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10. 若$[(x^3)^m]^2 = x^{12}$，则$m$的值是（
A.1
B.2
C.3
D.7
B
）A.1
B.2
C.3
D.7
答案
$\because [(x^3)^m]^2 = x^{6m} = x^{12}, \therefore 6m = 12$, 解得 $m=2$。
11. [2026镇江句容期中]若$a,b$是正整数，且满足$\underbrace{2^a + 2^a + \dots + 2^a}_{8个2^a相加} = \underbrace{2^b × 2^b × \dots × 2^b}_{8个2^b相乘}$，则$a$与$b$的关系正确的是（
A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^8$
D.$3a = 8 + b$
A
）A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^8$
D.$3a = 8 + b$
答案
根据题意,得 $8 × 2^a = (2^b)^8, \therefore 2^3 × 2^a = 2^{8b}, \therefore 2^{3+a} = 2^{8b}, \therefore 3 + a = 8b$。
12. [2026衡阳衡山期末]已知$a=2^x$，$b=8^x -4^x -1$，请你用含$a$的式子表示$b$：______.
答案
$b=a^3 -a^2 -1$
$\because 8^x = (2^3)^x = (2^x)^3, 4^x = (2^x)^2, \therefore b = 8^x - 4^x - 1 = (2^x)^3 - (2^x)^2 - 1. \because a = 2^x, \therefore b = a^3 - a^2 - 1$。
$\because 8^x = (2^3)^x = (2^x)^3, 4^x = (2^x)^2, \therefore b = 8^x - 4^x - 1 = (2^x)^3 - (2^x)^2 - 1. \because a = 2^x, \therefore b = a^3 - a^2 - 1$。
13. [2025 保定模拟] 对于两个非零的有理数 $a,b$，定义新运算：$a◎b = a^b$. 若 $(2◎m)×(4◎n)=32$，求 $m + 2n$ 的值.
答案
解:$\because a◎b = a^b, \therefore (2◎m)×(4◎n) = 2^m × 4^n = 32$。
$\because 2^m × 4^n = 2^m × (2^2)^n = 2^m × 2^{2n} = 2^{m+2n}$，
$\therefore 2^{m+2n} = 32 = 2^5, \therefore m + 2n = 5$。
$\because 2^m × 4^n = 2^m × (2^2)^n = 2^m × 2^{2n} = 2^{m+2n}$，
$\therefore 2^{m+2n} = 32 = 2^5, \therefore m + 2n = 5$。
14. 运算能力 已知$a,b,c$均为正整数,且$2^a × 3^b × 4^c = 384$,求$a+b+c$的值.
答案
解:$\because 4^c = (2^2)^c, 384 = 2^7 × 3$，
$\therefore 2^a × 3^b × 4^c = 2^a × 3^b × (2^2)^c = 2^{a+2c} · 3^b = 2^7 × 3$，
$\therefore a + 2c = 7, b = 1$。
$\because a,b,c$ 均为正整数，
$\therefore 当c=1时,a=5,此时a+b+c=7$；
$当c=2时,a=3,此时a+b+c=6$；
$当c=3时,a=1,此时a+b+c=5$。
综上所述,$a+b+c$的值是5,6或7。
$\therefore 2^a × 3^b × 4^c = 2^a × 3^b × (2^2)^c = 2^{a+2c} · 3^b = 2^7 × 3$，
$\therefore a + 2c = 7, b = 1$。
$\because a,b,c$ 均为正整数，
$\therefore 当c=1时,a=5,此时a+b+c=7$；
$当c=2时,a=3,此时a+b+c=6$；
$当c=3时,a=1,此时a+b+c=5$。
综上所述,$a+b+c$的值是5,6或7。
阅读下列材料,解决问题.
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:∵$4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22},3＞2$,
∴$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^8$和$8^2$的大小.
解:∵$8^2=(2^3)^2=2^6,8＞6$,
∴$2^8＞2^6$,即$2^8＞8^2$.
小结:底数相同(底数大于1)的情况下,通过比较指数的大小来确定两个幂的大小.
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小;
(2)比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小;
(3)已知$a^2=2,b^3=3$,比较$a,b$的大小.$(a,b$均为大于1的数$)$
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解:∵$4^{11}=(2^2)^{11}=2^{22},3＞2$,
∴$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小来确定两个幂的大小.
材料二:比较$2^8$和$8^2$的大小.
解:∵$8^2=(2^3)^2=2^6,8＞6$,
∴$2^8＞2^6$,即$2^8＞8^2$.
小结:底数相同(底数大于1)的情况下,通过比较指数的大小来确定两个幂的大小.
(1)比较$3^{44},4^{33},5^{22}$的大小;
(2)比较$81^{31},27^{41},9^{61}$的大小;
(3)已知$a^2=2,b^3=3$,比较$a,b$的大小.$(a,b$均为大于1的数$)$
答案
解:(1)$\because 3^{44} = (3^4)^{11} = 81^{11}, 4^{33} = (4^3)^{11} = 64^{11}, 5^{22} = (5^2)^{11} = 25^{11}, 81 ＞ 64 ＞ 25, \therefore 81^{11} ＞ 64^{11} ＞ 25^{11}, 即 3^{44} ＞ 4^{33} ＞ 5^{22}$。
(2)$\because 81^{31} = (3^4)^{31} = 3^{124}, 27^{41} = (3^3)^{41} = 3^{123}, 9^{61} = (3^2)^{61} = 3^{122}, 124 ＞ 123 ＞ 122, \therefore 3^{124} ＞ 3^{123} ＞ 3^{122}, 即 81^{31} ＞ 27^{41} ＞ 9^{61}$。
(3)$\because a^2 = 2, b^3 = 3, \therefore a^6 = 8, b^6 = 9$。
$\because 8 ＜ 9, \therefore a^6 ＜ b^6$。
又$\because a,b$均为大于1的数,$\therefore a ＜ b$。
(2)$\because 81^{31} = (3^4)^{31} = 3^{124}, 27^{41} = (3^3)^{41} = 3^{123}, 9^{61} = (3^2)^{61} = 3^{122}, 124 ＞ 123 ＞ 122, \therefore 3^{124} ＞ 3^{123} ＞ 3^{122}, 即 81^{31} ＞ 27^{41} ＞ 9^{61}$。
(3)$\because a^2 = 2, b^3 = 3, \therefore a^6 = 8, b^6 = 9$。
$\because 8 ＜ 9, \therefore a^6 ＜ b^6$。
又$\because a,b$均为大于1的数,$\therefore a ＜ b$。
