1. ★★★ (2026·三亚月考)等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分成差为5 cm的两部分,则此三角形的底边长为.

1. 5 cm或$\frac{35}{3}$ cm

2. 若$(a-3)^2+\sqrt{b-5}=0$，求以$a$，$b$为边长的等腰三角形的周长。

2. $\because (a-3)^2+\sqrt{b-5}=0,(a-3)^2≥0,\sqrt{b-5}≥0,\therefore a-3=0,b-5=0,\therefore a=3,b=5.$设三角形的第三边的长为$c$,当$a=c=3$时,三角形的周长$=a+b+c=3+5+3=11$;当$b=c=5$时,三角形的周长$=3+5+5=13.$综上,以$a,b$为边长的等腰三角形的周长为11或13.

3. 在等腰三角形中,有一个角是$50°$,它的一条腰上的高与底边的夹角是.

3. 25°或40°

4. ★★★|新定义（2026·威海期中）若$△ ABC$中刚好有$∠ B=2∠ C$，则称此三角形为“可爱三角形”，并且$∠ A$称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是.

4. 45°或72°

5. 在$△ ABC$中，$∠ B=80°$，过点A作一条直线，将$△ ABC$分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，求$∠ C$的度数.

5. ①当$∠ B$为等腰$△ADB$的顶角时,如图①,$\because ∠BAD = ∠BDA=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$,且$△ADC$是等腰三角形,$DA=DC,\therefore ∠C=\frac{1}{2}∠ADB=25°$；
②当$∠ADB$为等腰$△ADB$的顶角时,如图②,$\because AD=BD,∠B=80°,\therefore ∠BAD = ∠B = 80°,\therefore ∠ADB = 180°-80°×2 = 20°.$又$\because △ADC$是等腰三角形,$DA=DC,\therefore ∠C=\frac{1}{2}∠ADB=10°$；
③当$∠DAB$为等腰$△ADB$的顶角时,如图③,则$∠ADB=∠B=80°.$又$\because △ADC$是等腰三角形,$DA=DC,\therefore ∠C=\frac{1}{2}∠ADB=40°.$综上,$∠C$的度数为25°或10°或40°.

6. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$45°$,求这个等腰三角形底角的度数.

6. ①如图①,当$△ABC$是锐角三角形时,作$BD⊥AC$于点D,则$∠ADB=90°$,已知$∠ABD=45°,\therefore ∠A=90°-45°=45°.\because AB=AC,\therefore ∠ABC=∠C=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$；
②如图②,当$△EFG$是钝角三角形时,作$FH⊥EG$交$GE$的延长线于点H,则$∠FHE=90°.\because ∠HFE=45°,\therefore ∠HEF=90°-45°,\therefore ∠FEG=180°-45°=135°.\because EF=EG,\therefore ∠EFG=∠G=\frac{1}{2}×(180°-135°)=22.5°.$
综上,这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°.

7. ★★★ 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 $50°$，求这个等腰三角形顶角的度数。

7. ①当$△ABC$为锐角三角形时,如图①,$\because ∠ADE=50°,∠AED=90°,\therefore ∠A=40°$；
②当$△ABC$为钝角三角形时,如图②,$∠ADE=50°,∠DAE=40°,\therefore ∠BAC=180°-40°=140°.$
综上,这个等腰三角形顶角的度数为40°或140°.