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9.一条山路，某人从山下往山顶走3 h还有1 km才到山顶，从山顶走到山下只用150 min，已知下山速度是上山速度的1.5倍.设上山速度为$x$ km/min，则所列方程为（
A.$x - 1 = 5×1.5x$
B.$3x + 1 = 50×1.5x$
C.$3x - 1 = 1.5x$
D.$180x + 1 = 150×1.5x$
D
）A.$x - 1 = 5×1.5x$
B.$3x + 1 = 50×1.5x$
C.$3x - 1 = 1.5x$
D.$180x + 1 = 150×1.5x$
答案
9.D
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程列方程题目，解题核心是抓住“上山总路程=下山总路程”的等量关系。首先需要统一单位：题目给出的上山速度单位是km/min，上山时间给的是3h，要先换算成以min为单位的量；再分别表示出上山的总路程和下山的总路程，最后根据两者相等列出方程即可。
【解析】
步骤1：统一单位，因为1h=60min，所以3h=3×60=180min。
步骤2：表示上山的总路程：已知上山速度为x km/min，走180min的路程为180x km，还有1km才到山顶，因此山路总长度为$(180x + 1)$km。
步骤3：表示下山的总路程：已知下山速度是上山速度的1.5倍，即下山速度为1.5x km/min，下山用时150min，因此下山路程为$150×1.5x$km。
步骤4：根据上下山为同一条山路，路程相等，可列方程：$180x + 1 = 150×1.5x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题等量关系，单位换算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的常考基础题型，解题的关键是准确找到不变的等量关系，同时要特别注意单位的统一，避免因时间单位不匹配选错答案。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程列方程题目，解题核心是抓住“上山总路程=下山总路程”的等量关系。首先需要统一单位：题目给出的上山速度单位是km/min，上山时间给的是3h，要先换算成以min为单位的量；再分别表示出上山的总路程和下山的总路程，最后根据两者相等列出方程即可。
【解析】
步骤1：统一单位，因为1h=60min，所以3h=3×60=180min。
步骤2：表示上山的总路程：已知上山速度为x km/min，走180min的路程为180x km，还有1km才到山顶，因此山路总长度为$(180x + 1)$km。
步骤3：表示下山的总路程：已知下山速度是上山速度的1.5倍，即下山速度为1.5x km/min，下山用时150min，因此下山路程为$150×1.5x$km。
步骤4：根据上下山为同一条山路，路程相等，可列方程：$180x + 1 = 150×1.5x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题等量关系，单位换算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的常考基础题型，解题的关键是准确找到不变的等量关系，同时要特别注意单位的统一，避免因时间单位不匹配选错答案。
【难度系数】
0.7
10.(合肥庐江县期末)一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示),已知瓶子的底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$.请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是
$60\ \mathrm{cm}^3$
.答案
10.$60\ \mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
解题的关键是抓住瓶子倒置前后水的体积不变，将不规则的瓶子容积转化为两个规则圆柱体的体积之和计算。第一步先算正放时水的体积，正放时水为底面积$10\ \mathrm{cm}^2$、高$4\ \mathrm{cm}$的圆柱，可直接用圆柱体积公式计算；第二步算倒置后空余部分的体积，观察可知正放时瓶身总高度为$7\ \mathrm{cm}$，倒置后水的高度为$5\ \mathrm{cm}$，因此空余部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$，空余部分也是底面积$10\ \mathrm{cm}^2$的圆柱，同样用圆柱体积公式计算；第三步将水的体积和空余部分体积相加，即可得到瓶子的容积。
【解析】
解：首先计算水的体积：
正放时水的高度为$4\ \mathrm{cm}$，瓶子底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，根据圆柱体积公式$V=Sh$，可得
$V_{\mathrm{水}}=10×4=40\ \mathrm{cm}^3$
再计算倒置后空余部分的体积：
空余部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$，同理可得
$V_{\mathrm{空}}=10×2=20\ \mathrm{cm}^3$
瓶子的容积等于水的体积与空余部分体积之和：
$V=V_{\mathrm{水}}+V_{\mathrm{空}}=40+20=60\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$60\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算、等积变形原理
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，核心是利用倒置前后水的体积不变的特点，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱体求解，很好地考查了转化思想和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题的关键是抓住瓶子倒置前后水的体积不变，将不规则的瓶子容积转化为两个规则圆柱体的体积之和计算。第一步先算正放时水的体积，正放时水为底面积$10\ \mathrm{cm}^2$、高$4\ \mathrm{cm}$的圆柱，可直接用圆柱体积公式计算；第二步算倒置后空余部分的体积，观察可知正放时瓶身总高度为$7\ \mathrm{cm}$，倒置后水的高度为$5\ \mathrm{cm}$，因此空余部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$，空余部分也是底面积$10\ \mathrm{cm}^2$的圆柱，同样用圆柱体积公式计算；第三步将水的体积和空余部分体积相加，即可得到瓶子的容积。
【解析】
解：首先计算水的体积：
正放时水的高度为$4\ \mathrm{cm}$，瓶子底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，根据圆柱体积公式$V=Sh$，可得
$V_{\mathrm{水}}=10×4=40\ \mathrm{cm}^3$
再计算倒置后空余部分的体积：
空余部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$，同理可得
$V_{\mathrm{空}}=10×2=20\ \mathrm{cm}^3$
瓶子的容积等于水的体积与空余部分体积之和：
$V=V_{\mathrm{水}}+V_{\mathrm{空}}=40+20=60\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
$60\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算、等积变形原理
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，核心是利用倒置前后水的体积不变的特点，将不规则的空余部分转化为规则的圆柱体求解，很好地考查了转化思想和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
11.一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地.若快递员开车每分钟行驶1.2 km,则早到10 min;若快递员开车每分钟行驶0.8 km,则要迟到5 min.试求出规定时间及快递员所行驶的总路程.
小颖和小刚在解答时先设出未知数,然后列出不完整的方程如下:
小颖:$\frac{x}{1.2}\_\_\_\_\_\_10=\frac{x}{0.8}\_\_\_\_\_\_5$;
小刚:$1.2(y$
请认真思考并解答下面问题:
(1)小颖所列方程中$x$表示
小刚所列方程中$y$表示
(2)请选小颖或小刚的方法写出完整的解答过程.
小颖和小刚在解答时先设出未知数,然后列出不完整的方程如下:
小颖:$\frac{x}{1.2}\_\_\_\_\_\_10=\frac{x}{0.8}\_\_\_\_\_\_5$;
小刚:$1.2(y$
-
$10)=0.8(y$+
$5)$.请认真思考并解答下面问题:
(1)小颖所列方程中$x$表示
快递员所行驶的总路程
;小刚所列方程中$y$表示
规定时间
;(2)请选小颖或小刚的方法写出完整的解答过程.
答案
11.解:(1)快递员所行驶的总路程 规定时间
(2)若选小刚的方法:设规定时间为 y min. 根据题意,得 $1.2(y-10)=0.8(y+5)$. 解得 $y=40$. $1.2(y-10)=1.2×(40-10)=1.2×30=36$. 答:规定时间为 40 min,快递员所行驶的总路程为 36 km.
若选小颖的方法:设快递员行驶的总路程为 x km. 根据题意,得 $\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$. 解得 $x=36$. $\frac{x}{1.2}+10=\frac{36}{1.2}+10=40$. 答:规定时间为 40 min,快递员所行驶的总路程为 36 km.
(2)若选小刚的方法:设规定时间为 y min. 根据题意,得 $1.2(y-10)=0.8(y+5)$. 解得 $y=40$. $1.2(y-10)=1.2×(40-10)=1.2×30=36$. 答:规定时间为 40 min,快递员所行驶的总路程为 36 km.
若选小颖的方法:设快递员行驶的总路程为 x km. 根据题意,得 $\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$. 解得 $x=36$. $\frac{x}{1.2}+10=\frac{36}{1.2}+10=40$. 答:规定时间为 40 min,快递员所行驶的总路程为 36 km.
解析
【分析】
本题是行程类一元一次方程应用题，核心依据是“路程=速度×时间”的关系。（1）先分析两个方程的意义：小颖的方程中x除以速度得到的是两种速度下的行驶时间，因此x代表总路程，等式两侧均表示规定时间：速度快时早到10分钟，所以行驶时间加10等于规定时间；速度慢时迟到5分钟，所以行驶时间减5等于规定时间。小刚的方程中y调整时间后乘速度得到总路程，因此y代表规定时间：速度快时少用10分钟，用时为y-10；速度慢时多用5分钟，用时为y+5，等式两侧均为总路程。（2）选择方法时，先明确未知数含义，按对应的等量关系（小颖用“规定时间相等”列方程，小刚用“总路程相等”列方程）求解后，再计算另一个未知量即可。
【解析】
(1) 小颖的方程中$\frac{x}{1.2}$、$\frac{x}{0.8}$均为行驶时间，等式表示规定时间相等，因此x表示快递员所行驶的总路程；小刚的方程等号两侧均为“速度×时间”，计算结果为总路程，因此y表示规定时间。
(2) 示例：选小刚的方法解答：
解：设规定时间为$y$ min，根据总路程相等列方程：
$1.2(y-10)=0.8(y+5)$
去括号，得：$1.2y - 12 = 0.8y + 4$
移项，得：$1.2y - 0.8y = 4 + 12$
合并同类项，得：$0.4y = 16$
系数化为1，得：$y=40$
总路程为：$1.2×(40-10)=1.2×30=36$（km）
若选小颖的方法：
解：设总路程为$x$ km，根据规定时间相等列方程：
$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$
两边同乘2.4去分母，得：$2x + 24 = 3x - 12$
移项解得：$x=36$
规定时间为：$\frac{36}{1.2}+10=40$（min）
答：规定时间为40 min，总路程为36 km。
【答案】
(1) 快递员所行驶的总路程；规定时间
(2) 规定时间为$\boldsymbol{40\ \mathrm{min}}$，快递员行驶的总路程为$\boldsymbol{36\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，等量关系构建
【点评】
本题围绕行程三量关系设计，通过两种不同的设元角度构建等量关系，能够锻炼学生多角度分析应用题的能力，加深对方程建模思想的理解。
【难度系数】
0.7
本题是行程类一元一次方程应用题，核心依据是“路程=速度×时间”的关系。（1）先分析两个方程的意义：小颖的方程中x除以速度得到的是两种速度下的行驶时间，因此x代表总路程，等式两侧均表示规定时间：速度快时早到10分钟，所以行驶时间加10等于规定时间；速度慢时迟到5分钟，所以行驶时间减5等于规定时间。小刚的方程中y调整时间后乘速度得到总路程，因此y代表规定时间：速度快时少用10分钟，用时为y-10；速度慢时多用5分钟，用时为y+5，等式两侧均为总路程。（2）选择方法时，先明确未知数含义，按对应的等量关系（小颖用“规定时间相等”列方程，小刚用“总路程相等”列方程）求解后，再计算另一个未知量即可。
【解析】
(1) 小颖的方程中$\frac{x}{1.2}$、$\frac{x}{0.8}$均为行驶时间，等式表示规定时间相等，因此x表示快递员所行驶的总路程；小刚的方程等号两侧均为“速度×时间”，计算结果为总路程，因此y表示规定时间。
(2) 示例：选小刚的方法解答：
解：设规定时间为$y$ min，根据总路程相等列方程：
$1.2(y-10)=0.8(y+5)$
去括号，得：$1.2y - 12 = 0.8y + 4$
移项，得：$1.2y - 0.8y = 4 + 12$
合并同类项，得：$0.4y = 16$
系数化为1，得：$y=40$
总路程为：$1.2×(40-10)=1.2×30=36$（km）
若选小颖的方法：
解：设总路程为$x$ km，根据规定时间相等列方程：
$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$
两边同乘2.4去分母，得：$2x + 24 = 3x - 12$
移项解得：$x=36$
规定时间为：$\frac{36}{1.2}+10=40$（min）
答：规定时间为40 min，总路程为36 km。
【答案】
(1) 快递员所行驶的总路程；规定时间
(2) 规定时间为$\boldsymbol{40\ \mathrm{min}}$，快递员行驶的总路程为$\boldsymbol{36\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，等量关系构建
【点评】
本题围绕行程三量关系设计，通过两种不同的设元角度构建等量关系，能够锻炼学生多角度分析应用题的能力，加深对方程建模思想的理解。
【难度系数】
0.7
12.为了参加马拉松比赛，小明和爸爸在足球场进行耐力训练，他们在 400 m 的环形跑道上同一起点沿同一方向同时出发进行绕圈跑，爸爸跑完一圈时，小明才跑完半圈，4 min后爸爸第一次追上小明，请问：
（1）小明与爸爸的速度各是多少？
（2）【分类讨论思想】再过多少分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m？
（1）小明与爸爸的速度各是多少？
（2）【分类讨论思想】再过多少分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m？
答案
12.解:(1)设小明的速度为 x m/min,则爸爸的速度为 2x m/min. 根据题意,得 $4(2x-x)=400$. 解得 $x=100$. $2x=2×100=200$. 答:小明的速度为 100 m/min,爸爸的速度为 200 m/min;
(2)设再过 y min 后,爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m.
①爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了 50 m. 根据题意,得 $200y-100y=50$. 解得 $y=0.5$.
②爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了 350 m. 根据题意,得 $200y-100y=350$. 解得 $y=3.5$.
答:再过 0.5 min 或 3.5 min 后,爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m.
(2)设再过 y min 后,爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m.
①爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了 50 m. 根据题意,得 $200y-100y=50$. 解得 $y=0.5$.
②爸爸第一次追上小明后,在第二次相遇前,爸爸又比小明多跑了 350 m. 根据题意,得 $200y-100y=350$. 解得 $y=3.5$.
答:再过 0.5 min 或 3.5 min 后,爸爸在第二次追上小明前两人相距 50 m.
解析
【分析】
（1）首先根据“爸爸跑完一圈时小明才跑完半圈”可得爸爸的速度是小明速度的2倍，以此为依据设未知数；两人同地同向出发，爸爸第一次追上小明时，爸爸比小明多跑1圈即400m，追及时间为4min，结合“路程差=速度差×追及时间”的等量关系即可列方程求解两人速度。
（2）第二次追上小明前两人相距50m需分类讨论：第一种是爸爸比小明多跑50m，此时爸爸领先小明50m；第二种是爸爸比小明多跑350m，此时爸爸差50m就比小明多跑1圈，两人也相距50m，分别根据路程差列方程求解即可。
【解析】
(1) 设小明的速度为$ x $ m/min，则爸爸的速度为$ 2x $ m/min。
爸爸第一次追上小明时，路程差为环形跑道1圈的长度400m，根据题意列方程：
$ 4(2x - x) = 400 $
解得$ x = 100 $
爸爸的速度为$ 2x = 2×100 = 200 $（m/min）。
(2) 设再过$ y $ min后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50m，分两种情况讨论：
① 爸爸比小明多跑50m，列方程：
$ 200y - 100y = 50 $
解得$ y = 0.5 $
② 爸爸比小明多跑$ 400-50=350 $m（此时还差50m就完成第二次追及，两人也相距50m），列方程：
$ 200y - 100y = 350 $
解得$ y = 3.5 $
【答案】
（1）小明的速度为100 m/min，爸爸的速度为200 m/min；（2）再过0.5 min或3.5 min后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m。
【知识点】
一元一次方程的应用；环形追及问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合实际运动场景考查行程问题，第一问需要准确抓住追及问题的核心等量关系，第二问要注意环形跑道同向行驶时，相距固定距离存在两种位置情况，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据“爸爸跑完一圈时小明才跑完半圈”可得爸爸的速度是小明速度的2倍，以此为依据设未知数；两人同地同向出发，爸爸第一次追上小明时，爸爸比小明多跑1圈即400m，追及时间为4min，结合“路程差=速度差×追及时间”的等量关系即可列方程求解两人速度。
（2）第二次追上小明前两人相距50m需分类讨论：第一种是爸爸比小明多跑50m，此时爸爸领先小明50m；第二种是爸爸比小明多跑350m，此时爸爸差50m就比小明多跑1圈，两人也相距50m，分别根据路程差列方程求解即可。
【解析】
(1) 设小明的速度为$ x $ m/min，则爸爸的速度为$ 2x $ m/min。
爸爸第一次追上小明时，路程差为环形跑道1圈的长度400m，根据题意列方程：
$ 4(2x - x) = 400 $
解得$ x = 100 $
爸爸的速度为$ 2x = 2×100 = 200 $（m/min）。
(2) 设再过$ y $ min后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50m，分两种情况讨论：
① 爸爸比小明多跑50m，列方程：
$ 200y - 100y = 50 $
解得$ y = 0.5 $
② 爸爸比小明多跑$ 400-50=350 $m（此时还差50m就完成第二次追及，两人也相距50m），列方程：
$ 200y - 100y = 350 $
解得$ y = 3.5 $
【答案】
（1）小明的速度为100 m/min，爸爸的速度为200 m/min；（2）再过0.5 min或3.5 min后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m。
【知识点】
一元一次方程的应用；环形追及问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合实际运动场景考查行程问题，第一问需要准确抓住追及问题的核心等量关系，第二问要注意环形跑道同向行驶时，相距固定距离存在两种位置情况，避免漏解，能有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
