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4.下列方程中,为一元一次方程的是().
A.$\frac{1}{x} - 1 = 2$
B.$x^2 + 3 = x + 2$
C.$-x - 3 = 4$
D.$2y - 3x = 2$
A.$\frac{1}{x} - 1 = 2$
B.$x^2 + 3 = x + 2$
C.$-x - 3 = 4$
D.$2y - 3x = 2$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个选项是一元一次方程，首先要牢记一元一次方程的三个判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（即分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，我们逐个分析选项：
A选项：方程左边的$\frac{1}{x}$分母含有未知数，属于分式，该方程不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，排除；
B选项：方程中$x$的最高次数是2，不满足未知数次数为1的要求，属于一元二次方程，排除；
C选项：方程只含有未知数$x$，$x$的次数是1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，当选；
D选项：方程含有$x$和$y$两个未知数，不满足只含一个未知数的要求，属于二元一次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定要点，逐一排查选项即可，要注意不要混淆整式方程和分式方程，同时关注未知数的个数和次数要求。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是一元一次方程，首先要牢记一元一次方程的三个判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为1；③方程两边都是整式（即分母不含未知数）。解题时只需将每个选项依次对照这三个条件，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，我们逐个分析选项：
A选项：方程左边的$\frac{1}{x}$分母含有未知数，属于分式，该方程不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，排除；
B选项：方程中$x$的最高次数是2，不满足未知数次数为1的要求，属于一元二次方程，排除；
C选项：方程只含有未知数$x$，$x$的次数是1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义，当选；
D选项：方程含有$x$和$y$两个未知数，不满足只含一个未知数的要求，属于二元一次方程，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的定义；整式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟练掌握一元一次方程的三个判定要点，逐一排查选项即可，要注意不要混淆整式方程和分式方程，同时关注未知数的个数和次数要求。
【难度系数】
0.8
5.若方程$x^{n-2} - 3 = 5$是关于x的一元一次方程，则n=.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。题目已说明该方程是关于x的一元一次方程，因此x的次数必须等于1，据此列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
已知方程$x^{n-2} - 3 = 5$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此：
$n - 2 = 1$
移项计算得：$n = 1 + 2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题核心是抓住一元一次方程中未知数最高次数为1的特征，熟练掌握基础定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程。题目已说明该方程是关于x的一元一次方程，因此x的次数必须等于1，据此列出关于n的等式，求解即可得到n的值。
【解析】
已知方程$x^{n-2} - 3 = 5$是关于x的一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的最高次数为1，因此：
$n - 2 = 1$
移项计算得：$n = 1 + 2 = 3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考察题，解题核心是抓住一元一次方程中未知数最高次数为1的特征，熟练掌握基础定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6.小马虎在解关于x的方程$2a - 5x = 21$时，误将“$-5x$”看成了“$+5x$”，得方程的解为$x=3$，则原方程的解为。
答案
$\boldsymbol{x=-3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是找到看错符号过程中不变的量：参数a的取值是正确的。首先将错误方程的解x=3代入小马虎看错后得到的方程，求出a的数值，再把a的值代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
第一步：求参数a的值
小马虎看错后的方程为$2a + 5x = 21$，已知该方程的解为$x=3$，将$x=3$代入该方程得：
$2a + 5×3 = 21$
计算得：$2a + 15 = 21$
移项得：$2a = 21 - 15 = 6$
解得：$a = 3$
第二步：求解原方程
将$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$得：
$2×3 - 5x = 21$
计算得：$6 - 5x = 21$
移项得：$-5x = 21 - 6 = 15$
系数化为1得：$x = 15÷(-5) = -3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于错中求解类的基础题型，解题关键是抓住看错符号过程中参数a不变的特点，先求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，解题时注意遵守移项要变号的运算规则。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是找到看错符号过程中不变的量：参数a的取值是正确的。首先将错误方程的解x=3代入小马虎看错后得到的方程，求出a的数值，再把a的值代入原正确方程，解一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
第一步：求参数a的值
小马虎看错后的方程为$2a + 5x = 21$，已知该方程的解为$x=3$，将$x=3$代入该方程得：
$2a + 5×3 = 21$
计算得：$2a + 15 = 21$
移项得：$2a = 21 - 15 = 6$
解得：$a = 3$
第二步：求解原方程
将$a=3$代入原方程$2a - 5x = 21$得：
$2×3 - 5x = 21$
计算得：$6 - 5x = 21$
移项得：$-5x = 21 - 6 = 15$
系数化为1得：$x = 15÷(-5) = -3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于错中求解类的基础题型，解题关键是抓住看错符号过程中参数a不变的特点，先求出未知参数的值，再代入原方程求解即可，解题时注意遵守移项要变号的运算规则。
【难度系数】
0.8
7.若方程$(|k|-3)x^2-(k+3)x+6=0$是关于$x$的一元一次方程.
(1)求$k$的值；
(2)判断$x=-1$，$x=\frac{1}{6}$，$x=1$是不是该方程的解.
(1)求$k$的值；
(2)判断$x=-1$，$x=\frac{1}{6}$，$x=1$是不是该方程的解.
答案
解：
(1) 因为方程$(|k|-3)x^2-(k+3)x+6=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|k|-3=0 \\k+3≠0\end{cases}$
由$|k|-3=0$，得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$。
结合$k+3≠0$，即$k≠-3$，可得$k=3$。
(2) 将$k=3$代入原方程，得$-6x+6=0$。
把$x=-1$代入方程左边，左边$=-6×(-1)+6=12$，左边$≠$右边，所以$x=-1$不是该方程的解；
把$x=\frac{1}{6}$代入方程左边，左边$=-6×\frac{1}{6}+6=5$，左边$≠$右边，所以$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解；
把$x=1$代入方程左边，左边$=-6×1+6=0$，左边$=$右边，所以$x=1$是该方程的解。
(1) 因为方程$(|k|-3)x^2-(k+3)x+6=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|k|-3=0 \\k+3≠0\end{cases}$
由$|k|-3=0$，得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$。
结合$k+3≠0$，即$k≠-3$，可得$k=3$。
(2) 将$k=3$代入原方程，得$-6x+6=0$。
把$x=-1$代入方程左边，左边$=-6×(-1)+6=12$，左边$≠$右边，所以$x=-1$不是该方程的解；
把$x=\frac{1}{6}$代入方程左边，左边$=-6×\frac{1}{6}+6=5$，左边$≠$右边，所以$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解；
把$x=1$代入方程左边，左边$=-6×1+6=0$，左边$=$右边，所以$x=1$是该方程的解。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。
对于第(1)问，原方程含有二次项，要使其为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，同时保证一次项系数不为0，据此列条件求解k的值即可。
对于第(2)问，先将求得的k值代入原方程，得到具体的一元一次方程，再根据“方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值”，分别将三个x的值代入方程左边计算，对比结果和右边是否相等，即可判断是否为方程的解。
【解析】
(1) 因为方程$(|k|-3)x^2-(k+3)x+6=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|k|-3=0 \\k+3≠0\end{cases}$
由$|k|-3=0$，得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$。
结合$k+3≠0$，即$k≠-3$，可得$k=3$。
(2) 将$k=3$代入原方程，得$-6x+6=0$。
把$x=-1$代入方程左边，左边$=-6×(-1)+6=12$，左边$≠$右边，所以$x=-1$不是该方程的解；
把$x=\frac{1}{6}$代入方程左边，左边$=-6×\frac{1}{6}+6=5$，左边$≠$右边，所以$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解；
把$x=1$代入方程左边，左边$=-6×1+6=0$，左边$=$右边，所以$x=1$是该方程的解。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $x=-1$、$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解，$x=1$是该方程的解。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元一次方程定义的理解，易错点是求解k时容易遗漏一次项系数不为0的条件，导致错得$k=-3$，只要熟练掌握相关概念，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。
对于第(1)问，原方程含有二次项，要使其为一元一次方程，必须让二次项的系数为0，同时保证一次项系数不为0，据此列条件求解k的值即可。
对于第(2)问，先将求得的k值代入原方程，得到具体的一元一次方程，再根据“方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值”，分别将三个x的值代入方程左边计算，对比结果和右边是否相等，即可判断是否为方程的解。
【解析】
(1) 因为方程$(|k|-3)x^2-(k+3)x+6=0$是关于$x$的一元一次方程，
所以二次项系数为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}|k|-3=0 \\k+3≠0\end{cases}$
由$|k|-3=0$，得$|k|=3$，即$k=3$或$k=-3$。
结合$k+3≠0$，即$k≠-3$，可得$k=3$。
(2) 将$k=3$代入原方程，得$-6x+6=0$。
把$x=-1$代入方程左边，左边$=-6×(-1)+6=12$，左边$≠$右边，所以$x=-1$不是该方程的解；
把$x=\frac{1}{6}$代入方程左边，左边$=-6×\frac{1}{6}+6=5$，左边$≠$右边，所以$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解；
把$x=1$代入方程左边，左边$=-6×1+6=0$，左边$=$右边，所以$x=1$是该方程的解。
【答案】
(1) $k=3$；
(2) $x=-1$、$x=\frac{1}{6}$不是该方程的解，$x=1$是该方程的解。
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 方程的解的判定
3. 绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对一元一次方程定义的理解，易错点是求解k时容易遗漏一次项系数不为0的条件，导致错得$k=-3$，只要熟练掌握相关概念，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8.(创新意识、运算能力)阅读下列材料:
关于$x$的方程$x^3+x=1^3+1$的解是$x=1$；
$x^3+x=2^3+2$的解是$x=2$；
$x^3+x=(-2)^3+(-2)$的解是$x=-2$.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)观察上述方程以及解的特征,请你直接写出关于$x$的方程$x^3+x=4^3+4$的解:
；
(2)猜想:关于$x$的方程$x^3+x=a^3+a$的解是；
(3)请验证第(2)问的猜想；
(4)利用第(2)问的结论,解关于$x$的方程$(x-1)^3+x=(a+1)^3+a+2$.
关于$x$的方程$x^3+x=1^3+1$的解是$x=1$；
$x^3+x=2^3+2$的解是$x=2$；
$x^3+x=(-2)^3+(-2)$的解是$x=-2$.
根据以上材料,解答下列问题:
(1)观察上述方程以及解的特征,请你直接写出关于$x$的方程$x^3+x=4^3+4$的解:
；
(2)猜想:关于$x$的方程$x^3+x=a^3+a$的解是；
(3)请验证第(2)问的猜想；
(4)利用第(2)问的结论,解关于$x$的方程$(x-1)^3+x=(a+1)^3+a+2$.
答案
解：
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 验证：把$x=a$代入方程$x^3+x=a^3+a$的左边，
左边$=a^3 + a$，
右边$=a^3 + a$，
左边=右边，
所以$x=a$是方程$x^3+x=a^3+a$的解。
(4) 对原方程变形：
$(x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2$
移项得：$(x-1)^3 + x - 1 = (a+1)^3 + a + 1$
整理得：$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$
根据第(2)问的结论，可得$x-1 = a+1$
解得$x=a+2$。
(1) $x=4$
(2) $x=a$
(3) 验证：把$x=a$代入方程$x^3+x=a^3+a$的左边，
左边$=a^3 + a$，
右边$=a^3 + a$，
左边=右边，
所以$x=a$是方程$x^3+x=a^3+a$的解。
(4) 对原方程变形：
$(x-1)^3 + x = (a+1)^3 + a + 2$
移项得：$(x-1)^3 + x - 1 = (a+1)^3 + a + 1$
整理得：$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$
根据第(2)问的结论，可得$x-1 = a+1$
解得$x=a+2$。
解析
【分析】
本题是规律探究类题型，解题思路如下：1. 第(1)(2)问可直接观察已知方程与解的对应特征：当方程左边为$x^3+x$，右边为某个数的三次方与这个数的和时，方程的解就是这个数，直接类比即可得到答案；2. 第(3)问验证方程的解，依据方程解的定义，将猜想的解代入方程左右两边，判断两边是否相等即可；3. 第(4)问需要将原方程变形，凑成第(2)问的“某数的三次方加某数等于另一数的三次方加另一数”的标准形式，再套用规律求解，变形时注意将含x的项整理为和$(x-1)$相关的形式。
【解析】
(1) 观察已知示例：$x^3+x=n^3+n$的解为$x=n$，因此$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
(2) 类比上述规律，猜想关于x的方程$x^3+x=a^3+a$的解是$x=a$；
(3) 验证：把$x=a$代入方程$x^3+x=a^3+a$的左边，
左边$=a^3 + a$，右边$=a^3 + a$，左边=右边，
所以$x=a$是方程$x^3+x=a^3+a$的解；
(4) 对原方程变形：
原方程为$(x-1)^3+x=(a+1)^3+a+2$，
将左边的$x$拆为$(x-1)+1$，移项整理得：
$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + a + 1$，
即$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$，
根据第(2)问的结论，可得$x-1 = a+1$，
解得$x=a+2$。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=a$；(3) 验证见解析；(4) $x=a+2$
【知识点】
方程的解的定义、代数式变形、类比归纳
【点评】
本题结合给定材料考查规律探究与应用能力，需要学生从示例中总结共性规律，再通过代数变形将待解方程转化为符合规律的形式求解，能有效锻炼创新意识和运算能力，解题核心是抓住方程的结构特征。
【难度系数】
0.7
本题是规律探究类题型，解题思路如下：1. 第(1)(2)问可直接观察已知方程与解的对应特征：当方程左边为$x^3+x$，右边为某个数的三次方与这个数的和时，方程的解就是这个数，直接类比即可得到答案；2. 第(3)问验证方程的解，依据方程解的定义，将猜想的解代入方程左右两边，判断两边是否相等即可；3. 第(4)问需要将原方程变形，凑成第(2)问的“某数的三次方加某数等于另一数的三次方加另一数”的标准形式，再套用规律求解，变形时注意将含x的项整理为和$(x-1)$相关的形式。
【解析】
(1) 观察已知示例：$x^3+x=n^3+n$的解为$x=n$，因此$x^3+x=4^3+4$的解为$x=4$；
(2) 类比上述规律，猜想关于x的方程$x^3+x=a^3+a$的解是$x=a$；
(3) 验证：把$x=a$代入方程$x^3+x=a^3+a$的左边，
左边$=a^3 + a$，右边$=a^3 + a$，左边=右边，
所以$x=a$是方程$x^3+x=a^3+a$的解；
(4) 对原方程变形：
原方程为$(x-1)^3+x=(a+1)^3+a+2$，
将左边的$x$拆为$(x-1)+1$，移项整理得：
$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + a + 1$，
即$(x-1)^3 + (x-1) = (a+1)^3 + (a+1)$，
根据第(2)问的结论，可得$x-1 = a+1$，
解得$x=a+2$。
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=a$；(3) 验证见解析；(4) $x=a+2$
【知识点】
方程的解的定义、代数式变形、类比归纳
【点评】
本题结合给定材料考查规律探究与应用能力，需要学生从示例中总结共性规律，再通过代数变形将待解方程转化为符合规律的形式求解，能有效锻炼创新意识和运算能力，解题核心是抓住方程的结构特征。
【难度系数】
0.7
