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10.若关于$x$的方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$与方程$4x-2(3-x)+3=0$的解互为倒数，求$a$的值.
答案
10.解:解方程$4x-2(3-x)+3=0$,得$x=\frac{1}{2}$.因为关于$x$的方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$与方程$4x-2(3-x)+3=0$的解互为倒数,所以关于$x$的方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$的解是$x=2$.把$x=2$代入$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$,得$\frac{2+a}{2}-\frac{a}{3}=2$,解得$a=6$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先求解不含参数的方程$4x-2(3-x)+3=0$，得到它的解；第二步，根据“两个方程的解互为倒数”的条件，求出含参数$a$的方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$的解；第三步，将求出的解代入含$a$的方程，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$4x-2(3-x)+3=0$：
去括号，得$4x - 6 + 2x + 3 = 0$
合并同类项，得$6x - 3 = 0$
移项、系数化为1，得$x = \frac{1}{2}$
2. 根据两个方程的解互为倒数，可得方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$的解为$x = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
3. 将$x=2$代入$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$，得：
$\frac{2+a}{2} - \frac{a}{3} = 2$
去分母（两边同乘6），得$3(2+a) - 2a = 12$
去括号，得$6 + 3a - 2a = 12$
合并同类项，得$6 + a = 12$
解得$a = 6$
【答案】
$a=6$
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，方程的解的含义
【点评】
本题核心考查一元一次方程的相关知识，解题的关键是先求出无参数方程的解，再利用倒数关系得到含参方程的解，代入后即可求解参数，属于常规基础题型，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先求解不含参数的方程$4x-2(3-x)+3=0$，得到它的解；第二步，根据“两个方程的解互为倒数”的条件，求出含参数$a$的方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$的解；第三步，将求出的解代入含$a$的方程，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可得到$a$的值。
【解析】
1. 求解方程$4x-2(3-x)+3=0$：
去括号，得$4x - 6 + 2x + 3 = 0$
合并同类项，得$6x - 3 = 0$
移项、系数化为1，得$x = \frac{1}{2}$
2. 根据两个方程的解互为倒数，可得方程$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$的解为$x = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$
3. 将$x=2$代入$\frac{x+a}{2}-\frac{a}{3}=x$，得：
$\frac{2+a}{2} - \frac{a}{3} = 2$
去分母（两边同乘6），得$3(2+a) - 2a = 12$
去括号，得$6 + 3a - 2a = 12$
合并同类项，得$6 + a = 12$
解得$a = 6$
【答案】
$a=6$
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，方程的解的含义
【点评】
本题核心考查一元一次方程的相关知识，解题的关键是先求出无参数方程的解，再利用倒数关系得到含参方程的解，代入后即可求解参数，属于常规基础题型，熟练掌握一元一次方程的求解步骤就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
11. 是否存在这样的$x$，使得下列三个式子：$x - \frac{x-1}{3}$，$x^2 - 6x - 2$，$7 - \frac{x+3}{5}$的值均相等？若存在，求出这样的$x$；若不存在，请说明理由。
答案
11.解:存在,$x=7$.假设存在这样的$x$,则有$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{x+3}{5}$,解得$x=7$.将$x=7$分别代入各式,得$x-\frac{x-1}{3}=7-\frac{7-1}{3}=7-2=5$,$x^2-6x-2=7^2-6×7-2=49-42-2=5$,$7-\frac{x+3}{5}=7-\frac{7+3}{5}=7-2=5$.上述式子的值均相等,为5,所以存在这样的$x$,此时$x=7$.
解析
【分析】
要判断是否存在x使得三个代数式的值相等，我们可以先选取两个不含二次项的一元一次型代数式，令它们相等构建一元一次方程，求出x的候选值，再将该x值代入第三个含二次项的代数式验证，确认三个代数式的值是否相等即可。优先选一次式列方程是因为一元一次方程求解难度低，能快速锁定x的可能值，避免复杂计算。
【解析】
假设存在这样的x，使得三个代数式的值相等，令不含二次项的两个式子相等：
$x - \frac{x-1}{3} = 7 - \frac{x+3}{5}$
1. 去分母：两边同时乘3和5的最小公倍数15，得
$15x - 5(x-1) = 105 - 3(x+3)$
2. 去括号：
$15x - 5x + 5 = 105 - 3x - 9$
3. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边
$15x - 5x + 3x = 105 - 9 - 5$
4. 合并同类项：
$13x = 91$
5. 系数化为1：
$x = 7$
将x=7分别代入三个代数式验证：
$x - \frac{x-1}{3}=7 - \frac{7-1}{3}=7-2=5$
$x^2 - 6x - 2=7^2 - 6×7 - 2=49-42-2=5$
$7 - \frac{x+3}{5}=7 - \frac{7+3}{5}=7-2=5$
三个代数式的值均相等，假设成立。
【答案】
存在，$x=7$
【知识点】
一元一次方程的解法；代数式求值；方程解的检验
【点评】
本题属于存在性问题，解题时优先选择结构简单、次数低的代数式列方程求候选值，再代入验证即可，能有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要判断是否存在x使得三个代数式的值相等，我们可以先选取两个不含二次项的一元一次型代数式，令它们相等构建一元一次方程，求出x的候选值，再将该x值代入第三个含二次项的代数式验证，确认三个代数式的值是否相等即可。优先选一次式列方程是因为一元一次方程求解难度低，能快速锁定x的可能值，避免复杂计算。
【解析】
假设存在这样的x，使得三个代数式的值相等，令不含二次项的两个式子相等：
$x - \frac{x-1}{3} = 7 - \frac{x+3}{5}$
1. 去分母：两边同时乘3和5的最小公倍数15，得
$15x - 5(x-1) = 105 - 3(x+3)$
2. 去括号：
$15x - 5x + 5 = 105 - 3x - 9$
3. 移项：将含x的项移到左边，常数项移到右边
$15x - 5x + 3x = 105 - 9 - 5$
4. 合并同类项：
$13x = 91$
5. 系数化为1：
$x = 7$
将x=7分别代入三个代数式验证：
$x - \frac{x-1}{3}=7 - \frac{7-1}{3}=7-2=5$
$x^2 - 6x - 2=7^2 - 6×7 - 2=49-42-2=5$
$7 - \frac{x+3}{5}=7 - \frac{7+3}{5}=7-2=5$
三个代数式的值均相等，假设成立。
【答案】
存在，$x=7$
【知识点】
一元一次方程的解法；代数式求值；方程解的检验
【点评】
本题属于存在性问题，解题时优先选择结构简单、次数低的代数式列方程求候选值，再代入验证即可，能有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
12.小云在解关于x的方程$6a - x = 16$时，误将$-x$看作$+x$，得到方程的解为$x = -2$，则原方程的解为（
A.$x=3$
B.$x=2$
C.$x=1$
D.$x=0$
B
）A.$x=3$
B.$x=2$
C.$x=1$
D.$x=0$
答案
12.B
解析
【分析】
这是错解求正解的典型题型，解题思路分为两步：第一步，小云误将$-x$看作$+x$，得到的错误方程为$6a+x=16$，已知错误解$x=-2$满足这个错误方程，因此先将$x=-2$代入错误方程求出参数$a$的值；第二步，把求得的$a$代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
第一步：根据题意，小云看错后得到的方程为：$6a + x = 16$
已知$x=-2$是该错误方程的解，将$x=-2$代入错误方程得：
$6a + (-2) = 16$
化简得：$6a = 18$，解得$a=3$
第二步：将$a=3$代入原方程$6a - x = 16$，得：
$6×3 - x = 16$
即$18 - x = 16$
移项得：$-x = 16 - 18$
合并同类项得：$-x = -2$
系数化为1得：$x=2$
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于错解类基础题型，解题核心是明确“错误的解一定满足看错后的方程”，先求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这是错解求正解的典型题型，解题思路分为两步：第一步，小云误将$-x$看作$+x$，得到的错误方程为$6a+x=16$，已知错误解$x=-2$满足这个错误方程，因此先将$x=-2$代入错误方程求出参数$a$的值；第二步，把求得的$a$代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
第一步：根据题意，小云看错后得到的方程为：$6a + x = 16$
已知$x=-2$是该错误方程的解，将$x=-2$代入错误方程得：
$6a + (-2) = 16$
化简得：$6a = 18$，解得$a=3$
第二步：将$a=3$代入原方程$6a - x = 16$，得：
$6×3 - x = 16$
即$18 - x = 16$
移项得：$-x = 16 - 18$
合并同类项得：$-x = -2$
系数化为1得：$x=2$
【答案】
B
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于错解类基础题型，解题核心是明确“错误的解一定满足看错后的方程”，先求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，计算时注意移项要变号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
13.某同学解方程$4x - 3 = □ x + 1$时，把“”处的系数看错了，解得$x = 4$，他把“”处的系数看成了（
A.3
B.$-3$
C.4
D.$-4$
A
）A.3
B.$-3$
C.4
D.$-4$
答案
13.A
解析
【分析】
解题的关键是明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题中x=4是看错系数后得到的方程的解，因此x=4满足看错系数后的方程，我们可以把看错的未知系数设为字母，代入x=4构造新的一元一次方程，求解就能得到看错的系数。
【解析】
解：设该同学把“”处的系数看成了$a$。
因为$x=4$是方程$4x - 3 = ax + 1$的解，将$x=4$代入方程得：
$\begin{aligned}4×4 - 3 &= 4a + 1\\16 - 3 &= 4a + 1\\13 &= 4a + 1\\4a &= 13 - 1\\4a &= 12\\a &= 3\end{aligned}$
因此他把“”处的系数看成了3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解的含义，通过代入法将已知的解代入方程，把未知系数转化为新的未知数求解即可，是对一元一次方程相关基础概念的直接应用。
【难度系数】
0.8
解题的关键是明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题中x=4是看错系数后得到的方程的解，因此x=4满足看错系数后的方程，我们可以把看错的未知系数设为字母，代入x=4构造新的一元一次方程，求解就能得到看错的系数。
【解析】
解：设该同学把“”处的系数看成了$a$。
因为$x=4$是方程$4x - 3 = ax + 1$的解，将$x=4$代入方程得：
$\begin{aligned}4×4 - 3 &= 4a + 1\\16 - 3 &= 4a + 1\\13 &= 4a + 1\\4a &= 13 - 1\\4a &= 12\\a &= 3\end{aligned}$
因此他把“”处的系数看成了3，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解方程的解的含义，通过代入法将已知的解代入方程，把未知系数转化为新的未知数求解即可，是对一元一次方程相关基础概念的直接应用。
【难度系数】
0.8
14. 某同学解关于 y 的方程$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+a}{2}-1$，在去分母时，方程右边的－1没有乘6，结果求得方程的解为$y=2$，试求 a 的值及此方程的解。
答案
14.解:由题意可知$y=2$是方程$2(2y-1)=3(y+a)-1$的解,则有$2×(2×2-1)=3(2+a)-1$,解得$a=\frac{1}{3}$.把$a=\frac{1}{3}$代入方程$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+a}{2}-1$,得$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$,解得$y=-3$.
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步，根据“去分母时方程右边的-1没有乘6”的条件，先写出该同学错误运算得到的方程，由于他求得的解$y=2$满足这个错误方程，将$y=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由题意得，该同学去分母后得到的错误方程为：
$2(2y-1)=3(y+a)-1$
∵$y=2$是上述错误方程的解
∴将$y=2$代入错误方程：
$2×(2×2 - 1)=3×(2+a)-1$
化简计算：
$2×3=6+3a-1$
$6=3a+5$
解得$a=\frac{1}{3}$
把$a=\frac{1}{3}$代入原方程$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+a}{2}-1$，得：
$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$
去分母（两边同乘6）：
$2(2y-1)=3(y+\frac{1}{3})-6$
去括号：
$4y-2=3y+1-6$
移项、合并同类项：
$4y-3y=1-6+2$
解得$y=-3$
【答案】
$a=\frac{1}{3}$，原方程的解为$y=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程错解类的常考题型，解题关键是明确错误的解对应错误运算得到的方程，先通过错解求出参数，再代入原方程求解，做题时要注意区分错误方程和原方程的运算差异。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步，根据“去分母时方程右边的-1没有乘6”的条件，先写出该同学错误运算得到的方程，由于他求得的解$y=2$满足这个错误方程，将$y=2$代入错误方程即可求出$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由题意得，该同学去分母后得到的错误方程为：
$2(2y-1)=3(y+a)-1$
∵$y=2$是上述错误方程的解
∴将$y=2$代入错误方程：
$2×(2×2 - 1)=3×(2+a)-1$
化简计算：
$2×3=6+3a-1$
$6=3a+5$
解得$a=\frac{1}{3}$
把$a=\frac{1}{3}$代入原方程$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+a}{2}-1$，得：
$\frac{2y-1}{3}=\frac{y+\frac{1}{3}}{2}-1$
去分母（两边同乘6）：
$2(2y-1)=3(y+\frac{1}{3})-6$
去括号：
$4y-2=3y+1-6$
移项、合并同类项：
$4y-3y=1-6+2$
解得$y=-3$
【答案】
$a=\frac{1}{3}$，原方程的解为$y=-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程错解类的常考题型，解题关键是明确错误的解对应错误运算得到的方程，先通过错解求出参数，再代入原方程求解，做题时要注意区分错误方程和原方程的运算差异。
【难度系数】
0.7
15.若$a,b$互为相反数($a≠0$),则关于$x$的方程$ax+b=0$的解是 （
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=1$,或$x=-1$
D.不能确定
A
）A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=1$,或$x=-1$
D.不能确定
答案
15.A
解析
【分析】
解题时先根据相反数的性质得到a与b的数量关系，再将其代入给定的一元一次方程，最后结合a≠0的条件对方程进行系数化为1的运算，即可求出方程的解。
【解析】
∵a，b互为相反数（a≠0），
∴b = -a，
将b = -a代入方程ax + b = 0，可得：
ax - a = 0，
移项得ax = a，
又
∵a≠0，方程两边同时除以a，得x = 1。
因此方程的解是x=1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题将相反数的性质与一元一次方程的求解结合考查，解题核心是利用相反数的关系替换方程中的参数，解题时要注意题目给出的a≠0是可以进行系数化为1运算的前提，避免出现漏看条件的错误。
【难度系数】
0.8
解题时先根据相反数的性质得到a与b的数量关系，再将其代入给定的一元一次方程，最后结合a≠0的条件对方程进行系数化为1的运算，即可求出方程的解。
【解析】
∵a，b互为相反数（a≠0），
∴b = -a，
将b = -a代入方程ax + b = 0，可得：
ax - a = 0，
移项得ax = a，
又
∵a≠0，方程两边同时除以a，得x = 1。
因此方程的解是x=1，故选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题将相反数的性质与一元一次方程的求解结合考查，解题核心是利用相反数的关系替换方程中的参数，解题时要注意题目给出的a≠0是可以进行系数化为1运算的前提，避免出现漏看条件的错误。
【难度系数】
0.8
16.已知$|n+2|+(5m-3)^2=0$,求关于$x$的方程$10mx+4=3x+n$的解.
答案
16.解:因为$|n+2|+(5m-3)^2=0$,$|n+2|≥0$,$(5m-3)^2≥0$,所以$n+2=0$,$5m-3=0$,解得$n=-2$,$m=\frac{3}{5}$.将$m=\frac{3}{5}$,$n=-2$代入方程$10mx+4=3x+n$,得$6x+4=3x-2$.解得$x=-2$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的特征，等式左边是绝对值与平方数的和，根据非负数的性质，绝对值和偶次幂的结果都是非负数，两个非负数相加得0，说明每个非负数的内部都等于0，因此可以先列出关于m、n的方程，求出m、n的值；再把m、n的值代入关于x的一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求出x的值。
【解析】
解：
∵ $|n+2|≥0$，$(5m-3)^2≥0$，且$|n+2|+(5m-3)^2=0$
∴ $n+2=0$，$5m-3=0$
解得 $n=-2$，$m=\frac{3}{5}$
将$m=\frac{3}{5}$，$n=-2$代入方程$10mx+4=3x+n$，得：
$10×\frac{3}{5}x +4 = 3x + (-2)$
化简得 $6x +4 = 3x -2$
移项，得 $6x -3x = -2 -4$
合并同类项，得 $3x = -6$
系数化为1，得 $x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
非负数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的代数综合基础题，解题的核心是先利用非负数的性质求出参数m、n的值，再代入方程求解，这类题型考试出现频率较高，需熟练掌握非负性的应用和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的特征，等式左边是绝对值与平方数的和，根据非负数的性质，绝对值和偶次幂的结果都是非负数，两个非负数相加得0，说明每个非负数的内部都等于0，因此可以先列出关于m、n的方程，求出m、n的值；再把m、n的值代入关于x的一元一次方程，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求出x的值。
【解析】
解：
∵ $|n+2|≥0$，$(5m-3)^2≥0$，且$|n+2|+(5m-3)^2=0$
∴ $n+2=0$，$5m-3=0$
解得 $n=-2$，$m=\frac{3}{5}$
将$m=\frac{3}{5}$，$n=-2$代入方程$10mx+4=3x+n$，得：
$10×\frac{3}{5}x +4 = 3x + (-2)$
化简得 $6x +4 = 3x -2$
移项，得 $6x -3x = -2 -4$
合并同类项，得 $3x = -6$
系数化为1，得 $x = -2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
非负数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是典型的代数综合基础题，解题的核心是先利用非负数的性质求出参数m、n的值，再代入方程求解，这类题型考试出现频率较高，需熟练掌握非负性的应用和一元一次方程的解法。
【难度系数】
0.8
