4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=\sqrt{5}$,$AC=BC=BD$,$AC ⊥ BD$.
(1)求证:$∠ ACB=2∠ ABD$;
(2)求$△ ABD$的面积.

(1)如图①,过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 于点 F.
∵ AC⊥BD,CF⊥AB,
∴ ∠ACF+∠FAC=90°,∠ABD+∠BAC=90°,
∴ ∠ACF=∠ABD.
∵ AC = BC,CF ⊥ AB,
∴ ∠ACF = ∠BCF,
∴ ∠ACB = 2∠ABD.
(2)如图②,过点 D 作 DE⊥AB 交 BA 的延长线于点 E.
∵ AC=BC,CF⊥AB,
∴ AF=BF=$\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$.由(1)知,∠ACF=∠ABD,∠ACF=∠BCF,
∴ ∠EBD=∠BCF. 在 △BDE 和 △CBF 中,
$\begin{cases} ∠DEB=∠BFC=90°, \\ ∠EBD=∠FCB, \\ BD=BC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CBF(AAS),
∴ ED=BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{4}$.

5. 如图①，$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=45°$，$E$为$AB$的中点，连结$CE$，过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，交$CE$于点$F$。
(1)求$∠ BAD$的度数；
(2)求证：$CF=2BE$；
(3)如图②，等腰直角$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$BA=BC$，$CD$平分$∠ ACB$，交$AB$于点$D$，$AE ⊥ CD$于点$E$，若$AE=2$，求$△ ADC$的面积。

(1)
∵ AC=BC,E 为 AB 中点,
∴ ∠ACE=∠BCE,CE⊥AB.
∵ ∠ACB=45°,
∴ ∠ACE=∠BCE=22.5°.
∵ AD⊥BC,CE⊥AB,
∴ ∠AEF=∠ADC=90°.又
∵ ∠AFE=∠CFD,
∴ ∠BAD=∠BCE=22.5°.
(2)
∵ ∠ACB=45°,∠ADC=90°,
∴ ∠ACB=∠DAC=45°,
∴ △ADC为等腰直角三角形,
∴ AD=CD.又
∵ ∠BAD=∠BCE,∠BDA=∠FDC=90°,
∴ △ADB≌△CDF(ASA),
∴ AB=CF.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ AB=2BE,
∴ CF=2BE.
(3)如图,分别延长 AE,CB,相交于点 F,由(2)可得,CD=2AE.
∵ AE=2,
∴ CD=4.
∵ AE⊥CD,
∴ $S_{△ADC}=\frac{1}{2}CD×AE=\frac{1}{2}×4×2=4$.

6. （2026·无锡月考）如图，$△ ABC$中，$∠ CAB = ∠ CBA = 48°$，点$O$为$△ ABC$内一点，$∠ OAB = 12°$，$∠ OBC = 18°$，求$∠ ACO + ∠ AOB$的值。

如图,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,延长 BO 交 CD 于点 P,连结 AP,
∵ ∠OBC=18°,∠CBA=48°,
∴ ∠ABP=∠CBA-∠OBC=30°.
∵ ∠CAB=∠CBA=48°,
∴ CA=CB,即 △ABC 是等腰三角形.
∵ CD⊥AB,
∴ CD 是 AB 边上的中线(三线合一),
∴ CD 是 AB 边上的垂直平分线,
∴ PA=PB,
∴ ∠PAB=∠PBA=30°,
∴ ∠CAP=∠CAB-∠PAB=18°.
∵ ∠AOP 是 △AOB 的一个外角,
∴ ∠AOP=∠OAB+∠OBA=42°.
∵ ∠CDA=90°,
∴ ∠ACD=90°-∠CAD=42°,
∴ ∠AOP=∠ACD.
∵ ∠PAB=30°,∠OAB=12°,
∴ ∠PAO=∠PAB-∠OAB=18°,
∴ ∠CAP=∠OAP.又
∵ AP=AP,
∴ △ACP≌△AOP(AAS),
∴ AC=AO.
∵ ∠CAO=∠CAP+∠OAP=36°,
∴ ∠ACO=∠AOC=72°.
∵ ∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=138°,
∴ ∠ACO+∠AOB=210°.