1.（1）下列图形对称轴最多的是 （）

A.正方形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.线段

1.(1) A

【分析】
这道题考查常见轴对称图形的对称轴数量，解题时首先明确对称轴的定义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。接下来分别统计每个选项中图形的对称轴条数，再比较条数多少，选出条数最多的选项即可。
【解析】
我们逐个分析各选项的对称轴数量：
A. 正方形：对边中点的连线所在直线、两条对角线所在直线都是它的对称轴，共4条；
B. 等边三角形：每条边上的高所在直线都是对称轴，共3条；
C. 等腰三角形：只有底边的高（顶角平分线、底边中线）所在直线这1条对称轴；
D. 线段：有2条对称轴，分别是线段的垂直平分线、线段本身所在的直线。
对比可知，正方形的对称轴数量最多。
【答案】A
【知识点】
轴对称图形；对称轴判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查常见轴对称图形的对称轴数量，熟记各类常见轴对称图形的对称轴特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9

(2)已知$∠ AOB=30°$，点$P$在$∠ AOB$内部，$P_1$与$P$关于$OB$对称，$P_2$与$P$关于$OA$对称，则$P_1$，$O$，$P_2$三点所构成的三角形是（）

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

1.(2) D

【分析】
本题可根据轴对称的性质得到相等的线段与相等的角，再结合已知角的度数判断三角形的形状。首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，对应点到对称轴上任意一点的距离相等，对应角相等。我们可以先连接OP，分别推导OP₁、OP₂与OP的数量关系，再计算∠P₁OP₂的度数，最后根据特殊三角形的判定定理判断三角形类型。
【解析】
解：连接OP，
∵ $P_1$与$P$关于$OB$对称，
∴ $OP_1 = OP$，$∠P_1OB = ∠POB$，
∵ $P_2$与$P$关于$OA$对称，
∴ $OP_2 = OP$，$∠P_2OA = ∠POA$，
∴ $OP_1 = OP_2$，
又
∵ $∠P_1OP_2 = ∠P_1OB + ∠POB + ∠POA + ∠P_2OA = 2(∠POB + ∠POA) = 2∠AOB$，
已知$∠AOB = 30°$，
∴ $∠P_1OP_2 = 2×30° = 60°$，
在$△ P_1OP_2$中，$OP_1 = OP_2$，且有一个内角为$60°$，
∴ $△ P_1OP_2$是等边三角形，故选D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础题，解题核心是利用轴对称的性质转化相等的线段和角，再结合等边三角形的判定条件得出结论，是轴对称性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.75

2. (1)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图1所示的图形，已知$∠ CED' = 60°$，则$∠ BAD'$的大小是。

(2)如图2，点A，B在直线$l$的同侧，$AB=4\mathrm{cm}$，点C是点B关于直线$l$的对称点，AC交直线$l$于点D，$AC=5\mathrm{cm}$，则$△ ABD$的周长为$\mathrm{cm}$。

2.(1) $30°$ (2)9

【分析】
(1) 折叠类问题的核心是折叠前后对应图形全等，对应角、对应边相等。结合矩形内角为90°的性质，先由已知∠CED'求出折叠前后对应的∠AED、∠AED'的度数，再计算出∠DAE与∠D'AE的度数，最后用矩形内角∠DAB减去∠DAD'的度数即可得到∠BAD'的大小。
(2) 关于直线对称的两个点，对称轴上的任意点到两点的距离相等，据此可得BD=CD，将△ABD的周长中的BD替换为CD，即可把周长转化为AB与AC的长度和，代入已知数值就能求出结果。
【解析】
(1)
∵ 矩形ABCD沿AE折叠得到△AD'E
∴ △ADE≌△AD'E，得∠D=∠D'=90°，∠DAE=∠D'AE，∠AED=∠AED'
∵ ∠CED'=60°，∠CED为平角即180°
∴ ∠DED'=180°-∠CED'=180°-60°=120°
∴ ∠AED=∠AED'=120°÷2=60°
在Rt△ADE中，∠DAE=90°-∠AED=90°-60°=30°
∴ ∠DAD'=∠DAE+∠D'AE=30°+30°=60°
又
∵ 矩形ABCD中∠DAB=90°
∴ ∠BAD'=∠DAB-∠DAD'=90°-60°=30°
(2)
∵ 点C是点B关于直线l的对称点
∴ 直线l垂直平分线段BC，可得BD=CD
△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC
已知AB=4cm，AC=5cm，代入得周长=4+5=9cm
【答案】
(1) $30°$；(2) 9
【知识点】
折叠的性质；轴对称的性质；矩形的性质
【点评】
这两道题是轴对称应用的基础常见题型，解题核心是抓住图形变换后对应边、对应角相等的性质，将未知量转化为已知量求解，掌握这类题型能为后续复杂的轴对称相关题目打好基础。
【难度系数】
0.8

3.如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站P,分别向A,B两个开发区运货。

(1)如图1,若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离相等,那么货物中转站应建在哪里？
(2)如图2,若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离和最小,那么货物中转站应建在哪里？
(分别在图上找出点P,保留作图痕迹,不写作法)

3.(1)如图1所示，点P即为所求作。
(2)如图2所示，点P即为所求作。

【分析】
(1) 要求点P到A、B的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点P在线段AB的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，找到它与MN的交点即可。
(2) 要求点P到A、B的距离和最小，属于最短路径问题，我们可以利用轴对称的性质，将其中一个点对称到MN的另一侧，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，连线与MN的交点就是所求的点P，此时距离和等于对称点到另一点的线段长度，是最小值。
【解析】
(1) 作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与公路MN的交点即为货物中转站P的位置，作图保留作垂直平分线的弧线痕迹。
(2) 作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B，线段A'B与MN的交点即为货物中转站P的位置，作图保留作对称点的垂线痕迹、对称点标记以及连线痕迹。
【答案】
(1)如图1所示，点P即为所求作。
(2)如图2所示，点P即为所求作。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，最短路径作图
【点评】
本题是几何作图的基础应用题，分别对应两个常见的作图模型，解题的核心是理解对应几何性质的实际应用，掌握两类作图的方法和原理。
【难度系数】
0.7

4. 请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：。

4. 等边三角形的三个角都相等

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先要明确命题的结构：所有命题都由题设（条件）和结论两部分组成，逆命题是将原命题的题设和结论互换位置得到的命题。首先拆分原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”：题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”，把两者互换就能得到逆命题。
【解析】
第一步：拆分原命题的题设和结论
原命题的题设：一个三角形的三个角都相等
原命题的结论：这个三角形是等边三角形
第二步：将题设和结论互换位置，得到逆命题：等边三角形的三个角都相等
【答案】
等边三角形的三个角都相等
【知识点】
1. 逆命题的定义
2. 命题的结构
3. 等边三角形的性质与判定
【点评】
本题考查逆命题的改写，解题核心是准确区分原命题的题设与结论，属于基础类题目，熟练掌握命题相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9

5. 定理“等边三角形的三个角都是$60°$”的逆定理是。

5. 三个角均是$60°$的三角形是等边三角形

【分析】
要找一个定理的逆定理，首先要明确逆定理的定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理。解题可分三步：第一步拆分原定理的题设（条件）和结论，原定理中条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形的三个角都是$60°$”；第二步将条件和结论互换位置得到逆命题；第三步验证该逆命题为真命题，即可确定它是原定理的逆定理。
【解析】
首先拆分原定理的结构：
原定理“等边三角形的三个角都是$60°$”的题设为：一个三角形是等边三角形，结论为：这个三角形的三个角都是$60°$。
将题设和结论互换，得到命题：三个角都是$60°$的三角形是等边三角形。
根据等边三角形的判定规则，该命题是真命题，因此它就是原定理的逆定理。
【答案】
三个角均是$60°$的三角形是等边三角形
【知识点】
逆定理的概念；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对逆定理定义的理解与应用，解题的关键是准确区分原定理的条件和结论，互换后需验证所得命题为真命题才能作为逆定理，避免出现仅互换内容不验证真假的错误。
【难度系数】
0.85

6.如图，直线m,n交于点B，点A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，这样的点C有

（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. D

【分析】
要使△ABC为等腰三角形，需分三类讨论等腰三角形的腰和底边的情况：①AB为腰，点A为顶角顶点；②AB为腰，点B为顶角顶点；③AB为底边。结合尺规作图的方法，分别找到直线n上满足条件的点C的个数，最后汇总即可。
【解析】
我们分三种情况寻找符合条件的点C：
1. 当AB=AC时：以点A为圆心，AB的长度为半径画弧，与直线n交于1个点（点B除外，三点共线无法构成三角形），该点即为满足条件的C；
2. 当AB=BC时：以点B为圆心，AB的长度为半径画弧，直线n过点B，因此圆弧与直线n交于B点两侧的2个点，这2个点均满足条件；
3. 当AC=BC时：作线段AB的垂直平分线，与直线n交于1个点，该点到A、B的距离相等，满足条件。
综上，符合条件的点C共有1+2+1=4个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的定义；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是未进行分类讨论导致漏解，解题时需明确等腰三角形未指定腰和底边时，要分情况讨论顶角顶点的位置，结合尺规作图能更直观地找到所有符合条件的点。
【难度系数】
0.6

7.(1)等腰三角形的一个外角等于$100°$，则它的底角等于________。
(2)一个等腰三角形两边的长分别为3和8，那么这个三角形的周长是________。
(3)如图，$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD⊥ BC$，垂足为D，若$∠ BAC=70°$，则$∠ BAD$的度数为________。
(4)等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________。
(5)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$，则该等腰三角形的底角的度数为________。

7.(1) $80°$或 $50°$
(2) 19
(3) $35°$
(4) $120°$
(5) $63°$或 $27°$

【分析】
（1）需分类讨论100°的外角是顶角的外角还是底角的外角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角即可。
（2）分腰长为3和腰长为8两种情况，先根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算符合条件的周长。
（3）利用等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是∠BAC的角平分线，平分顶角即可得到∠BAD的度数。
（4）等边三角形的中线同时是内角的角平分线，结合三角形内角和即可计算两条中线相交所成钝角的度数。
（5）分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，先求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等的性质计算底角。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①若100°是等腰三角形顶角的外角，则顶角为$180°-100°=80°$，底角为$\frac{180°-80°}{2}=50°$；
②若100°是等腰三角形底角的外角，则底角为$180°-100°=80°$，此时顶角为$180°-2×80°=20°$，符合三角形内角和规律。
综上，底角为$80°$或$50°$。
(2) 分两种情况讨论：
①若腰长为3，三边长为3、3、8，$3+3=6＜8$，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去；
②若腰长为8，三边长为8、8、3，$3+8＞8$，满足三边关系，周长为$8+8+3=19$。
(3) $\because AB=AC$，$AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$。
(4) 等边三角形每个内角为$60°$，中线同时为内角的角平分线，因此两条中线与等边三角形一边构成的三角形中，两个底角均为$\frac{1}{2}×60°=30°$，
则两条中线相交所成的钝角为$180°-30°-30°=120°$。
(5) 分两种情况讨论：
①当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，顶角为$90°-36°=54°$，底角为$\frac{180°-54°}{2}=63°$；
②当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，顶角的邻补角为$90°-36°=54°$，则顶角为$180°-54°=126°$，底角为$\frac{180°-126°}{2}=27°$。
综上，底角为$63°$或$27°$。
【答案】
(1) $80°$或$50°$；(2) $19$；(3) $35°$；(4) $120°$；(5) $63°$或$27°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，等边三角形的性质
【点评】
本组题目围绕等腰、等边三角形的性质设置，解题的关键是合理运用分类讨论思想，对多种可能的情况逐一分析，同时要结合三角形的基本性质验证结果的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7