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例1 已知关于x的一次函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$。
（1）当k满足什么条件时，函数值y随x的增大而增大？
（2）当k取何值时，$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象经过原点？
（3）当k满足什么条件时，函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象与y轴的交点在x轴的上方？
（1）当k满足什么条件时，函数值y随x的增大而增大？
（2）当k取何值时，$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象经过原点？
（3）当k满足什么条件时，函数$y=(2k-1)x+(2k+1)$的图象与y轴的交点在x轴的上方？
答案
解：
(1) 一次函数的函数值y随x的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
(1) 一次函数的函数值y随x的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕一次函数的性质展开，可结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的几何意义逐一分析求解：
(1) 一次函数的增减性由一次项系数$k$决定，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此只需令本题的一次项系数$2k-1＞0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
(2) 函数图象过原点说明原点$(0,0)$在函数图象上，将坐标代入解析式可得到关于$k$的方程，同时要验证解出的$k$是否满足一次项系数不为0，保证原式为一次函数；
(3) 函数图象与y轴交点的横坐标为0，代入解析式可得交点纵坐标为$2k+1$，交点在x轴上方说明纵坐标大于0，同时要保证一次项系数不为0，列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 一次函数的函数值$y$随$x$的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $k＞\frac{1}{2}$
(2) $k=-\frac{1}{2}$
(3) $k＞-\frac{1}{2}$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握一次函数中一次项系数$k$、常数项$b$对应的图象性质，注意不要忽略一次函数一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕一次函数的性质展开，可结合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的几何意义逐一分析求解：
(1) 一次函数的增减性由一次项系数$k$决定，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，因此只需令本题的一次项系数$2k-1＞0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；
(2) 函数图象过原点说明原点$(0,0)$在函数图象上，将坐标代入解析式可得到关于$k$的方程，同时要验证解出的$k$是否满足一次项系数不为0，保证原式为一次函数；
(3) 函数图象与y轴交点的横坐标为0，代入解析式可得交点纵坐标为$2k+1$，交点在x轴上方说明纵坐标大于0，同时要保证一次项系数不为0，列不等式组求解即可。
【解析】
(1) 一次函数的函数值$y$随$x$的增大而增大时，一次项系数大于0，
即 $2k - 1 ＞ 0$，
解得 $k ＞ \frac{1}{2}$。
(2) 将原点坐标$(0,0)$代入函数解析式，得：
$0 = 2k + 1$，
解得 $k = -\frac{1}{2}$，
此时一次项系数$2k-1=-2≠0$，符合一次函数定义。
(3) 函数图象与y轴的交点在x轴上方，需满足常数项大于0，且一次项系数不为0，
可得不等式组：
$\begin{cases}2k + 1 ＞ 0 \\2k - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得 $k ＞ -\frac{1}{2}$ 且 $k ≠ \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $k＞\frac{1}{2}$
(2) $k=-\frac{1}{2}$
(3) $k＞-\frac{1}{2}$且$k≠\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握一次函数中一次项系数$k$、常数项$b$对应的图象性质，注意不要忽略一次函数一次项系数不为0的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.7
例2 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5 km.设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图5-5中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系.
（1）小明在平路上的骑车速度为km/h，他途中休息了h；
（2）求线段AB，BC相应的函数表达式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h，那么该地点距离甲地多远？
（1）小明在平路上的骑车速度为km/h，他途中休息了h；
（2）求线段AB，BC相应的函数表达式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h，那么该地点距离甲地多远？
答案
$\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{0.1}$。
(2) 设线段$AB$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10\\b_1=1.5\end{cases}$，
故线段$AB$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-20\\b_2=16.5\end{cases}$，
故线段$BC$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$。
(3) 由题意可知，该地点位于上坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过该地点的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$。
代入两段函数表达式得：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
解得$t=0.4$，
则$y=10×0.4+1.5=5.5$。
答：该地点距离甲地$5.5\ \mathrm{km}$。
(2) 设线段$AB$的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=10\\b_1=1.5\end{cases}$，
故线段$AB$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$。
设线段$BC$的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-20\\b_2=16.5\end{cases}$，
故线段$BC$的函数表达式为 $\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$。
(3) 由题意可知，该地点位于上坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过该地点的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$。
代入两段函数表达式得：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
解得$t=0.4$，
则$y=10×0.4+1.5=5.5$。
答：该地点距离甲地$5.5\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
1. 解决第(1)问：先观察图像OA段为平路行驶，已知0.3h行驶4.5km，根据速度=路程÷时间可直接算出平路速度；再结合上坡、下坡与平路的速度关系，分别计算AB段（上坡）、BC段（下坡）的行驶时长得到B、C点的横坐标，再通过DE段（返回平路）的行驶时长算出D点横坐标，CD段的时间差就是休息时长。
2. 解决第(2)问：线段AB、BC均为一次函数，使用待定系数法，先确定线段两个端点的坐标，代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，再标注自变量的取值范围即可。
3. 解决第(3)问：两次经过同一地点，说明一次是去时上坡（对应AB段），一次是返回下坡（对应BC段），设第一次经过的时间为$t$，第二次为$t+0.15$，两个时间对应的$y$值相等，代入两段函数表达式列方程求解，再算出$y$值即为所求路程。
【解析】
(1) OA段为平路，路程4.5km，用时0.3h，平路速度为$4.5÷0.3=15\ \mathrm{km/h}$；
上坡速度为$15-5=10\ \mathrm{km/h}$，AB段上坡路程为$6.5-4.5=2\ \mathrm{km}$，AB段用时为$2÷10=0.2\ \mathrm{h}$，因此B点横坐标为$0.3+0.2=0.5$；
下坡速度为$15+5=20\ \mathrm{km/h}$，BC段下坡路程为2km，BC段用时为$2÷20=0.1\ \mathrm{h}$，因此C点横坐标为$0.5+0.1=0.6$；
DE段为返回平路，路程4.5km，用时为$4.5÷15=0.3\ \mathrm{h}$，E点横坐标为1，因此D点横坐标为$1-0.3=0.7$；
途中休息时间为$0.7-0.6=0.1\ \mathrm{h}$。
(2) 求线段AB的函数表达式：
设AB的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入得：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
两式相减得$0.2k_1=2$，解得$k_1=10$，代入得$b_1=1.5$，
故线段AB的函数表达式为$y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)$。
求线段BC的函数表达式：
设BC的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入得：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
两式相减得$0.1k_2=-2$，解得$k_2=-20$，代入得$b_2=16.5$，
故线段BC的函数表达式为$y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)$。
(3) 由题意可知该地点位于坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$，两次$y$值相等，列方程：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
整理得$30t=12$，解得$t=0.4$，
代入AB的解析式得$y=10×0.4+1.5=5.5\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{0.1}$
(2) 线段AB：$\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$；线段BC：$\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$
(3) 该地点距离甲地$\boldsymbol{5.5\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生准确解读函数图像各段对应的运动状态，提取有效数据计算相关量，同时熟练掌握待定系数法求函数解析式，能根据题意建立等量关系列方程求解，对图像分析能力和方程应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 解决第(1)问：先观察图像OA段为平路行驶，已知0.3h行驶4.5km，根据速度=路程÷时间可直接算出平路速度；再结合上坡、下坡与平路的速度关系，分别计算AB段（上坡）、BC段（下坡）的行驶时长得到B、C点的横坐标，再通过DE段（返回平路）的行驶时长算出D点横坐标，CD段的时间差就是休息时长。
2. 解决第(2)问：线段AB、BC均为一次函数，使用待定系数法，先确定线段两个端点的坐标，代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，再标注自变量的取值范围即可。
3. 解决第(3)问：两次经过同一地点，说明一次是去时上坡（对应AB段），一次是返回下坡（对应BC段），设第一次经过的时间为$t$，第二次为$t+0.15$，两个时间对应的$y$值相等，代入两段函数表达式列方程求解，再算出$y$值即为所求路程。
【解析】
(1) OA段为平路，路程4.5km，用时0.3h，平路速度为$4.5÷0.3=15\ \mathrm{km/h}$；
上坡速度为$15-5=10\ \mathrm{km/h}$，AB段上坡路程为$6.5-4.5=2\ \mathrm{km}$，AB段用时为$2÷10=0.2\ \mathrm{h}$，因此B点横坐标为$0.3+0.2=0.5$；
下坡速度为$15+5=20\ \mathrm{km/h}$，BC段下坡路程为2km，BC段用时为$2÷20=0.1\ \mathrm{h}$，因此C点横坐标为$0.5+0.1=0.6$；
DE段为返回平路，路程4.5km，用时为$4.5÷15=0.3\ \mathrm{h}$，E点横坐标为1，因此D点横坐标为$1-0.3=0.7$；
途中休息时间为$0.7-0.6=0.1\ \mathrm{h}$。
(2) 求线段AB的函数表达式：
设AB的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(0.3,4.5)$、$B(0.5,6.5)$代入得：
$\begin{cases}0.3k_1+b_1=4.5\\0.5k_1+b_1=6.5\end{cases}$
两式相减得$0.2k_1=2$，解得$k_1=10$，代入得$b_1=1.5$，
故线段AB的函数表达式为$y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)$。
求线段BC的函数表达式：
设BC的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$B(0.5,6.5)$、$C(0.6,4.5)$代入得：
$\begin{cases}0.5k_2+b_2=6.5\\0.6k_2+b_2=4.5\end{cases}$
两式相减得$0.1k_2=-2$，解得$k_2=-20$，代入得$b_2=16.5$，
故线段BC的函数表达式为$y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)$。
(3) 由题意可知该地点位于坡路段（$y＞4.5$），设第一次经过该地点的时间为$t\ \mathrm{h}$，则第二次经过的时间为$(t+0.15)\ \mathrm{h}$，两次$y$值相等，列方程：
$10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5$
整理得$30t=12$，解得$t=0.4$，
代入AB的解析式得$y=10×0.4+1.5=5.5\ \mathrm{km}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$，$\boldsymbol{0.1}$
(2) 线段AB：$\boldsymbol{y=10x+1.5\ (0.3≤ x≤ 0.5)}$；线段BC：$\boldsymbol{y=-20x+16.5\ (0.5≤ x≤ 0.6)}$
(3) 该地点距离甲地$\boldsymbol{5.5\ \mathrm{km}}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，行程问题
【点评】
本题结合实际行程场景考查一次函数的应用，需要学生准确解读函数图像各段对应的运动状态，提取有效数据计算相关量，同时熟练掌握待定系数法求函数解析式，能根据题意建立等量关系列方程求解，对图像分析能力和方程应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）在函数 $y=\frac{2}{x-1}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 ；
$y_1=k_1x$
$y_2=k_2x+1000$
4000
3000
2000
$y_1=k_1x$
$y_2=k_2x+1000$
4000
3000
2000
答案
解：要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即
$x-1≠0$
解得$x≠1$
故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
$x-1≠0$
解得$x≠1$
故自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
解析
【分析】
本题是求分式型函数自变量的取值范围，解题时首先要明确分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需要让函数表达式的分母不等于0，列出对应的不等式，求解不等式即可得到自变量x的取值范围。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-1≠0$
解得$x≠1$
因此自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的条件在函数自变量取值范围求解中的应用，牢记分式分母不为0的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题是求分式型函数自变量的取值范围，解题时首先要明确分式有意义的前提是分母不能为0，因此我们只需要让函数表达式的分母不等于0，列出对应的不等式，求解不等式即可得到自变量x的取值范围。
【解析】
要使分式$\frac{2}{x-1}$有意义，需满足分母不为0，即：
$x-1≠0$
解得$x≠1$
因此自变量$x$的取值范围是$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式有意义的条件在函数自变量取值范围求解中的应用，牢记分式分母不为0的要求即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(2) 一次函数 $ y_1 = k_1x $ 和 $ y_2 = k_2x + 1000 $ 的图象如图所示，当 $ x $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $；
答案
$\boldsymbol{＞1000}$
解析
【分析】
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，可结合一次函数图象的意义分析：函数图象位置更高的，对应$x$的函数值更大。解题步骤为：①先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，即$y_1=y_2$，可得到交点的横坐标；②观察交点左右两侧两个图象的上下位置，当$y_1$的图象在$y_2$上方时，对应的$x$范围就是所求范围。根据图象可知两个函数交点的横坐标为1000，且交点右侧$y_1$图象位置更高，即可得到结果。
【解析】
首先联立两个一次函数的解析式，令$y_1=y_2$，可得：
$k_1x = k_2x + 1000$
结合图象可知，两个函数图象的交点横坐标为1000，即当$x=1000$时，$y_1=y_2$。
观察图象的位置关系：当$x＞1000$时，函数$y_1=k_1x$的图象位于$y_2=k_2x+1000$的图象上方，此时对应的函数值满足$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞1000}$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数与不等式的结合应用，核心是理解函数图象的上下位置对应函数值的大小关系，结合交点位置分析即可快速得出结论，是函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
要判断$y_1＞y_2$时$x$的取值范围，可结合一次函数图象的意义分析：函数图象位置更高的，对应$x$的函数值更大。解题步骤为：①先找到两个函数图象的交点，交点处两个函数值相等，即$y_1=y_2$，可得到交点的横坐标；②观察交点左右两侧两个图象的上下位置，当$y_1$的图象在$y_2$上方时，对应的$x$范围就是所求范围。根据图象可知两个函数交点的横坐标为1000，且交点右侧$y_1$图象位置更高，即可得到结果。
【解析】
首先联立两个一次函数的解析式，令$y_1=y_2$，可得：
$k_1x = k_2x + 1000$
结合图象可知，两个函数图象的交点横坐标为1000，即当$x=1000$时，$y_1=y_2$。
观察图象的位置关系：当$x＞1000$时，函数$y_1=k_1x$的图象位于$y_2=k_2x+1000$的图象上方，此时对应的函数值满足$y_1＞y_2$。
【答案】
$\boldsymbol{＞1000}$
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题考查一次函数与不等式的结合应用，核心是理解函数图象的上下位置对应函数值的大小关系，结合交点位置分析即可快速得出结论，是函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
(3) 将函数$y=2x+3$的图象平移，使它经过点$(2,-1)$，平移后图象对应的函数表达式是________；[第1(2)题]
(4) 在函数$y=x+4$中，若自变量$x$的取值范围是$-3＜x＜-1$，则函数值$y$的取值范围为________；
(5) 如图，一扇长方形推拉窗的高为$1.5\ \mathrm{m}$，活动窗户的通风面积$S\ \mathrm{m}^2$关于拉开长度$a\ \mathrm{m}$的函数表达式是________；
[第1(5)题]
(6) 祖孙两人进行爬山比赛，孙子让爷爷先行，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示祖孙两人离开山脚的距离$y\ \mathrm{m}$与比赛时间$t\ \mathrm{min}$之间的关系，孙子让爷爷先行了$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，两个人的速度分别为________，山脚距山顶$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$；
[第1(6)题]
(4) 在函数$y=x+4$中，若自变量$x$的取值范围是$-3＜x＜-1$，则函数值$y$的取值范围为________；
(5) 如图，一扇长方形推拉窗的高为$1.5\ \mathrm{m}$，活动窗户的通风面积$S\ \mathrm{m}^2$关于拉开长度$a\ \mathrm{m}$的函数表达式是________；
[第1(5)题](6) 祖孙两人进行爬山比赛，孙子让爷爷先行，然后追赶爷爷，图中两条线段分别表示祖孙两人离开山脚的距离$y\ \mathrm{m}$与比赛时间$t\ \mathrm{min}$之间的关系，孙子让爷爷先行了$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$，两个人的速度分别为________，山脚距山顶$\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}$；
[第1(6)题]答案
解：(3) 平移后一次函数的斜率不变，设平移后函数表达式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，
所以平移后图象对应的函数表达式是$\boldsymbol{y=2x-5}$。
(4) 函数$y=x+4$中$y$随$x$的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得函数值$y$的取值范围为$\boldsymbol{1＜y＜3}$。
(5) 由长方形面积公式，通风面积$S$等于拉开长度$a$乘以窗户高度$1.5\ \mathrm{m}$，
所以函数表达式是$\boldsymbol{S=1.5a}$。
(6) 由图可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\ \mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$\boldsymbol{60}\ \mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\ \mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\ \mathrm{m/min}$，即两人速度分别为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m/min}、15\ \mathrm{m/min}}$；
两人最终到达的山顶距离山脚为$\boldsymbol{120}\ \mathrm{m}$。
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，
所以平移后图象对应的函数表达式是$\boldsymbol{y=2x-5}$。
(4) 函数$y=x+4$中$y$随$x$的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得函数值$y$的取值范围为$\boldsymbol{1＜y＜3}$。
(5) 由长方形面积公式，通风面积$S$等于拉开长度$a$乘以窗户高度$1.5\ \mathrm{m}$，
所以函数表达式是$\boldsymbol{S=1.5a}$。
(6) 由图可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\ \mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$\boldsymbol{60}\ \mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\ \mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\ \mathrm{m/min}$，即两人速度分别为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m/min}、15\ \mathrm{m/min}}$；
两人最终到达的山顶距离山脚为$\boldsymbol{120}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(3) 一次函数图象平移时x的系数（斜率k）保持不变，因此可先设平移后的函数表达式为$y=2x+b$，再将已知经过的点$(2,-1)$代入表达式，解出未知参数b即可得到平移后的解析式。
(4) 先判断一次函数$y=x+4$的增减性，因$k=1＞0$，y随x的增大而增大，将x取值范围的两个端点代入函数算出对应y值，结合x的开区间范围即可得到y的取值范围。
(5) 活动窗户的通风面是长方形，一边长为窗户高1.5m，另一边长为拉开长度a，根据长方形面积公式直接列出函数表达式即可。
(6) 观察函数图象：t=0时爷爷已离开山脚60m，即为先行的距离；速度等于路程除以对应时间，分别计算祖孙两人的路程与对应时间的比值即可得到速度；图象中两人到达的最大距离就是山脚到山顶的高度。
【解析】
(3) 一次函数平移后斜率不变，设平移后函数表达式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，即平移后函数表达式为$y=2x-5$。
(4) 函数$y=x+4$中$k=1＞0$，y随x的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得y的取值范围为$1＜y＜3$。
(5) 通风面积为长方形面积，长方形的长为拉开长度a，宽为窗户高$1.5\mathrm{m}$，
根据长方形面积公式得：$S=1.5a$。
(6) 由图象可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$60\mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\mathrm{m/min}$；
两人最终到达的最大高度为$120\mathrm{m}$，即山脚距山顶$120\mathrm{m}$。
【答案】
(3) $y=2x-5$；(4) $1＜y＜3$；(5) $S=1.5a$；(6) $60$；$6\mathrm{m/min}$、$15\mathrm{m/min}$；$120$
【知识点】
一次函数平移性质；一次函数增减性；一次函数实际应用
【点评】
这组题目属于一次函数基础考点，覆盖了解析式求解、性质应用、实际场景建模、图象信息提取等内容，解题核心是牢记一次函数基本性质，准确提取题干和图象中的有效信息。
【难度系数】
0.8
(3) 一次函数图象平移时x的系数（斜率k）保持不变，因此可先设平移后的函数表达式为$y=2x+b$，再将已知经过的点$(2,-1)$代入表达式，解出未知参数b即可得到平移后的解析式。
(4) 先判断一次函数$y=x+4$的增减性，因$k=1＞0$，y随x的增大而增大，将x取值范围的两个端点代入函数算出对应y值，结合x的开区间范围即可得到y的取值范围。
(5) 活动窗户的通风面是长方形，一边长为窗户高1.5m，另一边长为拉开长度a，根据长方形面积公式直接列出函数表达式即可。
(6) 观察函数图象：t=0时爷爷已离开山脚60m，即为先行的距离；速度等于路程除以对应时间，分别计算祖孙两人的路程与对应时间的比值即可得到速度；图象中两人到达的最大距离就是山脚到山顶的高度。
【解析】
(3) 一次函数平移后斜率不变，设平移后函数表达式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1=2×2 + b$，
解得$b=-5$，即平移后函数表达式为$y=2x-5$。
(4) 函数$y=x+4$中$k=1＞0$，y随x的增大而增大，
当$x=-3$时，$y=-3+4=1$；当$x=-1$时，$y=-1+4=3$，
结合$-3＜x＜-1$，可得y的取值范围为$1＜y＜3$。
(5) 通风面积为长方形面积，长方形的长为拉开长度a，宽为窗户高$1.5\mathrm{m}$，
根据长方形面积公式得：$S=1.5a$。
(6) 由图象可知，$t=0$时爷爷距离山脚$60\mathrm{m}$，即孙子让爷爷先行了$60\mathrm{m}$；
爷爷的速度为$\frac{120-60}{10}=6\mathrm{m/min}$，孙子的速度为$\frac{120}{8}=15\mathrm{m/min}$；
两人最终到达的最大高度为$120\mathrm{m}$，即山脚距山顶$120\mathrm{m}$。
【答案】
(3) $y=2x-5$；(4) $1＜y＜3$；(5) $S=1.5a$；(6) $60$；$6\mathrm{m/min}$、$15\mathrm{m/min}$；$120$
【知识点】
一次函数平移性质；一次函数增减性；一次函数实际应用
【点评】
这组题目属于一次函数基础考点，覆盖了解析式求解、性质应用、实际场景建模、图象信息提取等内容，解题核心是牢记一次函数基本性质，准确提取题干和图象中的有效信息。
【难度系数】
0.8
