时间”，分别表示出小明和小刚3小时行驶的路程，再根据总路程为25km列方程即可，也可以先算出两人的速度和，再用“速度和×相遇时间=总路程”的关系直接列方程。
【解析】
根据路程公式：路程=速度×时间，步骤如下：
1. 小明的速度为4km/h，行驶时间为3h，因此小明行驶的路程为：$4×3=12\ \mathrm{km}$
2. 小刚的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，行驶时间为3h，因此小刚行驶的路程为：$3x\ \mathrm{km}$
3. 两人相向而行相遇时，总路程等于两人路程之和，已知两地相距25km，可列方程：$4×3 + 3x =25$，整理后得到$3(4+x)=25$。
对选项逐一排查：A未给小明的速度乘时间，B未给小刚的速度乘时间，D是同向追及问题的列式，均不符合题意，只有C正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程相遇问题；路程=速度×时间
【点评】
本题属于行程问题的基础题型，主要考查相遇问题中等量关系的应用，只要准确掌握相向而行相遇时路程和等于总距离的规律，就能快速列对方程。
【难度系数】
0.85
5.(贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是
20天
。答案
5.20天
解析
【分析】
这是行程类的追及问题，解题核心是抓住“快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等”这一等量关系。我们可以设快马追上慢马需要的天数为x，分别用含x的式子表示出快马行驶的总路程、慢马先行12天加后续x天的总路程，再根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设快马追上慢马需要x天。
快马x天行驶的路程为：240x 里
慢马总共行驶的天数为（x+12）天，总路程为：150(x+12) 里
快马追上慢马时两马路程相等，可列方程：
$240x = 150(x + 12)$
去括号得：$240x = 150x + 1800$
移项、合并同类项得：$90x = 1800$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程应用、追及问题、路程计算
【点评】
本题以古代数学典籍记载的问题为载体，考查追及问题的求解，解题的关键是找准追及状态下两马路程相等的等量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
这是行程类的追及问题，解题核心是抓住“快马追上慢马时，两马行驶的总路程相等”这一等量关系。我们可以设快马追上慢马需要的天数为x，分别用含x的式子表示出快马行驶的总路程、慢马先行12天加后续x天的总路程，再根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设快马追上慢马需要x天。
快马x天行驶的路程为：240x 里
慢马总共行驶的天数为（x+12）天，总路程为：150(x+12) 里
快马追上慢马时两马路程相等，可列方程：
$240x = 150(x + 12)$
去括号得：$240x = 150x + 1800$
移项、合并同类项得：$90x = 1800$
系数化为1得：$x = 20$
【答案】
20天
【知识点】
一元一次方程应用、追及问题、路程计算
【点评】
本题以古代数学典籍记载的问题为载体，考查追及问题的求解，解题的关键是找准追及状态下两马路程相等的等量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
6.甲、乙两人在笔直的道路上练习赛跑，甲每秒跑7 m，乙每秒跑6.5 m.若甲让乙先跑了一段距离，并在60 s后追上了乙，求甲让乙先跑的距离.
答案
6.解:设甲让乙先跑的距离为 x m. 根据题意,得 $7×60=6.5×60+x$. 解得 $x=30$. 答:甲让乙先跑的距离为 30 m.
解析
【分析】
这是行程类的追及问题，解题核心是找准追及状态下的等量关系：甲60秒跑的总路程 = 乙先跑的距离 + 乙60秒跑的路程。首先根据“路程=速度×时间”的公式，分别表示出甲、乙的行驶路程，再根据等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设甲让乙先跑的距离为$x$ m。
根据题意可得等量关系：甲60s跑的路程 = 乙先跑的距离 + 乙60s跑的路程，列方程：
$7×60=6.5×60+x$
计算得：$420=390+x$
解得：$x=30$
答：甲让乙先跑的距离为30 m。
【答案】
30 m
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是行程追及问题的基础题型，重点考查对行程问题等量关系的把握，只要熟练掌握路程、速度、时间的三者关系，找准追及时的路程相等关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
这是行程类的追及问题，解题核心是找准追及状态下的等量关系：甲60秒跑的总路程 = 乙先跑的距离 + 乙60秒跑的路程。首先根据“路程=速度×时间”的公式，分别表示出甲、乙的行驶路程，再根据等量关系设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：设甲让乙先跑的距离为$x$ m。
根据题意可得等量关系：甲60s跑的路程 = 乙先跑的距离 + 乙60s跑的路程，列方程：
$7×60=6.5×60+x$
计算得：$420=390+x$
解得：$x=30$
答：甲让乙先跑的距离为30 m。
【答案】
30 m
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；路程公式
【点评】
本题是行程追及问题的基础题型，重点考查对行程问题等量关系的把握，只要熟练掌握路程、速度、时间的三者关系，找准追及时的路程相等关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.85
7.(芜湖弋江区期末)芜湖轻轨1号线全长30.46 km，小明要从弋江区的白马山站到鸠江区的泰山路站，他发现乘坐轻轨列车所用的时间比乘坐普通公共汽车要少12 min.现已知从白马山站到泰山路站轻轨列车行驶的路程要比普通公共汽车少2 km，轻轨列车的平均行驶速度为70 km/h，普通公共汽车的平均行驶速度为50 km/h(不考虑停站等因素).求轻轨列车从白马山站到泰山路站行驶的路程.
答案
7.解:设轻轨列车从白马山站到泰山路站行驶的路程为 x km. 根据题意,得 $\frac{x+2}{50}-\frac{x}{70}=\frac{12}{60}$. 解得 $x=28$. 答:轻轨列车从白马山站到泰山路站行驶的路程为 28 km.
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②题目要求轻轨列车行驶的路程，我们直接设该路程为未知数x，采用直接设元法更简便；③找等量关系：题干明确“乘坐轻轨列车所用的时间比乘坐普通公共汽车要少12 min”，即普通公共汽车的行驶时间 - 轻轨列车的行驶时间 = 12分钟，注意速度单位是km/h，需将12分钟换算为$\frac{12}{60}$h保证单位统一；④表示两个时间：轻轨路程为x km，那么公共汽车行驶路程为(x+2)km，公共汽车行驶时间为$\frac{x+2}{50}$h，轻轨行驶时间为$\frac{x}{70}$h，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设轻轨列车从白马山站到泰山路站行驶的路程为$x$ km。
根据题意列方程：
$\frac{x+2}{50}-\frac{x}{70}=\frac{12}{60}$
方程两边同乘350去分母得：
$7(x+2)-5x=70$
去括号得：
$7x+14-5x=70$
合并同类项得：
$2x=56$
系数化为1得：
$x=28$
经检验，$x=28$符合实际题意。
【答案】
28 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的核心是准确提取题干中的等量关系，特别要注意单位的统一，避免因时间单位和速度单位不匹配导致计算错误，能够有效考察学生的信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先明确行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②题目要求轻轨列车行驶的路程，我们直接设该路程为未知数x，采用直接设元法更简便；③找等量关系：题干明确“乘坐轻轨列车所用的时间比乘坐普通公共汽车要少12 min”，即普通公共汽车的行驶时间 - 轻轨列车的行驶时间 = 12分钟，注意速度单位是km/h，需将12分钟换算为$\frac{12}{60}$h保证单位统一；④表示两个时间：轻轨路程为x km，那么公共汽车行驶路程为(x+2)km，公共汽车行驶时间为$\frac{x+2}{50}$h，轻轨行驶时间为$\frac{x}{70}$h，代入等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设轻轨列车从白马山站到泰山路站行驶的路程为$x$ km。
根据题意列方程：
$\frac{x+2}{50}-\frac{x}{70}=\frac{12}{60}$
方程两边同乘350去分母得：
$7(x+2)-5x=70$
去括号得：
$7x+14-5x=70$
合并同类项得：
$2x=56$
系数化为1得：
$x=28$
经检验，$x=28$符合实际题意。
【答案】
28 km
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；单位换算
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的核心是准确提取题干中的等量关系，特别要注意单位的统一，避免因时间单位和速度单位不匹配导致计算错误，能够有效考察学生的信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 一艘轮船顺流航行时，每小时行32 km；逆流航行时，每小时行28 km，则轮船在静水中的速度是每小时行
30
km.（轮船在静水中的速度大于水流速度）答案
8.30
解析
【分析】
解决本题首先要明确流水行船问题的核心速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。我们可以设静水速度为未知数，用顺流速度表示出水流速度，再结合逆流速度的等量关系列一元一次方程求解，也可以直接将顺流、逆流速度相加后除以2得到静水速度（相加后水流速度抵消，和为2倍静水速度）。
【解析】
解：设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，则水流速度为$(32 - x)$ km/h。
根据逆流速度的等量关系可列方程：
$x - (32 - x) = 28$
去括号得：$x - 32 + x = 28$
移项、合并同类项得：$2x = 60$
系数化为1得：$x = 30$
【答案】
30
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础行程类应用题，主要考察流水行船的速度关系，只要掌握相关速度公式，结合方程思想就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确流水行船问题的核心速度关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。我们可以设静水速度为未知数，用顺流速度表示出水流速度，再结合逆流速度的等量关系列一元一次方程求解，也可以直接将顺流、逆流速度相加后除以2得到静水速度（相加后水流速度抵消，和为2倍静水速度）。
【解析】
解：设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，则水流速度为$(32 - x)$ km/h。
根据逆流速度的等量关系可列方程：
$x - (32 - x) = 28$
去括号得：$x - 32 + x = 28$
移项、合并同类项得：$2x = 60$
系数化为1得：$x = 30$
【答案】
30
【知识点】
流水行船问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础行程类应用题，主要考察流水行船的速度关系，只要掌握相关速度公式，结合方程思想就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
