7.如图,上午9时,一条船从A处出发,以20海里/时的速度向正北航行,上午11时到达B处,从A,B处望灯塔C,测得∠NAC = 35°,∠NBC=70°,那么从B处到灯塔C的距离是海里。

7. 40

【分析】
解题时首先根据航行时间和速度计算出AB的长度，再结合三角形外角的性质求出∠C的度数，通过判断∠C与∠A相等，利用“等角对等边”的等腰三角形判定定理即可得到BC与AB的长度关系，从而求出B到C的距离。
【解析】
解：首先计算船从A到B的航行时间：$11时 - 9时 = 2小时$，
由路程=速度×时间可得，AB的长度为：$20× 2=40$（海里）。
∵$∠ NBC$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ NBC = ∠ NAC + ∠ C$，
代入已知$∠ NBC=70°$，$∠ NAC=35°$，得：
$70° = 35° + ∠ C$，解得$∠ C=35°$，
∴$∠ C = ∠ NAC = 35°$，
根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可得$BC = AB = 40$海里。
【答案】
40
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形外角的性质，行程问题计算
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何性质的应用，解题核心是通过外角性质推导得到等角，进而利用等腰三角形的判定得到边的等量关系，解题思路清晰，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8

8. 如图所示，AD是$△ ABC$的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F，连结DE，若$DE=EF$，试判断$△ AEF$的形状，并说明理由。

8. △AEF 是等边三角形。理由如下:设 AD,EF 交于点O,如图,因为 EF是 AD 的垂直平分线,所以 ∠AOE =∠AOF=90°,AE=DE。因为 AD 是△ABC 的角平分线,所以 ∠EAD=∠CAD。因为 AO=AO,所以△AEO≌△AFO(ASA),所以 AE=AF。因为 AE=DE,DE= EF,所以 AE = EF,所以 AE = EF = AF,所以△AEF是等边三角形。

【分析】
解题时先从已知条件出发逐步推导：首先回忆线段垂直平分线的性质，可得$AE=DE$且$EF⊥AD$；再结合AD是角平分线的条件，可证$△AEO$和$△AFO$全等，得到$AE=AF$，先确定$△AEF$是等腰三角形；最后结合已知$DE=EF$，通过等量代换得到三边相等，即可判断三角形形状。
【解析】
设$AD$，$EF$交于点$O$，如图：
1. 因为$EF$是$AD$的垂直平分线，所以$∠ AOE=∠ AOF=90°$，且点$E$在$AD$的垂直平分线上，因此$AE=DE$。
2. 因为$AD$是$△ ABC$的角平分线，所以$∠ EAD=∠ CAD$。
3. 在$△ AEO$和$△ AFO$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FAO\\AO=AO\\∠ AOE=∠ AOF\end{cases}$
所以$△ AEO≌△ AFO(\mathrm{ASA})$，因此$AE=AF$。
4. 已知$DE=EF$，结合$AE=DE$，等量代换得$AE=EF$，因此$AE=EF=AF$，三边相等的三角形为等边三角形。
【答案】
$△ AEF$是等边三角形。理由如下:设 $AD$,$EF$ 交于点$O$,如图,因为 $EF$是 $AD$ 的垂直平分线,所以 $∠ AOE =∠ AOF=90°$,$AE=DE$。因为 $AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线,所以 $∠ EAD=∠ CAD$。因为 $AO=AO$,所以$△ AEO≌△ AFO(\mathrm{ASA})$,所以 $AE=AF$。因为 $AE=DE$,$DE= EF$,所以 $AE = EF$,所以 $AE = EF = AF$,所以$△ AEF$是等边三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了线段垂直平分线、角平分线的性质，全等三角形的判定以及等边三角形的判定，解题的关键是通过已知条件逐步推导边的等量关系，先证三角形为等腰三角形，再证明有一组邻边相等即可得到等边三角形，是基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$边上，且$BE=CF$，$BD=CE$。
(1)求证：$△ DEF$是等腰三角形。
(2)当$∠ A=40°$时，求$∠ DEF$的度数。

9. (1)因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。在△DBE 和△ECF 中,因为$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ABC=∠ACB, \\ BD=CE, \end{cases}$所以△DBE≌△ECF,所以 DE=EF,所以△DEF是等腰三角形。
(2)如图,因为△DBE ≌ △ECF,所以∠1=∠3,∠2 = ∠4。因为∠A+ ∠B + ∠C = 180°,且∠B=1/2(180°−40°)=70°,所以∠1+ ∠2 = 110°。因为∠1=∠3,所以∠3+∠2=110°,所以∠DEF=70°。

【分析】
(1) 要证明△DEF是等腰三角形，需证明它有两条边相等，优先证DE=EF。已知AB=AC，由等腰三角形性质可得底角∠B=∠C，结合题目给出的BE=CF、BD=CE，可通过SAS判定△DBE≌△ECF，利用全等三角形对应边相等得到DE=EF，即可完成证明。
(2) 求∠DEF的度数时，先利用△ABC内角和及等腰三角形性质算出底角∠B的度数，再在△DBE中根据内角和得到∠1+∠2的度数，结合全等三角形对应角相等得∠1=∠3，通过等量代换得到∠2+∠3的度数，最后根据平角为180°，减去∠2与∠3的和即可求出∠DEF的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等）
在△DBE和△ECF中：
$\begin{cases} BE=CF \\ ∠DBE=∠ECF \\ BD=CE \end{cases}$
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE=EF（全等三角形对应边相等）
∴△DEF是等腰三角形。
(2) 解：
由(1)得△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∵AB=AC，∠A=40°
∴$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$
在△DBE中，∠1+∠2+∠B=180°
∴∠1+∠2=180°-70°=110°
∵∠1=∠3，
∴∠3+∠2=110°
又
∵∠2+∠DEF+∠3=180°（平角的定义）
∴∠DEF=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70°
【答案】
(1)因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB。在△DBE 和△ECF 中,因为$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ABC=∠ACB, \\ BD=CE, \end{cases}$所以△DBE≌△ECF,所以 DE=EF,所以△DEF是等腰三角形。
(2)如图,因为△DBE ≌ △ECF,所以∠1=∠3,∠2 = ∠4。因为∠A+ ∠B + ∠C = 180°,且∠B=1/2(180°−40°)=70°,所以∠1+ ∠2 = 110°。因为∠1=∠3,所以∠3+∠2=110°,所以∠DEF=70°。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，结合了全等三角形、等腰三角形的核心考点，解题的关键是先通过SAS证明三角形全等，得到边和角的等量关系，再结合内角和性质推导所求角度，是等腰三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，在△ABC中，∠B=25°，∠A = 100°，点P在△ABC的三边上运动，当△PAC成为等腰三角形时，其顶角的度数是。

10. 100°或55°或70°

【分析】
首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数为55°，再对点P的位置及等腰△PAC的腰的情况分类讨论：①点P在AB边上时，仅AP=AC的情况符合三角形内角和要求，对应顶角为100°；②点P在BC边上时，分别讨论AC=PC、AC=AP、PA=PC三种等腰情况，计算对应顶角度数，排除点P在AC边上无法构成三角形的情况，最终汇总所有可能的顶角度数即可。
【解析】
在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=25°，由三角形内角和定理得：
$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ B=180°-100°-25°=55°$
分情况讨论：
1. 点P在AB边上：
此时$∠ PAC=∠ BAC=100°$，若为PA=PC或AC=PC的等腰三角形，会出现两个内角≥100°，不符合三角形内角和定理，仅AC=AP成立，此时顶角为$∠ PAC=100°$。
2. 点P在BC边上：
① 若AC=PC，等腰△PAC的顶角为$∠ ACB=55°$；
② 若AC=AP，等腰△PAC的底角为$∠ ACB=∠ APC=55°$，顶角$∠ PAC=180°-2×55°=70°$；
③ 若PA=PC，等腰△PAC的底角为$∠ PAC=∠ ACB=55°$，顶角$∠ APC=180°-2×55°=70°$。
点P在AC边上时，P、A、C三点共线，无法构成三角形，舍去。
综上，△PAC为等腰三角形时顶角的度数为100°或55°或70°。
【答案】
100°或55°或70°
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定和性质的应用，解题的关键是合理分类讨论，同时结合三角形内角和定理排除不成立的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

11. 在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，使$△ ABC$是以AB为一边的等腰三角形，满足条件的点C有个。 第11题图

11. 6

【分析】
要找出满足条件的格点C，需分两类讨论：①AB为等腰三角形的腰，此时分别以A、B为圆心，AB的长度为半径作圆，圆上的格点（排除A、B本身，且三点不共线）即为符合条件的C点；②AB为等腰三角形的底，此时作AB的垂直平分线，垂直平分线上的格点满足AC=BC，也符合条件。最后统计所有符合要求的点的总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先建立平面直角坐标系，令点A的坐标为$(2,0)$，点B的坐标为$(4,2)$，则AB的长度为：
$AB=\sqrt{(4-2)^2+(2-0)^2}=2\sqrt{2}$
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
若A为顶角顶点，即$AC=AB=2\sqrt{2}$，在网格中找到到A的距离为$2\sqrt{2}$的格点，仅$(0,2)$这1个点符合要求；
若B为顶角顶点，即$BC=AB=2\sqrt{2}$，在网格中找到到B的距离为$2\sqrt{2}$的格点，仅$(2,4)$这1个点符合要求。
2. 当AB为等腰三角形的底时，即$AC=BC$，此时点C在AB的垂直平分线上，推导得垂直平分线的解析式为$x+y=4$，网格中符合该解析式的格点有$(1,3)$、$(2,2)$、$(3,1)$、$(4,0)$，共4个点。
综上，满足条件的点C总共有$1+1+4=6$个。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想，垂直平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查等腰三角形的判定，解题时需要分类讨论等腰三角形的腰和底两种情况，避免出现漏解的问题，能有效锻炼几何作图能力和分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6

12. 已知如图，在△ABC中，AB=AC。
(1)如图1，若∠α=35°,AD是BC上的高，AD=AE，则∠β的度数为。
(2)如图2，D为BC上任意一点。请你思考：在△ABC中，若AB=AC，AD=AE，则∠α和∠β之间有什么关系？如果有，请你写出来，并说明你的理由。

12. (1)因为在△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 上的高,所以∠α=∠CAD。因为∠α=35°,所以∠CAD=35°。因为 AD=AE,所以∠ADE=∠AED=72.5°,所以∠β=90°−72.5°=17.5°。故答案为 17.5°。
(2)∠α=2∠β。理由如下:因为 AD = AE,所以∠ADE = ∠AED,因为∠ADC = ∠ADE + ∠β= ∠AED + ∠β =(∠β+∠C) + ∠β = 2∠β+ ∠C。又因为∠ADC 为△ABD 的外角,所以∠ADC=∠B+∠α,所以∠B+∠α=2∠β+∠C,又因为 AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠α=2∠β。

【分析】
(1) 第一问解题思路：首先利用等腰三角形三线合一的性质，由AB=AC、AD是BC边上的高，可得AD平分顶角∠BAC，即∠CAD=∠α；再结合AD=AE可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和定理计算出∠ADE的度数；最后根据AD⊥BC、∠ADC=90°，用90°减去∠ADE的度数即可求出∠β的度数。
(2) 第二问解题思路：首先根据AD=AE得∠ADE=∠AED，再利用三角形外角的性质，分别将∠AED和∠ADC用含∠α、∠β、∠B、∠C的式子表示；结合AB=AC可得∠B=∠C，消去相等的角后即可推导出∠α和∠β的数量关系。
【解析】
(1) 解：
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，即∠CAD=∠α=35°。
∵AD=AE，
∴△ADE为等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-35°)÷2=72.5°，
∴∠β=∠ADC - ∠ADE=90°-72.5°=17.5°。
(2) 解：∠α=2∠β，理由如下：
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED=∠β+∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠β=∠AED+∠β=(∠β+∠C)+∠β=2∠β+∠C，
又
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠α，
∴∠B+∠α=2∠β+∠C，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，
等式两边同时减去相等的∠B和∠C，可得∠α=2∠β。
【答案】
(1) $\boxed{17.5°}$；(2) $\boxed{∠α=2∠β}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题围绕等腰三角形的相关性质考查，第一问是等腰三角形性质的基础应用，第二问是从特殊情况到一般情况的推导，解题时需要灵活运用三角形外角的性质建立不同角之间的联系，能够有效锻炼逻辑推理和几何证明的能力。
【难度系数】
0.7