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1. 下列各组线段中，成比例的是 （）
A.$a=2$，$b=3$，$c=4$，$d=1$；
B.$a=2$，$b=3$，$c=6$，$d=9$；
C.$a=4$，$b=6$，$c=5$，$d=10$；
D.$a=4$，$b=3$，$c=2$，$d=8$。
A.$a=2$，$b=3$，$c=4$，$d=1$；
B.$a=2$，$b=3$，$c=6$，$d=9$；
C.$a=4$，$b=6$，$c=5$，$d=10$；
D.$a=4$，$b=3$，$c=2$，$d=8$。
答案
1. B.
解析
【分析】
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大（或从大到小）排序，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例；也可以验证排序后前两条线段的比值是否等于后两条线段的比值。解题时先对每个选项的线段排序，再通过乘积法验证即可。
【解析】
判断四条线段成比例的依据：若四条线段排序后满足“最长×最短=中间两数乘积”，则为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段排序为1，2，3，4，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例；
B. 线段排序为2，3，6，9，计算得$2×9=18$，$3×6=18$，$18=18$，成比例；
C. 线段排序为4，5，6，10，计算得$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，不成比例；
D. 线段排序为2，3，4，8，计算得$2×8=16$，$3×4=12$，$16≠12$，不成比例。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，用乘积法验证比直接计算比值更简便，熟练掌握判定方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否成比例，首先回忆成比例线段的判定方法：先将四条线段按长度从小到大（或从大到小）排序，若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则这四条线段成比例；也可以验证排序后前两条线段的比值是否等于后两条线段的比值。解题时先对每个选项的线段排序，再通过乘积法验证即可。
【解析】
判断四条线段成比例的依据：若四条线段排序后满足“最长×最短=中间两数乘积”，则为成比例线段。
对各选项逐一分析：
A. 线段排序为1，2，3，4，计算得$1×4=4$，$2×3=6$，$4≠6$，不成比例；
B. 线段排序为2，3，6，9，计算得$2×9=18$，$3×6=18$，$18=18$，成比例；
C. 线段排序为4，5，6，10，计算得$4×10=40$，$5×6=30$，$40≠30$，不成比例；
D. 线段排序为2，3，4，8，计算得$2×8=16$，$3×4=12$，$16≠12$，不成比例。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
成比例线段的判定、比例的基本性质
【点评】
本题是成比例线段判定的基础题型，用乘积法验证比直接计算比值更简便，熟练掌握判定方法即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，D、E分别是边AB、AC上的点，且$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。如果$AD=20\ \mathrm{cm}$，$BD=12\ \mathrm{cm}$，$CE=9\ \mathrm{cm}$，那么$AE=$（）
A.$13\ \mathrm{cm}$；
B.$15\ \mathrm{cm}$；
C.$16\ \mathrm{cm}$；
D.$18\ \mathrm{cm}$。
A.$13\ \mathrm{cm}$；
B.$15\ \mathrm{cm}$；
C.$16\ \mathrm{cm}$；
D.$18\ \mathrm{cm}$。
答案
2. B.
解析
【分析】
题目给出了线段成比例的关系，要求AE的长度，我们可以先把比例式中涉及的AB、AC两条线段用已知量和未知量AE表示出来：AB的长度是AD与BD的和，AC的长度是AE与CE的和，再将各长度代入已知的比例式，通过解一元一次方程即可求出AE的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：
$AB = AD + BD = 20 + 12 = 32\ \mathrm{cm}$
设$AE = x\ \mathrm{cm}$，则$AC = AE + CE = (x + 9)\ \mathrm{cm}$
根据题意$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入数值可得：
$\frac{20}{32} = \frac{x}{x + 9}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$20(x + 9) = 32x$
展开并整理方程：
$20x + 180 = 32x$
$12x = 180$
解得$x = 15$，即$AE = 15\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的应用，解题关键是将相关线段用已知量和未知量表示后代入比例式，通过解方程求解未知线段，掌握比例的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
题目给出了线段成比例的关系，要求AE的长度，我们可以先把比例式中涉及的AB、AC两条线段用已知量和未知量AE表示出来：AB的长度是AD与BD的和，AC的长度是AE与CE的和，再将各长度代入已知的比例式，通过解一元一次方程即可求出AE的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：
$AB = AD + BD = 20 + 12 = 32\ \mathrm{cm}$
设$AE = x\ \mathrm{cm}$，则$AC = AE + CE = (x + 9)\ \mathrm{cm}$
根据题意$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，代入数值可得：
$\frac{20}{32} = \frac{x}{x + 9}$
根据比例的基本性质交叉相乘得：
$20(x + 9) = 32x$
展开并整理方程：
$20x + 180 = 32x$
$12x = 180$
解得$x = 15$，即$AE = 15\ \mathrm{cm}$
【答案】
B
【知识点】
成比例线段、比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查成比例线段的应用，解题关键是将相关线段用已知量和未知量表示后代入比例式，通过解方程求解未知线段，掌握比例的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知a、b、c、d是四条互不相等的线段，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么下列等式中，正确的是（）
A.$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$；
B.$\frac{a - c}{b - c}=\frac{c}{d}$；
C.$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$；
D.$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c - d}{c + d}$；
A.$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$；
B.$\frac{a - c}{b - c}=\frac{c}{d}$；
C.$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$；
D.$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c - d}{c + d}$；
答案
3. C.
解析
【分析】
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的核心性质，包括比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）、合比性质等；其次可通过两种方法验证选项：一是直接利用比例性质推导，二是将比例式交叉相乘转化为等积式，和已知条件对比判断，也可采用赋值法（给a、b、c、d赋满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的正数值）排除错误选项。
【解析】
已知a、b、c、d是互不相等的正线段，且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由比例的基本性质可得$ad=bc$，逐个分析选项：
1. 选项A：若$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$，交叉相乘得$ab=cd$，与已知$ad=bc$不符，故A错误；
2. 选项B：若$\frac{a - c}{b - c}=\frac{c}{d}$，交叉相乘得$d(a-c)=c(b-c)$，展开得$ad - cd = bc - c^2$，代入$ad=bc$化简得$c^2=cd$，即$c=d$，和四条线段互不相等矛盾，且分母$b-c$可能为0，故B错误；
3. 选项C：拆分左边式子得$\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，拆分右边式子得$\frac{c + d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1$，已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，因此$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，即$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$，符合合比性质，故C正确；
4. 选项D：若$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c - d}{c + d}$，交叉相乘得$(a+b)(c+d)=(a-b)(c-d)$，展开化简得$2ad+2bc=0$，因线段长度为正数，$ad、bc$均大于0，等式不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质；合比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以直接用比例性质推导，也可以通过举反例、交叉相乘转等积式的方法排除错误选项，解题时要注意线段长度为正、比例分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
本题考查比例性质的应用，解题思路如下：首先回忆比例的核心性质，包括比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）、合比性质等；其次可通过两种方法验证选项：一是直接利用比例性质推导，二是将比例式交叉相乘转化为等积式，和已知条件对比判断，也可采用赋值法（给a、b、c、d赋满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$的正数值）排除错误选项。
【解析】
已知a、b、c、d是互不相等的正线段，且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由比例的基本性质可得$ad=bc$，逐个分析选项：
1. 选项A：若$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$，交叉相乘得$ab=cd$，与已知$ad=bc$不符，故A错误；
2. 选项B：若$\frac{a - c}{b - c}=\frac{c}{d}$，交叉相乘得$d(a-c)=c(b-c)$，展开得$ad - cd = bc - c^2$，代入$ad=bc$化简得$c^2=cd$，即$c=d$，和四条线段互不相等矛盾，且分母$b-c$可能为0，故B错误；
3. 选项C：拆分左边式子得$\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1$，拆分右边式子得$\frac{c + d}{d}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}=\frac{c}{d}+1$，已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，因此$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，即$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$，符合合比性质，故C正确；
4. 选项D：若$\frac{a + b}{a - b}=\frac{c - d}{c + d}$，交叉相乘得$(a+b)(c+d)=(a-b)(c-d)$，展开化简得$2ad+2bc=0$，因线段长度为正数，$ad、bc$均大于0，等式不成立，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质；合比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，既可以直接用比例性质推导，也可以通过举反例、交叉相乘转等积式的方法排除错误选项，解题时要注意线段长度为正、比例分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
二、填空题
4. 如果$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{2x}{x+y}=$
4. 如果$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，那么$\frac{2x}{x+y}=$
$\frac{4}{5}$
。答案
4. $\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
已知x与y的比值，求含有x、y的分式的值，可采用比例问题中常用的设参数法求解：首先根据给出的比例关系，将x、y用含同一个参数的代数式表示，再代入所求分式中，参数会在约分过程中消去，即可计算得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
∴ 设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）
将$x=2k$，$y=3k$代入$\frac{2x}{x+y}$得：
$\frac{2x}{x+y}=\frac{2×2k}{2k+3k}=\frac{4k}{5k}$
∵ $k≠0$，约去k可得$\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质，分式化简，参数求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心考察利用比例关系求解代数式值的方法，设k法是处理这类比例问题的常用技巧，熟练掌握该方法可以有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.85
已知x与y的比值，求含有x、y的分式的值，可采用比例问题中常用的设参数法求解：首先根据给出的比例关系，将x、y用含同一个参数的代数式表示，再代入所求分式中，参数会在约分过程中消去，即可计算得到最终结果。
【解析】
解：
∵ $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
∴ 设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）
将$x=2k$，$y=3k$代入$\frac{2x}{x+y}$得：
$\frac{2x}{x+y}=\frac{2×2k}{2k+3k}=\frac{4k}{5k}$
∵ $k≠0$，约去k可得$\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}$
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质，分式化简，参数求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，核心考察利用比例关系求解代数式值的方法，设k法是处理这类比例问题的常用技巧，熟练掌握该方法可以有效提升解题效率和准确率。
【难度系数】
0.85
5.已知线段b是线段a、c的比例中项，如果a=2，c=3，那么b=
$\sqrt{6}$
.答案
5. $\sqrt{6}$.
解析
【分析】
首先看到题目中“b是线段a、c的比例中项”这一关键条件，先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足b²=ac。同时要注意题干中明确a、b、c是线段，线段的长度为正数，因此计算b时只需取正的平方根，无需考虑负根。接下来代入已知的a、c数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 线段b是线段a、c的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$b^2 = a· c$，
将$a=2$，$c=3$代入上式，得$b^2 = 2×3 = 6$，
又
∵ 线段的长度为正数，
∴ $b = \sqrt{6}$（负值舍去）。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
比例中项的定义、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查比例中项的基本性质，解题的易错点是忽略线段长度为正的要求，误写出负根，掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.8
首先看到题目中“b是线段a、c的比例中项”这一关键条件，先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足b²=ac。同时要注意题干中明确a、b、c是线段，线段的长度为正数，因此计算b时只需取正的平方根，无需考虑负根。接下来代入已知的a、c数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 线段b是线段a、c的比例中项，
∴ 根据比例中项的性质可得：$b^2 = a· c$，
将$a=2$，$c=3$代入上式，得$b^2 = 2×3 = 6$，
又
∵ 线段的长度为正数，
∴ $b = \sqrt{6}$（负值舍去）。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
比例中项的定义、算术平方根的计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查比例中项的基本性质，解题的易错点是忽略线段长度为正的要求，误写出负根，掌握基础概念即可正确解答。
【难度系数】
0.8
6. 已知线段AB的长是3 cm，M是线段AB的黄金分割点，那么较长线段AM的长是
$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$
cm，较短线段BM的长是$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$
cm.答案
6. $\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$；$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
解题首先要回忆黄金分割的定义：一条线段被一个点分成两部分，若较长部分长度与整条线段长度的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为这条线段的黄金分割点。本题已知AM是较长线段，因此先根据黄金比求出AM的长度，再用线段AB的总长减去AM的长度即可得到较短线段BM的长度。
【解析】
解：
∵M是线段AB的黄金分割点，且AM为较长线段，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AB=3cm，代入得：
$AM=3×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}\ \mathrm{cm}$，
较短线段$BM=AB-AM=3-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}=\frac{6-3\sqrt{5}+3}{2}=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$；$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查对黄金比的记忆和简单的代数式运算，牢记黄金比的取值、计算时做好通分化简即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题首先要回忆黄金分割的定义：一条线段被一个点分成两部分，若较长部分长度与整条线段长度的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则该点为这条线段的黄金分割点。本题已知AM是较长线段，因此先根据黄金比求出AM的长度，再用线段AB的总长减去AM的长度即可得到较短线段BM的长度。
【解析】
解：
∵M是线段AB的黄金分割点，且AM为较长线段，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知AB=3cm，代入得：
$AM=3×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}\ \mathrm{cm}$，
较短线段$BM=AB-AM=3-\frac{3\sqrt{5}-3}{2}=\frac{6-3\sqrt{5}+3}{2}=\frac{9-3\sqrt{5}}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$；$\frac{9-3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查对黄金比的记忆和简单的代数式运算，牢记黄金比的取值、计算时做好通分化简即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
