8. (2026·南昌期中)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连结AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=°,∠AED=°.
(2)线段DC的长度为何值时,△ABD≌△DCE?请说明理由.
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,求出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.

8. (1)25 65 解析:$\because AB=AC,\therefore ∠C=∠B=40°.\because ∠ADE=40°,∠BDA=115°,\therefore ∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°,\therefore ∠AED=∠EDC+∠C=25°+40°=65°.$故答案为25;65.
(2)当$DC=2$时,$△ABD≌△DCE.$理由:$\because AB=2,DC=2,\therefore AB=DC.\because ∠C=∠B=40°,∴ ∠DEC+∠EDC=140°.\because ∠ADE=40°,∴ ∠ADB+∠EDC=140°,∴ ∠ADB=∠DEC.$在$△ABD$和$△DCE$中,$\begin{cases} ∠ADB=∠DEC, \\ ∠B=∠C, \\ AB=DC, \end{cases}$$\therefore △ABD≌△DCE(AAS).$
(3)当$∠BDA$的度数为110°或80°时,$△ADE$的形状是等腰三角形.
①当$DA=DE$时,$∠DAE=∠DEA=70°$,$\therefore ∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°$；
②当$AD=AE$时,$∠AED=∠ADE=40°,\therefore ∠DAE=100°$,此时,点D与点B重合,不符合题意；
③当$EA=ED$时,$∠EAD=∠ADE=40°$,$\therefore ∠BDA=∠EAD+∠C=40°+40°=80°.$
综上所述,当$∠BDA$的度数为110°或80°时,$△ADE$的形状是等腰三角形.

9. (2026·南通期中)已知，$△ ABC$是一个等边三角形，点$E$为射线$CB$上一动点(点$E$不与点$B,C$重合)，连结$AE$，过点$A$作线段$AF=AE$，使得$∠ EAF=120°$，且点$F$在直线$AB$的上方。
(1)当点$E$在$BC$边上运动时。
①如图①，过点$F$作$FD // BC$交直线$AC$于点$D$，设$∠ EAB$的度数为$α°$，则$∠ FAD$的度数为(用含$α$的式子表示)，请直接写出线段$AD$和$BE$的数量关系：；
②如图②，若点$E$为$BC$边上的中点，连结$BF$交$AC$边于点$G$，求证：$BG=FG$；
(2)当点$E$在射线$CB$上运动时，直线$BF$与直线$AC$交于点$G$，如果$\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}$，请求出$\frac{AG}{CG}$的值。

9. (1)①$120°-α°$ $AD=BE$ 解析:$\because △ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC,∠CAB=∠CBA=∠C=60°,\therefore ∠DAB=180°-∠CAB=120°.\because ∠EAF=120°$,且点F在直线AB的上方,$∠EAB$的度数为$α°$,$∠FAD+∠DAB+∠EAB+∠EAF=360°$,$\therefore ∠FAD+120°+α°+120°=360°.\therefore ∠FAD=120°-α°.∵ FD// BC$,$\therefore ∠D=∠C=60°.$在$△EAB$中,$∠CBA=60°,∠EAB$的度数为$α°,∴ ∠AEB=180°-(∠CBA+α°)=180°-(60°+α°)=120°-α°,∴ ∠FAD=∠AEB=120°-α°.$在$△AFD$和$△EAB$中,$\begin{cases} ∠D=∠B=60°, \\ ∠FAD=∠AEB, \\ AF=EA, \end{cases}$$\therefore △AFD≌△EAB(AAS).∴ AD=BE.$故答案为$120°-α°;AD=BE.$
②过点F作$FM// BC$交CA的延长线于点M,如图①所示.$\therefore ∠M=∠C=60°.∵ △ABC$是等边三角形,点E为BC边上的中点,$\therefore ∠EAB=\frac{1}{2}∠CAB=30°,AE⊥BC.$由①可知$∠FAM=120°-30°=90°,∴ ∠FAM=∠AEB=90°.$在$△AFM$和$△EAB$中,$\begin{cases} ∠M=∠ABE=60°, \\ ∠FAM=∠AEB, \\ AF=EA, \end{cases}$$\therefore △AFM≌△EAB(AAS),∴ FM=AB.∵ AB=BC,∴ FM=BC.$在$△FMG$和$△BCG$中,$\begin{cases} ∠M=∠C, \\ ∠FGM=∠BGC, \\ FM=BC, \end{cases}$$\therefore △FMG≌△BCG(AAS).∴ FG=BG$,即$BG=FG.$
(2)$∵ \frac{BE}{BC}=\frac{2}{3},∴$设$BE=2a,BC=3a,∴ AB=BC=AC=3a.∵$点E在射线CB上运动,$∴$有以下两种情况:①当点E在线段BC上时,过点F作$FN// BC$交CA的延长线于点N,如图②所示.设$AG=x$,则$CG=AC-AG=3a-x$,同(1)②证明:$△AFN≌△EAB(AAS)$,$△FNG≌△BCG(AAS),∴ AN=BE=2a,NG=CG=3a-x.∵ NG=AN+AG=2a+x,∴ 2a+x=3a-x.$解得$x=\frac{a}{2},∴ CG=3a-x=\frac{5a}{2}.∴ \frac{AG}{CG}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{5a}{2}}=\frac{1}{5}.$
②当点E在CB的延长线时,过点F作$FH// BC$交CA于点H,如图③所示.$∴ ∠FHG=∠C=60°,∴ ∠AHF=180°-∠FHG=120°.∵ ∠EBA=180°-∠CBA=120°,∴ ∠AHF=∠EBA=120°.∵ ∠EAF=120°,∠CAB=60°,∴ ∠HAF+∠BAE=∠EAF-∠CAB=60°.$在$△BEA$中,$∠E+∠BAE=180°-∠EBA=60°$,$∴ ∠HAF=∠E.$在$△HAF$和$△BEA$中,$\begin{cases} ∠AHF=∠EBA, \\ ∠HAF=∠E, \\ AF=EA, \end{cases}$$∴ △HAF≌△BEA(AAS).∴ AH=BE=2a,FH=AB=BC.∴ CH=AC-AH=3a-2a=a.$在$△FHG$和$△BCG$中,$\begin{cases} ∠FHG=∠C, \\ ∠FGH=∠BGC, \\ FH=BC, \end{cases}$$∴ △FHG≌△BCG(AAS).∴ HG=CG=\frac{1}{2}CH=\frac{a}{2}.∴ AG=AH+HG=2a+\frac{a}{2}=\frac{5a}{2}.∴ \frac{AG}{CG}=\frac{\frac{5a}{2}}{\frac{a}{2}}=5.$综上所述,$\frac{AG}{CG}$的值为$\frac{1}{5}$或5.