3.「2026广西南宁隆安期中，★★☆」如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(1,0),B(3,0)$,且过点$C(0,-3)$.
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线$y=-x$上,并写出平移后抛物线的表达式.

(1)
∵ 抛物线与$x$轴交于点$A(1,0),B(3,0)$,$\therefore$ 抛物线的表达式可写为$y=a(x-1)(x-3)$,把$C(0,-3)$代入得$3a=-3$,解得$a=-1$,故抛物线的表达式为$y=-(x-1)(x-3)$,即$y=-x^2+4x-3$。$\because y=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(2,1)$。
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的表达式为$y=-x^2$,平移后抛物线的顶点坐标为$(0,0)$,抛物线顶点落在直线$y=-x$上(答案不唯一)。

4.「2025广东台山一模，★★☆」如图,开口向下的抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),点P的横坐标为1.
(1)求该抛物线所对应的函数表达式.
(2)连接AC,PC,PB,求四边形CABP的面积.

(1)设抛物线的表达式为$y=a(x+1)(x-2)$,将$C(0,4)$代入,得$-2a=4$,解得$a=-2$,$\therefore$ 该抛物线所对应的函数表达式为$y=-2(x+1)(x-2)$,即$y=-2x^2+2x+4$。
(2)将$x=1$代入$y=-2x^2+2x+4$,得$y=-2+2+4=4$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(1,4)$,$\therefore PC=1$。$\because A(-1,0),B(2,0),C(0,4),\therefore OA=1,OC=4,OB=2$。$\therefore$ 四边形$CABP$的面积为$S_{△ AOC}+S_{梯形BOCP}=\frac{1}{2}×1×4+\frac{1}{2}×(1+2)×4=2+6=8$。

5.「2026山东烟台莱阳期中，★☆」已知一个二次函数的图象经过$(-1,21),(1,7),(0,12)$三点，求这个二次函数的表达式.

设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$，把$(-1,21),(1,7),(0,12)$代入得$\begin{cases}a-b+c=21,\\a+b+c=7,\\c=12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\b=-7,\\c=12,\end{cases}$则二次函数的表达式为$y=2x^2-7x+12$。