登录
12. 已知△ABC的三边分别是a、b、c，$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}$.
（1）如果△ABC的周长为60，求a的值.
（2）如果△ABC的面积为60，求a的值.
（1）如果△ABC的周长为60，求a的值.
（2）如果△ABC的面积为60，求a的值.
答案
12. (1) 10. (2) $5\sqrt{2}$. 提示：设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k(k＞0)$.
解析
【分析】
遇到连比等式的问题，通常采用设参数k的方法，将三角形三边均用含k的代数式表示。对于第（1）问，已知周长，可将三边相加等于周长列方程求解k，进而得到a的值；对于第（2）问，先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形面积公式列方程求解k，即可得到a的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k(k＞0)$，则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
（1）
∵△ABC的周长为60，
∴$a+b+c=60$，
代入得：$5k+12k+13k=60$，
合并同类项得：$30k=60$，
解得：$k=2$，
∴$a=5k=5×2=10$。
（2）先判断△ABC的形状：
∵$a^2+b^2=(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2$，$c^2=(13k)^2=169k^2$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
∴△ABC是直角三角形，且直角边为a、b，
∵△ABC的面积为60，
∴$\frac{1}{2}ab=60$，
代入得：$\frac{1}{2}×5k×12k=60$，
化简得：$30k^2=60$，
即$k^2=2$，
∵$k＞0$，
∴$k=\sqrt{2}$，
∴$a=5k=5\sqrt{2}$。
【答案】
（1）10；（2）$5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 比例的性质 2. 勾股定理逆定理 3. 三角形周长与面积计算
【点评】
本题考查比例性质在几何计算中的应用，解题的核心是掌握连比问题设参数的常用技巧，同时能结合勾股定理逆定理快速判断三角形形状，降低面积计算的难度，是比例与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
遇到连比等式的问题，通常采用设参数k的方法，将三角形三边均用含k的代数式表示。对于第（1）问，已知周长，可将三边相加等于周长列方程求解k，进而得到a的值；对于第（2）问，先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再利用直角三角形面积公式列方程求解k，即可得到a的值。
【解析】
解：设$\frac{a}{5}=\frac{b}{12}=\frac{c}{13}=k(k＞0)$，则$a=5k$，$b=12k$，$c=13k$。
（1）
∵△ABC的周长为60，
∴$a+b+c=60$，
代入得：$5k+12k+13k=60$，
合并同类项得：$30k=60$，
解得：$k=2$，
∴$a=5k=5×2=10$。
（2）先判断△ABC的形状：
∵$a^2+b^2=(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2$，$c^2=(13k)^2=169k^2$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
∴△ABC是直角三角形，且直角边为a、b，
∵△ABC的面积为60，
∴$\frac{1}{2}ab=60$，
代入得：$\frac{1}{2}×5k×12k=60$，
化简得：$30k^2=60$，
即$k^2=2$，
∵$k＞0$，
∴$k=\sqrt{2}$，
∴$a=5k=5\sqrt{2}$。
【答案】
（1）10；（2）$5\sqrt{2}$
【知识点】
1. 比例的性质 2. 勾股定理逆定理 3. 三角形周长与面积计算
【点评】
本题考查比例性质在几何计算中的应用，解题的核心是掌握连比问题设参数的常用技巧，同时能结合勾股定理逆定理快速判断三角形形状，降低面积计算的难度，是比例与几何结合的基础题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知：在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，垂足为 $D$，$AC=3$，$BC=4$。求证：线段 $CD$ 是线段 $AD$、$BD$ 的比例中项。
答案
13. 提示：$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}BC· AC$，得$CD=2.4$. 由勾股定理，得$AD=1.8$，故$BD=3.2$. 因为$AD:CD=1.8:2.4=3:4$，$CD:BD=2.4:3.2=3:4$，所以$AD:CD=CD:BD$，故线段CD是线段AD、BD的比例中项.
解析
【分析】
要证明CD是AD、BD的比例中项，即需证明$AD:CD = CD:BD$。解题时首先利用勾股定理计算$Rt△ ABC$的斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高CD的长度，随后用勾股定理计算AD的长度，进而得到BD的长度，最后验证两个比例的比值相等即可完成证明。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 计算高CD的长度：
$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$。
3. 计算AD、BD的长度：
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{3.24}=1.8$，
则$BD=AB-AD=5-1.8=3.2$。
4. 验证比例关系：
计算比值：$AD:CD=1.8:2.4=\frac{3}{4}$，$CD:BD=2.4:3.2=\frac{3}{4}$，
因此$AD:CD=CD:BD$，即$CD^2=AD· BD$。
【答案】
线段$CD$是线段$AD$、$BD$的比例中项，得证。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；比例中项
【点评】
本题是直角三角形性质与比例知识的结合题，解题的核心是利用面积法快速求出斜边上的高，再通过线段长度计算验证比例关系，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要证明CD是AD、BD的比例中项，即需证明$AD:CD = CD:BD$。解题时首先利用勾股定理计算$Rt△ ABC$的斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高CD的长度，随后用勾股定理计算AD的长度，进而得到BD的长度，最后验证两个比例的比值相等即可完成证明。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 计算高CD的长度：
$△ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD$，因此：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$。
3. 计算AD、BD的长度：
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{3.24}=1.8$，
则$BD=AB-AD=5-1.8=3.2$。
4. 验证比例关系：
计算比值：$AD:CD=1.8:2.4=\frac{3}{4}$，$CD:BD=2.4:3.2=\frac{3}{4}$，
因此$AD:CD=CD:BD$，即$CD^2=AD· BD$。
【答案】
线段$CD$是线段$AD$、$BD$的比例中项，得证。
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；比例中项
【点评】
本题是直角三角形性质与比例知识的结合题，解题的核心是利用面积法快速求出斜边上的高，再通过线段长度计算验证比例关系，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
14 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB$与外角$∠ ACF$的平分线分别交边$BA$及其延长线于点$D$、$E$，$BC=\frac{5}{2}AC$. 求$\frac{AB}{AD}+\frac{AB}{AE}$的值.
答案
14. 如图，过点 D 作 $DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，垂足分别为M、N.
∵ CD 是 $∠ACB$ 的平分线，$DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，
∴ $DM=DN$.
∴ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{\frac{1}{2}BC · DM}{\frac{1}{2}AC · DN}=\frac{BC}{AC}$.
∵ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BD+AD}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$①.
同理，$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BE-AE}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$②.
由①+②，得$\frac{AB}{AD}+\frac{AB}{AE}=\frac{BC+AC}{AC}+\frac{BC-AC}{AC}=\frac{2BC}{AC}=2×\frac{5}{2}=5$.
解析
【分析】
本题要求两个线段比例的和，已知条件包含角平分线和BC与AC的倍数关系，解题思路如下：1. 遇到角平分线，可利用角平分线的性质，过角平分线上的点向角两边作垂线，得到两条垂线段长度相等；2. 利用三角形面积公式，将同高的△BDC和△ADC的面积比转化为底BC和AC的比，同时这两个三角形也可看作以BD、AD为底且高相同，因此面积比也等于BD与AD的比，从而得到$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，再利用合比性质推出$\frac{AB}{AD}$的表达式；3. 同理对外角平分线CE用相同方法，利用分比性质推出$\frac{AB}{AE}$的表达式；4. 将两个表达式相加，代入$BC=\frac{5}{2}AC$即可算出结果。
【解析】
过点 D 作 $DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，垂足分别为M、N.
∵ CD 是 $∠ACB$ 的平分线，$DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，
∴ $DM=DN$.
∴ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{\frac{1}{2}BC · DM}{\frac{1}{2}AC · DN}=\frac{BC}{AC}$.
∵ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BD+AD}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$①.
同理，$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BE-AE}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$②.
由①+②，得$\frac{AB}{AD}+\frac{AB}{AE}=\frac{BC+AC}{AC}+\frac{BC-AC}{AC}=\frac{2BC}{AC}=2×\frac{5}{2}=5$.
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形面积与比例
3. 比例的性质
【点评】
本题巧妙结合角平分线性质和面积法求解线段比例，解题核心是利用三角形面积比搭建起已知线段比和待求线段比之间的桥梁，同时运用合比、分比性质简化推导，需要熟练掌握面积法转化比例的技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求两个线段比例的和，已知条件包含角平分线和BC与AC的倍数关系，解题思路如下：1. 遇到角平分线，可利用角平分线的性质，过角平分线上的点向角两边作垂线，得到两条垂线段长度相等；2. 利用三角形面积公式，将同高的△BDC和△ADC的面积比转化为底BC和AC的比，同时这两个三角形也可看作以BD、AD为底且高相同，因此面积比也等于BD与AD的比，从而得到$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，再利用合比性质推出$\frac{AB}{AD}$的表达式；3. 同理对外角平分线CE用相同方法，利用分比性质推出$\frac{AB}{AE}$的表达式；4. 将两个表达式相加，代入$BC=\frac{5}{2}AC$即可算出结果。
【解析】
过点 D 作 $DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，垂足分别为M、N.
∵ CD 是 $∠ACB$ 的平分线，$DM ⊥ BC$，$DN ⊥ AC$，
∴ $DM=DN$.
∴ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{\frac{1}{2}BC · DM}{\frac{1}{2}AC · DN}=\frac{BC}{AC}$.
∵ $\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$，
∴ $\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BD+AD}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BC+AC}{AC}$①.
同理，$\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AC}$.
∴ $\frac{BE-AE}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$，即$\frac{AB}{AE}=\frac{BC-AC}{AC}$②.
由①+②，得$\frac{AB}{AD}+\frac{AB}{AE}=\frac{BC+AC}{AC}+\frac{BC-AC}{AC}=\frac{2BC}{AC}=2×\frac{5}{2}=5$.
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形面积与比例
3. 比例的性质
【点评】
本题巧妙结合角平分线性质和面积法求解线段比例，解题核心是利用三角形面积比搭建起已知线段比和待求线段比之间的桥梁，同时运用合比、分比性质简化推导，需要熟练掌握面积法转化比例的技巧。
【难度系数】
0.6
