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7. 五角星是生活中常见的一种图形. 如图，已知C、D为线段AB的黄金分割点，AB=2，那么线段CD的长为
$2\sqrt{5}-4$
。答案
7. $2\sqrt{5}-4$.
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，则较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先根据黄金分割的性质求出线段AC、BD的长度，再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，重叠部分为CD，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵C、D为线段AB的黄金分割点，且AC、BD为较长线段，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵$AB=2$，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
又
∵$AC+BD=AD+CD+CD+BC=(AD+CD+BC)+CD=AB+CD$，
∴$CD=AC+BD-AB$，
代入数值可得：
$CD=(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}-1)-2=2\sqrt{5}-4$。
【答案】
$2\sqrt{5}-4$
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割性质的基础应用，解题的核心是准确掌握黄金分割的比值，理清线段之间的和差、重叠关系，避免混淆黄金分割对应的长短线段，即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点是线段的黄金分割点，则较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。首先根据黄金分割的性质求出线段AC、BD的长度，再观察线段的和差关系：AC与BD相加时，重叠部分为CD，因此$AC+BD=AB+CD$，变形即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵C、D为线段AB的黄金分割点，且AC、BD为较长线段，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵$AB=2$，
∴$AC=BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$，
又
∵$AC+BD=AD+CD+CD+BC=(AD+CD+BC)+CD=AB+CD$，
∴$CD=AC+BD-AB$，
代入数值可得：
$CD=(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}-1)-2=2\sqrt{5}-4$。
【答案】
$2\sqrt{5}-4$
【知识点】
1. 黄金分割的定义
2. 线段的和差计算
【点评】
本题是黄金分割性质的基础应用，解题的核心是准确掌握黄金分割的比值，理清线段之间的和差、重叠关系，避免混淆黄金分割对应的长短线段，即可快速求解。
【难度系数】
0.6
8. 如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观. 其中竖笔画起点为点A，终点为点C，交接处点B可看作是线段AC的黄金分割点(BC＞AB)，如果AB=1 cm，那么BC的长为
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
cm.答案
8. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.
解析
【分析】
解题首先要明确黄金分割点的定义：若点B把线段AC分成AB和BC（BC＞AB）两段，且满足BC与AC的比等于AB与BC的比，就称点B是AC的黄金分割点。我们可以先设BC的长度为x，用含x的式子表示出线段AC的总长，再根据黄金分割的比例关系列方程求解，最后结合线段长度为正的实际意义舍去负根即可。
【解析】
设BC的长为$x\ \mathrm{cm}$，则线段$AC=AB+BC=(1+x)\ \mathrm{cm}$。
∵点B是线段AC的黄金分割点，且$BC＞AB$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{BC}$，即$BC^2=AB· AC$，
代入已知条件得：$x^2=1×(1+x)$，
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-x-1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，故舍去负根$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
黄金分割、成比例线段、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合汉字书写结构考查黄金分割的实际应用，将数学知识和传统文化结合，解题核心是准确掌握黄金分割的比例关系，求解时注意结合实际意义取舍根，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确黄金分割点的定义：若点B把线段AC分成AB和BC（BC＞AB）两段，且满足BC与AC的比等于AB与BC的比，就称点B是AC的黄金分割点。我们可以先设BC的长度为x，用含x的式子表示出线段AC的总长，再根据黄金分割的比例关系列方程求解，最后结合线段长度为正的实际意义舍去负根即可。
【解析】
设BC的长为$x\ \mathrm{cm}$，则线段$AC=AB+BC=(1+x)\ \mathrm{cm}$。
∵点B是线段AC的黄金分割点，且$BC＞AB$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{BC}$，即$BC^2=AB· AC$，
代入已知条件得：$x^2=1×(1+x)$，
整理为一元二次方程标准形式：$x^2-x-1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段长度为正数，故舍去负根$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
【知识点】
黄金分割、成比例线段、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合汉字书写结构考查黄金分割的实际应用，将数学知识和传统文化结合，解题核心是准确掌握黄金分割的比例关系，求解时注意结合实际意义取舍根，难度不大。
【难度系数】
0.7
9. 已知在△ABC中，三边长$a=2$，$b=4$，$c=3$，$h_a$、$h_b$、$h_c$分别为边$a$、$b$、$c$上的高，那么$h_a:h_b:h_c=$
$6:3:4$
。答案
9. $6:3:4$.
解析
【分析】
解题时首先抓住同一三角形面积固定的特点，结合三角形面积公式“面积=1/2×底×对应高”，可得底和对应高的乘积为定值，即高与对应底成反比。我们可以先将三条高分别用三角形面积S表示出来，再作比，约掉公共项S后，将边长代入化简比值即可得到结果。
【解析】
设△ABC的面积为S，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}a h_a=\frac{1}{2}b h_b=\frac{1}{2}c h_c$
整理得三条高的表达式：
$h_a=\frac{2S}{a}$，$h_b=\frac{2S}{b}$，$h_c=\frac{2S}{c}$
因此高的比为：
$h_a:h_b:h_c=\frac{2S}{a}:\frac{2S}{b}:\frac{2S}{c}=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
将$a=2$，$b=4$，$c=3$代入得：
$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}:\frac{1}{3}$
给三项同时乘以分母的最小公倍数12消去分母，得：
$h_a:h_b:h_c=6:3:4$
【答案】
$6:3:4$
【知识点】
三角形面积公式、比的化简、反比关系
【点评】
本题解题核心是利用同一三角形面积不变的性质，将高的比转化为对应底边长倒数的比，计算时注意多比化简的方法，掌握该类转化思路可以快速解决同类型的比例问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住同一三角形面积固定的特点，结合三角形面积公式“面积=1/2×底×对应高”，可得底和对应高的乘积为定值，即高与对应底成反比。我们可以先将三条高分别用三角形面积S表示出来，再作比，约掉公共项S后，将边长代入化简比值即可得到结果。
【解析】
设△ABC的面积为S，根据三角形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}a h_a=\frac{1}{2}b h_b=\frac{1}{2}c h_c$
整理得三条高的表达式：
$h_a=\frac{2S}{a}$，$h_b=\frac{2S}{b}$，$h_c=\frac{2S}{c}$
因此高的比为：
$h_a:h_b:h_c=\frac{2S}{a}:\frac{2S}{b}:\frac{2S}{c}=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
将$a=2$，$b=4$，$c=3$代入得：
$h_a:h_b:h_c=\frac{1}{2}:\frac{1}{4}:\frac{1}{3}$
给三项同时乘以分母的最小公倍数12消去分母，得：
$h_a:h_b:h_c=6:3:4$
【答案】
$6:3:4$
【知识点】
三角形面积公式、比的化简、反比关系
【点评】
本题解题核心是利用同一三角形面积不变的性质，将高的比转化为对应底边长倒数的比，计算时注意多比化简的方法，掌握该类转化思路可以快速解决同类型的比例问题。
【难度系数】
0.7
10 如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至点F，使得$ EF = BE $，以AF为边作正方形AFGH.已知$ AD = 20 $，记正方形AFGH的面积为$ S_1 $，矩形BCIH的面积为$ S_2 $，那么$ S_1 $与$ S_2 $的和为
$1200-400\sqrt{5}$
.答案
10. $1200-400\sqrt{5}$. 提示：方式一，根据题意，发现H是AB的黄金分割点，得$AH^2=BH· AB$。因为$S_1=AH^2$，$S_2=BH· AB$，所以$S_1=S_2$。因为$AE=\frac{1}{2}AD=10$，$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=10\sqrt{5}$，所以$AF=10\sqrt{5}-10$，所以$S_1=S_2=AF^2=600-200\sqrt{5}$. 方法二：计算，得$AF=10\sqrt{5}-10$，$BH=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}$，$HI=20$. 所以，$S_1+S_2=(10\sqrt{5}-10)^2+20×(30-10\sqrt{5})=1200-400\sqrt{5}$.
解析
【分析】
首先从已知条件入手：正方形ABCD边长AD=20，因此AB=AD=20；E是AD中点，可先求出AE长度，再用勾股定理算出BE的长。由EF=BE，就能求出AF的长度，正方形AFGH的面积S1就是AF的平方。接下来求矩形BCIH的面积S2：矩形的长BC等于正方形边长20，宽BH等于AB减去AH，AH和AF长度相等（都是正方形AFGH的边），算出BH后即可得到S2，最后将S1和S2相加即可得到结果，也可利用黄金分割的性质发现S1=S2，简化计算直接算2倍S1。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=20，
∴AB=AD=20，∠BAD=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=½AD=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$，
∵EF=BE，
∴$EF=10\sqrt{5}$，
∴$AF=EF-AE=10\sqrt{5}-10$，
∵四边形AFGH是正方形，
∴$S_1=AF^2=(10\sqrt{5}-10)^2=500-200\sqrt{5}+100=600-200\sqrt{5}$，
$AH=AF=10\sqrt{5}-10$，
∴$BH=AB-AH=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}$，
∵四边形BCIH是矩形，BC=20，
∴$S_2=BC·BH=20×(30-10\sqrt{5})=600-200\sqrt{5}$，
∴$S_1+S_2=(600-200\sqrt{5})+(600-200\sqrt{5})=1200-400\sqrt{5}$。
【答案】
$1200-400\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，正方形性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合了正方形、矩形的性质和勾股定理的应用，既可以直接分别计算两个图形的面积求和，也可以通过黄金分割的性质简化运算，解题的核心是先利用勾股定理求出BE的长度，进而得到AF的长度。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件入手：正方形ABCD边长AD=20，因此AB=AD=20；E是AD中点，可先求出AE长度，再用勾股定理算出BE的长。由EF=BE，就能求出AF的长度，正方形AFGH的面积S1就是AF的平方。接下来求矩形BCIH的面积S2：矩形的长BC等于正方形边长20，宽BH等于AB减去AH，AH和AF长度相等（都是正方形AFGH的边），算出BH后即可得到S2，最后将S1和S2相加即可得到结果，也可利用黄金分割的性质发现S1=S2，简化计算直接算2倍S1。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=20，
∴AB=AD=20，∠BAD=90°，
∵E是AD的中点，
∴AE=½AD=10，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}$，
∵EF=BE，
∴$EF=10\sqrt{5}$，
∴$AF=EF-AE=10\sqrt{5}-10$，
∵四边形AFGH是正方形，
∴$S_1=AF^2=(10\sqrt{5}-10)^2=500-200\sqrt{5}+100=600-200\sqrt{5}$，
$AH=AF=10\sqrt{5}-10$，
∴$BH=AB-AH=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}$，
∵四边形BCIH是矩形，BC=20，
∴$S_2=BC·BH=20×(30-10\sqrt{5})=600-200\sqrt{5}$，
∴$S_1+S_2=(600-200\sqrt{5})+(600-200\sqrt{5})=1200-400\sqrt{5}$。
【答案】
$1200-400\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理，正方形性质，矩形面积计算
【点评】
本题结合了正方形、矩形的性质和勾股定理的应用，既可以直接分别计算两个图形的面积求和，也可以通过黄金分割的性质简化运算，解题的核心是先利用勾股定理求出BE的长度，进而得到AF的长度。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 如图，已知：$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$。求证：
（1）$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
11. 如图，已知：$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$。求证：
（1）$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
答案
证明：
（1）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{AE}{EB}+1=\frac{DF}{FC}+1$
通分可得：
$\frac{AE+EB}{EB}=\frac{DF+FC}{FC}$
又因为 $AE+EB=AB$，$DF+FC=DC$，
因此 $\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，由比例的基本性质可得 $\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{EB}{AE}+1=\frac{FC}{DF}+1$
通分可得：
$\frac{EB+AE}{AE}=\frac{FC+DF}{DF}$
又因为 $EB+AE=AB$，$FC+DF=DC$，
因此 $\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
（1）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{AE}{EB}+1=\frac{DF}{FC}+1$
通分可得：
$\frac{AE+EB}{EB}=\frac{DF+FC}{FC}$
又因为 $AE+EB=AB$，$DF+FC=DC$，
因此 $\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，由比例的基本性质可得 $\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{EB}{AE}+1=\frac{FC}{DF}+1$
通分可得：
$\frac{EB+AE}{AE}=\frac{FC+DF}{DF}$
又因为 $EB+AE=AB$，$FC+DF=DC$，
因此 $\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
解析
【分析】
本题是成比例线段的证明题，解题思路如下：
1. 证明第一问时，观察待证式的分子$AB=AE+EB$、$DC=DF+FC$，可对已知的比例式$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$利用等式性质，两边同时加1后通分，即可将分子转化为AB和DC，得到待证结论。
2. 证明第二问时，待证式的分母为AE、DF，可先对已知比例式用反比性质，将AE、DF调整到分母位置，再同样两边加1通分，合并分子即可得到待证结论。
【解析】
证明：
（1）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{AE}{EB}+1=\frac{DF}{FC}+1$
通分可得：
$\frac{AE+EB}{EB}=\frac{DF+FC}{FC}$
又因为线段和的关系$AE+EB=AB$，$DF+FC=DC$，
因此 $\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，由比例的基本性质（反比性质）可得 $\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{EB}{AE}+1=\frac{FC}{DF}+1$
通分可得：
$\frac{EB+AE}{AE}=\frac{FC+DF}{DF}$
又因为线段和的关系$EB+AE=AB$，$FC+DF=DC$，
因此 $\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
【答案】
（1）$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$；
（2）$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
【知识点】
比例的基本性质，等式的性质，成比例线段
【点评】
本题是比例线段相关的基础证明题，核心是考察比例性质与等式性质的灵活运用，解题关键是观察已知比例式和待证比例式的结构差异，通过反比、加1通分等变形即可推导得到结论，熟练掌握比例的基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.85
本题是成比例线段的证明题，解题思路如下：
1. 证明第一问时，观察待证式的分子$AB=AE+EB$、$DC=DF+FC$，可对已知的比例式$\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$利用等式性质，两边同时加1后通分，即可将分子转化为AB和DC，得到待证结论。
2. 证明第二问时，待证式的分母为AE、DF，可先对已知比例式用反比性质，将AE、DF调整到分母位置，再同样两边加1通分，合并分子即可得到待证结论。
【解析】
证明：
（1）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{AE}{EB}+1=\frac{DF}{FC}+1$
通分可得：
$\frac{AE+EB}{EB}=\frac{DF+FC}{FC}$
又因为线段和的关系$AE+EB=AB$，$DF+FC=DC$，
因此 $\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$。
（2）已知 $\frac{AE}{EB}=\frac{DF}{FC}$，由比例的基本性质（反比性质）可得 $\frac{EB}{AE}=\frac{FC}{DF}$，
根据等式的性质，两边同时加1，得：
$\frac{EB}{AE}+1=\frac{FC}{DF}+1$
通分可得：
$\frac{EB+AE}{AE}=\frac{FC+DF}{DF}$
又因为线段和的关系$EB+AE=AB$，$FC+DF=DC$，
因此 $\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
【答案】
（1）$\frac{AB}{EB}=\frac{DC}{FC}$；
（2）$\frac{AB}{AE}=\frac{DC}{DF}$。
【知识点】
比例的基本性质，等式的性质，成比例线段
【点评】
本题是比例线段相关的基础证明题，核心是考察比例性质与等式性质的灵活运用，解题关键是观察已知比例式和待证比例式的结构差异，通过反比、加1通分等变形即可推导得到结论，熟练掌握比例的基础性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.85
